胡偉鋼，劉志明，王 曦，林浩博

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度決定了機(jī)械系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)及使用壽命，且關(guān)系到飛機(jī)、鐵路列車、汽車等交通工具的運(yùn)行安全，在結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)和運(yùn)營評估中，了解結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)變分布場和關(guān)鍵位置結(jié)構(gòu)響應(yīng)是十分必要的[1]。

結(jié)構(gòu)響應(yīng)一般分為非結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)[2]。鐵道車輛部件對非結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)測試一般采用直接測試法和準(zhǔn)靜態(tài)標(biāo)定法[3-4]，對結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)測試一般采用直接測試法[5-6]。目前，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)測量一般是定性給出傳感器布置方案[7-8]，在布置傳感器過程中會(huì)有大量的經(jīng)驗(yàn)性和不確定性。

本文提出一種通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)表面可測部位測點(diǎn)的方法，逆求結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)模態(tài)參與因子，獲得結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變響應(yīng)。該方法利用應(yīng)變片質(zhì)量輕,在結(jié)構(gòu)測試時(shí)不會(huì)改變被測結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)參數(shù)的特點(diǎn)，通過在結(jié)構(gòu)表面上粘貼合適數(shù)量的應(yīng)變片，基于D優(yōu)化理論優(yōu)化最佳測點(diǎn)位置和方向，根據(jù)模態(tài)疊加基本原理，得到整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征。該方法為復(fù)雜結(jié)構(gòu)無法實(shí)測部位結(jié)構(gòu)響應(yīng)提供了一種間接測試方法。

1 模態(tài)參與因子估計(jì)基本理論

1.1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)

對于一個(gè)結(jié)構(gòu)可離散為N自由度的系統(tǒng)，其平衡運(yùn)動(dòng)方程為[9]

( 1 )

其中n×1的x(t)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)可以表示為位移模態(tài)的線性組合。

( 2 )

式中：Φ=[φ1φ2…φn]，為n×n結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣；qi(t)是模態(tài)振型φi的模態(tài)參與因子；q(t)=[q1q2…qn]為結(jié)構(gòu)振型Φ模態(tài)參與因子向量。

在模態(tài)坐標(biāo)下，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可以表示為[10]

( 3 )

對于一個(gè)連續(xù)的結(jié)構(gòu)體，在時(shí)域上結(jié)構(gòu)變形與應(yīng)變存在如下的線性微分關(guān)系

ε(t)=Dx(t)

( 4 )

式中：D是微分算子。通過微分運(yùn)算對式( 2 )進(jìn)行計(jì)算，對特定時(shí)間點(diǎn)模態(tài)的線性疊加為

( 5 )

結(jié)構(gòu)模態(tài)的微分即為結(jié)構(gòu)應(yīng)變模態(tài)，根據(jù)式( 4 )、式( 5 )可以得到

( 6 )

式中：Ψε=[φ1φ2…φn]為結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變矩陣。式( 6 )表明對于在線彈性范圍內(nèi)的小變形結(jié)構(gòu)上任意點(diǎn)的時(shí)間域應(yīng)變響應(yīng)可以表示為模態(tài)應(yīng)變的線性疊加，即模態(tài)疊加。

1.2 模態(tài)參與估計(jì)

( 7 )

( 8 )

( 9 )

2 應(yīng)變片測點(diǎn)布置方法

2.1 測試候選區(qū)

定義在結(jié)構(gòu)表面上適宜安裝應(yīng)變片的所有區(qū)域?yàn)闇y試候選區(qū)，在測試候選區(qū)內(nèi)可粘貼應(yīng)變片測點(diǎn)為測試候選點(diǎn)，測試候選點(diǎn)與位置和方向有關(guān)，通過優(yōu)化得到參與模態(tài)參與因子估計(jì)的測點(diǎn)組合為優(yōu)化測點(diǎn)組。結(jié)合文獻(xiàn)[3，8]所述的傳感器布置方案及結(jié)構(gòu)的幾何特征，給出適宜布置應(yīng)變片測試候選區(qū)的選擇原則：

(1)測試候選區(qū)應(yīng)充分反映結(jié)構(gòu)彈性模態(tài)變形的整體特征，特別是結(jié)構(gòu)的主要模態(tài)振動(dòng)方向的變形。

(2)測試候選區(qū)必須保證本區(qū)域結(jié)構(gòu)為彈性變形且應(yīng)變梯度變化不應(yīng)過大，這些區(qū)域包括載荷激勵(lì)區(qū)、結(jié)構(gòu)幾何應(yīng)力集中區(qū)、結(jié)構(gòu)缺陷區(qū)等。

(3)測試候選區(qū)應(yīng)避開應(yīng)變片安裝空間位置無法滿足區(qū)域和傳感器信號傳輸困難的區(qū)域，這些位置包括結(jié)構(gòu)裝配區(qū)域，如箱體內(nèi)部、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)孔等。

在建立由實(shí)體單元離散的有限元模型時(shí)，利用薄膜單元在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中只傳遞面內(nèi)力，沒有彎曲剛度的特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)表面測試候選區(qū)域增加一層薄膜單元，通過薄膜單元應(yīng)變信息來表達(dá)測試候選區(qū)的應(yīng)變片信息。由于節(jié)點(diǎn)應(yīng)變信息存在不唯一性，因此，選擇單元應(yīng)變信息進(jìn)行分析計(jì)算。

