王保華，何世偉

(1. Amazon Research，北京 100024；2.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

鐵路貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)屬于戰(zhàn)術(shù)規(guī)劃層次的決策內(nèi)容，主要目標(biāo)是制定一個(gè)貨運(yùn)列車開(kāi)行方案，包括列車始發(fā)和終到站(以及甩掛站)、開(kāi)行頻率、編組內(nèi)容等，力求在一定服務(wù)水平的基礎(chǔ)上滿足客戶的運(yùn)輸需求。鐵路動(dòng)態(tài)貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入時(shí)間維度，根據(jù)列車開(kāi)行頻率以及列車間車流接續(xù)關(guān)系規(guī)定了各列車的具體開(kāi)行時(shí)段，可作為列車開(kāi)行方案與列車運(yùn)行圖的中間過(guò)渡環(huán)節(jié)，為編制列車運(yùn)行圖奠定良好基礎(chǔ)。貨物列車的組織開(kāi)行需要充足的動(dòng)力(機(jī)車)和裝載設(shè)備資源(車輛)作保障，二者的合理運(yùn)用是貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)能夠高效率、低成本滿足客戶運(yùn)輸需求的基礎(chǔ)。如果決策者能夠在優(yōu)化設(shè)計(jì)貨物服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)考慮機(jī)車車輛資源的合理周轉(zhuǎn)，既可以使當(dāng)前已經(jīng)投入使用的機(jī)車和車輛資源發(fā)揮最大效力，也可以避免由于機(jī)車、車輛資源不足導(dǎo)致日常運(yùn)輸組織無(wú)法正常開(kāi)展。

盡管眾多學(xué)者對(duì)貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)進(jìn)行了廣泛的研究[1-21]，但與鐵路相關(guān)的研究仍然相對(duì)較少。文獻(xiàn)[3]把鐵路貨運(yùn)列車開(kāi)行方案問(wèn)題構(gòu)建為一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型，考慮列車最大編組輛數(shù)和車站中轉(zhuǎn)能力限制等約束，目標(biāo)在于最小化列車開(kāi)行費(fèi)用、車小時(shí)費(fèi)用、車輛中轉(zhuǎn)費(fèi)用。該文給出一種基于Lagrangian的對(duì)偶調(diào)整算法用于求解模型，并基于美國(guó)鐵路運(yùn)輸企業(yè)的實(shí)際案例對(duì)模型和算法進(jìn)行了測(cè)試。文獻(xiàn)[4]基于動(dòng)態(tài)需求構(gòu)建列車編組和空車調(diào)整綜合優(yōu)化模型，目標(biāo)在于最小化列車開(kāi)行費(fèi)用、中轉(zhuǎn)費(fèi)用以及相關(guān)延誤和懲罰費(fèi)用。該文給出一種基于分解策略的啟發(fā)式算法，并在由4個(gè)車站及5條雙向線路組成的網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行了測(cè)試。文獻(xiàn)[8]以滿足客戶服務(wù)水平為目標(biāo)，研究鐵路貨運(yùn)列車開(kāi)行方案問(wèn)題，并將遺傳算法和禁忌搜索算法結(jié)合起來(lái)對(duì)模型進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)[17]研究了快捷貨物運(yùn)輸動(dòng)態(tài)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，主要以鐵路運(yùn)輸為例給出了優(yōu)化模型和求解算法，并分析了該模型和算法在公路和航空領(lǐng)域的通用性。文獻(xiàn)[18]以意大利鐵路為背景，將鐵路貨運(yùn)列車開(kāi)行方案問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一類費(fèi)用為凹函數(shù)的多商品網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題，并給出了一種禁忌搜索算法。

近年來(lái)也有若干學(xué)者開(kāi)始研究考慮相關(guān)設(shè)備資源周轉(zhuǎn)的貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，這些研究通常引入時(shí)間維度來(lái)描述資源的循環(huán)過(guò)程，在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)考慮最大化這些資源的利用率。文獻(xiàn)[7]研究公鐵聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸計(jì)劃編制問(wèn)題，構(gòu)建了時(shí)空網(wǎng)絡(luò)用于描述鐵路平車、拖車的周轉(zhuǎn)過(guò)程以及貨物的移動(dòng)過(guò)程。該文構(gòu)建整數(shù)規(guī)劃模型并給出求解算法，還進(jìn)一步考慮了車站作業(yè)能力、機(jī)車周轉(zhuǎn)等因素的影響。文獻(xiàn)[14-15]研究了考慮多種資源周轉(zhuǎn)的貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，該文構(gòu)建了包含聯(lián)弧和循環(huán)設(shè)計(jì)變量、聯(lián)弧和徑路貨流變量的多商品網(wǎng)絡(luò)流模型，給出了各類服務(wù)開(kāi)行時(shí)間的確定方法，目標(biāo)在于最小化所有貨物的總運(yùn)輸時(shí)間。該文還考慮了空駛車輛的調(diào)配問(wèn)題。文獻(xiàn)[19]基于上文的研究給出了一種基于分支-定價(jià)的求解框架，提高了模型求解效率。

本文主要研究考慮貨運(yùn)車輛周轉(zhuǎn)的鐵路動(dòng)態(tài)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先拓展傳統(tǒng)的離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)為一類超級(jí)網(wǎng)絡(luò)，用于描述貨運(yùn)車輛在網(wǎng)絡(luò)中的流動(dòng)過(guò)程(即所謂車輛流)以及在重、空兩種狀態(tài)中的轉(zhuǎn)換，基于此構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃模型。動(dòng)態(tài)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題由于引入了時(shí)間因素，通常會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較為龐大，采用商用優(yōu)化模型求解軟件(如IBM ILOG等)無(wú)法直接求解，而本文所研究的問(wèn)題又在網(wǎng)絡(luò)中引入了車輛流的概念，進(jìn)一步增加了模型的求解難度，故本文給出一種基于分支-定價(jià)-切割的求解算法，通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整貨流和車輛流的徑路集以減小模型規(guī)劃和計(jì)算量。最后通過(guò)算例對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。

本文所建的模型不僅適用于某單一特定車型，也適用于更為普遍的多車型場(chǎng)景，而單一車型(如糧食專用車、化學(xué)用品專用罐車等)可以看作是對(duì)給出模型的一種簡(jiǎn)化。本文給出的方法既可應(yīng)用于中長(zhǎng)期計(jì)劃的制定，也可以用于周、日計(jì)劃乃至階段計(jì)劃的編制過(guò)程。當(dāng)應(yīng)用于中長(zhǎng)期計(jì)劃制定時(shí)，根據(jù)給定貨流結(jié)構(gòu)、可用車型、各車型車輛數(shù)量和空間分布，可以得到最優(yōu)列車時(shí)刻表以及列車編組計(jì)劃；當(dāng)用于短期計(jì)劃時(shí)，編組計(jì)劃可作為框架性指導(dǎo)，列車編組內(nèi)容將嚴(yán)格按照編組計(jì)劃規(guī)定，這將簡(jiǎn)化模型和算法的計(jì)算量，但與此同時(shí)，問(wèn)題的優(yōu)化空間也受一定影響。考慮到實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，編組計(jì)劃經(jīng)常根據(jù)貨流結(jié)構(gòu)進(jìn)行微調(diào)，本研究在應(yīng)用于短期計(jì)劃編制時(shí)，可以考慮適當(dāng)放寬編組計(jì)劃，例如只嚴(yán)格規(guī)定重點(diǎn)列車的編組內(nèi)容，而允許對(duì)其他列車的編組計(jì)劃進(jìn)行調(diào)整，此時(shí)，模型結(jié)果也可以用于編組計(jì)劃微調(diào)的參考和依據(jù)。

1 考慮車輛周轉(zhuǎn)的鐵路動(dòng)態(tài)運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)模型

在模型構(gòu)建之前，首先對(duì)文獻(xiàn)[17]定義的鐵路動(dòng)態(tài)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拓展。該文獻(xiàn)中的鐵路動(dòng)態(tài)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)以離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，只要合理設(shè)置單位時(shí)段的長(zhǎng)度，離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)足以滿足實(shí)際應(yīng)用需要。在運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定的條件下，各類車輛在網(wǎng)絡(luò)中的流轉(zhuǎn)可以看作是車輛流尋路的過(guò)程，車輛將按照一定規(guī)則分配到運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的各條運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧(也即列車運(yùn)行線)上去。與普通貨流有所不同的是，車輛流在運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的分配過(guò)程要更加靈活，有可能有特定的起點(diǎn)和終點(diǎn)，也有可能有服務(wù)區(qū)域的限制(例如，用于散糧運(yùn)輸專用的車輛一般都為企業(yè)自購(gòu)，只能服務(wù)于部分區(qū)域)，并且運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧上的車輛流大小應(yīng)與其上的貨流大小相匹配?；诖?，根據(jù)車輛的使用區(qū)域范圍對(duì)動(dòng)態(tài)離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行區(qū)域劃分，每個(gè)區(qū)域添加一個(gè)超級(jí)節(jié)點(diǎn)表示車輛流的虛擬起點(diǎn)，為所有區(qū)域添加一個(gè)超級(jí)節(jié)點(diǎn)表示車輛流的虛擬終點(diǎn)，不同區(qū)域之間通過(guò)運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧相連，如圖1所示。圖1中的運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧表示貨運(yùn)列車，其發(fā)車時(shí)間、出發(fā)站、到達(dá)時(shí)間、到達(dá)站等信息取決于聯(lián)弧起點(diǎn)和終點(diǎn)的屬性，延遲聯(lián)弧表示車流在同一車站的停留過(guò)程，超級(jí)聯(lián)弧并沒(méi)有實(shí)際含義，僅代表車輛的虛擬起點(diǎn)和虛擬終點(diǎn)。車輛不同使用區(qū)域?qū)?yīng)不同的虛擬起點(diǎn)和虛擬終點(diǎn)，車輛將從對(duì)應(yīng)區(qū)域的虛擬起點(diǎn)出發(fā)，在該區(qū)域?qū)?yīng)的時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中(整個(gè)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的一部分)選擇合理的徑路。

圖1 超級(jí)動(dòng)態(tài)貨運(yùn)列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)

1.1 參數(shù)定義

1.2 決策變量定義

1.3 模型構(gòu)建

( 1 )

s.t.

?f∈F

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

?a∈Atrain，e∈E

( 6 )

xa∈{0，1}，?a∈Atrain

( 7 )

( 8 )

( 9 )

式( 1 )為目標(biāo)函數(shù)，表示最小化總成本，包括添加運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧的固定成本、貨流在網(wǎng)絡(luò)中流動(dòng)的成本及車輛流在網(wǎng)絡(luò)中流動(dòng)的成本；式( 2 )為貨流的流量守恒約束；式( 3 )為車輛流的流量守恒約束；式( 4 )和式( 5 )為運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧上車輛流的最小值和最大值約束，其中最大值和最小值即編組計(jì)劃規(guī)定的列車最大編組輛數(shù)和最小編組輛數(shù)；式( 6 )表示運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧上的總貨流量應(yīng)小于其上車輛流決定的最大流量；式( 7 )～式( 9 )為決策變量的邏輯約束。

2 求解算法

首先討論Benders割的生成方法?；诮o定的服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)變量xa，原模型退化為包含兩類商品流(貨流和車輛流)的多商品網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題，給出基于列生成的求解算法。

2.1 Benders割的生成方法

令運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)變量xa(x為其向量形式)為原模型的復(fù)雜變量，τ為人工變量，可定義主問(wèn)題如下

P2：

s.t.

xa∈{0，1}，?a∈Atrain

τ≥0

令(x*，τ*)表示上述主問(wèn)題的最優(yōu)解的向量形式。在模型中添加人工變量m和r用于保證子問(wèn)題總有解。由于服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)變量x為整數(shù)變量，因此需要考慮該變量的分支過(guò)程(該變量只取0或1，因此分支過(guò)程較為簡(jiǎn)單，本文不再贅述)。給定(x*，τ*)，可構(gòu)建子問(wèn)題用于獲取Benders割。

s.t.

?f∈F

(13)

(14)

?a∈Atrain

(15)

?a∈Atrain

(16)

m|F|+|L|+2|Atrain|+a+e-n≤0 ?a∈Atrain，e∈E

(17)

(18)

xa∈{0，1}，?a∈Atrain

(19)

(20)

(21)

mj≥0，i=1，2，…，2|Atrain|+

|Atrain||E|+|F|+|L|

(22)

r>0

(23)

以上模型可以用下文介紹的列生成法求解。令(y*，z*，m*，l*)表示子問(wèn)題的最優(yōu)解，β為式(18)的對(duì)偶向量，M表示一個(gè)足夠大的正數(shù)，原模型最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的上界為

原模型最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的下界為

如果|ωupper-ωlower|≤ε，不需要再向模型中添加Benders割，否則，在上文中的主問(wèn)題中添加如下Benders割

2.2 求解子模型的列生成算法

上述子問(wèn)題屬于一類特殊的多商品網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題，其中車輛流和貨流的可選徑路集大小決定了模型的規(guī)模。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時(shí)，顯然采用先獲取貨流和車輛流所有徑路，然后再求解模型的方法并不可取。為此，本文給出一種列生成算法，通過(guò)不斷求解定價(jià)子問(wèn)題，來(lái)增加貨流和車輛流的徑路，此即定價(jià)過(guò)程。

2.3 算法總體步驟

綜上，求解模型P1的分支-定價(jià)-切割算法步驟如下，易知該算法在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)可收斂至全局最優(yōu)解，可根據(jù)實(shí)際需要設(shè)置算法終止條件，如連續(xù)若干次迭代目標(biāo)函數(shù)值無(wú)改進(jìn)、算法運(yùn)行時(shí)間達(dá)到給定標(biāo)準(zhǔn)或算法迭代到一定次數(shù)。

步驟1定義主問(wèn)題P2，采用分支-定界方法求解；

步驟2采用列生成算法求解給定主問(wèn)題結(jié)果后退化而得的模型P3，直至貨流和車輛流都不需要再添加新徑路；

步驟3根據(jù)步驟1的結(jié)果生成Benders割，并計(jì)算模型P1的上界和下界；

步驟4如果上界和下界的差距在容許范圍內(nèi)，算法結(jié)束，輸出最優(yōu)解；否則，在模型P2中添加Benders割，并采用分支-定界方法求解，轉(zhuǎn)步驟2。

3 算例分析

本章將給出算例對(duì)上述模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證，算法由Java實(shí)現(xiàn)，并在操作系統(tǒng)為Redhat Linux 5.6、主頻為Intel Xeon(E5520，2.27 GHz)的IBM System X服務(wù)器上運(yùn)行。算例中的鐵路物理網(wǎng)絡(luò)如圖2所示，圖2中標(biāo)出了各場(chǎng)站間列車行駛時(shí)間，單位為時(shí)段，總決策時(shí)間長(zhǎng)度為12個(gè)時(shí)段。算例中只考慮棚車一種車輛。

圖2 算例中的鐵路物理網(wǎng)絡(luò)

備選運(yùn)輸服務(wù)相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。在網(wǎng)絡(luò)中添加運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧的固定費(fèi)用(也即開(kāi)行列車的固定費(fèi)用)主要包括開(kāi)行列車占用運(yùn)行線的費(fèi)用及機(jī)車牽引費(fèi)用，車輛流通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的費(fèi)用主要指租用車輛的費(fèi)用(按使用時(shí)間收費(fèi))。

表1 備選運(yùn)輸服務(wù)集合

假設(shè)上述運(yùn)輸服務(wù)在所有時(shí)段都可開(kāi)行，則可添加到網(wǎng)絡(luò)中的備選運(yùn)輸服務(wù)聯(lián)弧數(shù)量為130條。算例中所有貨流相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 貨流相關(guān)參數(shù)

假設(shè)所有車站都屬于同一區(qū)域，因此只需在離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中添加一個(gè)超級(jí)節(jié)點(diǎn)。再假設(shè)有1 000輛棚車可以在該區(qū)域使用，這些車輛全部保有在虛擬的超級(jí)起點(diǎn)。在本算例的運(yùn)行環(huán)境下，算法運(yùn)行2 s后收斂至最優(yōu)解，見(jiàn)表3。注意表3中部分列車實(shí)際為重空混編，如序號(hào)為2、4和6的列車，這主要是由于模型中規(guī)定了列車最小編組輛數(shù)，由于重車數(shù)量不足，因此用空車補(bǔ)齊，這也是實(shí)際運(yùn)營(yíng)調(diào)度指揮中經(jīng)常使用的一種策略。

表3 算法運(yùn)行結(jié)果

在以上算例中，如果假設(shè)鐵路線路D-E連接兩個(gè)不同的國(guó)家，也即從A、B、C、D站出發(fā)的棚車在決策時(shí)間結(jié)束時(shí)必須返回A、B、C、D中任意一個(gè)車站，而從E、F、G站出發(fā)的棚車在決策時(shí)間結(jié)束時(shí)也必須返回E、F、G站中任意一個(gè)車站。此時(shí)，離散時(shí)空網(wǎng)路中將添加2個(gè)超級(jí)起點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)于A、B、C、D站和E、F、G站，車輛流也將因此被拆分為兩支。此外，再將E、F、G站可用的棚車數(shù)量降低為30，A、B、C、D站可用的棚車數(shù)量降低為500，以測(cè)試本文模型給出的空車調(diào)配方案。在同樣的計(jì)算環(huán)境下，算法運(yùn)行結(jié)果表明，在E、F、G三站間開(kāi)行的列車編組中包含來(lái)自A、B、C、D站的車輛，例如，時(shí)段1開(kāi)行的列車E-F(服務(wù)于貨流13)，時(shí)段6開(kāi)行的列車E-G(服務(wù)于貨流15)和時(shí)段9開(kāi)行的列車E-G(服務(wù)于貨流16)。但這些車輛全部編往一列從G站開(kāi)往E站的排空列車輸送回A、B、C、D站所屬的區(qū)域。

如果進(jìn)一步把A、B、C、D站可使用的棚車數(shù)量減少到300，時(shí)段6和時(shí)段9開(kāi)行的列車E-G仍由來(lái)自A、B、C、D站的車輛組成，但時(shí)段1和3開(kāi)行的列車E-F則由來(lái)自E、F、G站的車輛組成。為了滿足車輛使用區(qū)域的約束，時(shí)段10和12將開(kāi)行兩列從G到E的排空列車，時(shí)段2將開(kāi)行從F到E的排空列車，用于時(shí)段開(kāi)行的列車E-F。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究考慮車輛周轉(zhuǎn)的鐵路動(dòng)態(tài)運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，對(duì)傳統(tǒng)的離散時(shí)空網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行拓展以描述重車和空車之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立混合整數(shù)規(guī)劃模型以同時(shí)解決列車開(kāi)行時(shí)段、編組內(nèi)容和空車調(diào)配方案等問(wèn)題。本文給出的方案既可用于進(jìn)一步編制列車運(yùn)行圖的框架，同時(shí)也可用于估算為滿足運(yùn)輸需求所需各車種貨車的數(shù)量。文中給出了一種分支-定價(jià)-切割算法用于求解模型，該算法可保證收斂至模型的全局最優(yōu)解，并給出了算例以證明模型算法的有效性。算例中還通過(guò)調(diào)整模型中的輸入?yún)?shù)以測(cè)試不同車輛數(shù)量下排空策略的調(diào)整方案。未來(lái)進(jìn)一步研究可關(guān)注當(dāng)單位時(shí)段縮小(如1 h或0.5 h)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)規(guī)模進(jìn)一步擴(kuò)大時(shí)，如何改進(jìn)分支-定價(jià)-切割的策略以加快算法收斂速度，滿足實(shí)際應(yīng)用的需要。

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