測點(diǎn)方向θ是測點(diǎn)敏感度的變量，單元在不同角度θ(0°≤θ<180°)得到各自的應(yīng)變張量，應(yīng)變張量由xyz坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到任意x′y′z′坐標(biāo)系[12]

式中：Tm是x′y′z′坐標(biāo)系對xyz坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。薄膜單元的局部坐標(biāo)系內(nèi)，z軸方向始終垂直于單元面，其轉(zhuǎn)換矩陣為

2.2 D優(yōu)化設(shè)計(jì)

由優(yōu)化矩陣[ψε]opt可得優(yōu)化模態(tài)參與因子估計(jì)為

3 懸臂梁模態(tài)參與因子識(shí)別

3.1 激振懸臂梁有限元模型

將懸臂梁作為工程對象進(jìn)行模態(tài)參與因子識(shí)別，搭建懸臂梁試驗(yàn)激振臺(tái)，如圖1所示，懸臂梁方形端后半部分固定，另一端開孔為激振桿裝配孔，激振桿與懸臂梁之間為螺栓連接，激振器通過激振桿傳遞激振力。

圖1 試驗(yàn)懸臂梁

按照2.1節(jié)所述方法選擇測試候選區(qū)，如圖1中紅色區(qū)域。對懸臂梁模型進(jìn)行模態(tài)分析，表1為懸臂梁前3階模態(tài)頻率。

表1 試驗(yàn)懸臂梁前3階模態(tài)頻率

選擇6個(gè)測點(diǎn)估計(jì)懸臂梁前3階模態(tài)參與因子，按照2.2所述運(yùn)用D優(yōu)化法得到測試候選區(qū)內(nèi)測點(diǎn)最佳位置和方向，圖1中給出由測點(diǎn)G#1～G#6組成的優(yōu)化測點(diǎn)組，預(yù)留候選區(qū)內(nèi)部測點(diǎn)G#7和外部測點(diǎn)G#8驗(yàn)證模態(tài)參與因子估計(jì)。

圖2所示為懸臂梁優(yōu)化測點(diǎn)組G#1～G#6和驗(yàn)證測點(diǎn)G#7與G#8的前3階模態(tài)應(yīng)變矩陣。

圖2 懸臂梁各測點(diǎn)前3階模態(tài)應(yīng)變矩陣

3.2 模態(tài)參與因子識(shí)別及驗(yàn)證

對激振器提供25～300 Hz的等幅值掃頻信號，同步采集各應(yīng)變片信號，采樣頻率為2 000 Hz，得到各測點(diǎn)的應(yīng)變響應(yīng)，根據(jù)式(13)，采用最小二乘法估計(jì)各階模態(tài)參與因子，如圖3所示。

圖3 前3階模態(tài)參與因子估計(jì)

根據(jù)上文的模態(tài)參與因子和模態(tài)應(yīng)變矩陣，由式( 6 )模態(tài)疊加原理可得各測點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)時(shí)域波形。圖4(a)和圖5(a)所示分別為驗(yàn)證測點(diǎn)G#7和G#8的試驗(yàn)值和反求值時(shí)域波形。為了清晰表達(dá)時(shí)域波形的重合度，將試驗(yàn)信號和反求信號建立散點(diǎn)圖，圖4(b)和圖5(b)所示分別為驗(yàn)證測點(diǎn)G#7和G#8的試驗(yàn)值和反求值的散點(diǎn)圖。

圖4 測點(diǎn)G#7應(yīng)力的試驗(yàn)值和反求值

圖5 測點(diǎn)G#8應(yīng)力的試驗(yàn)值和反求值

表2所示為各測點(diǎn)試驗(yàn)值和反求值的散點(diǎn)擬合相關(guān)性及RMS誤差，各測點(diǎn)線性擬合斜率接近1，相關(guān)性接近1，均方根誤差均較小，說明試驗(yàn)應(yīng)力信號和反求應(yīng)力信號波形重合度高。驗(yàn)證測點(diǎn)G#7和G#8的散點(diǎn)圖擬合斜率接近1，擬合相關(guān)性高，均方根誤差小，反求波形和實(shí)際測試波形重合度高，說明運(yùn)用模態(tài)參與因子估計(jì)的方法估計(jì)準(zhǔn)確度高。

表2 各測點(diǎn)擬合相關(guān)性及RMS誤差

4 箱體模態(tài)參與因子識(shí)別

4.1 箱體有限元模型

齒輪箱作為高速列車傳動(dòng)系統(tǒng)重要組成部分，對于保障高鐵列車的動(dòng)力傳輸具有重要作用，其主要由大小齒輪、箱體和聯(lián)軸節(jié)構(gòu)成，其中，小齒輪通過聯(lián)軸節(jié)與牽引電機(jī)相連，大齒輪直接壓裝在輪軸上，齒輪箱箱體的一端通過抱軸承懸掛在車軸上，另一端通過吊桿吊掛在構(gòu)架橫懸臂梁上[15]。圖6所示為齒輪箱箱體有限元模型，在箱體安裝軸承的中心建立參考點(diǎn)RP1、RP2、RP3和RP4，吊餅區(qū)中心建立參考點(diǎn)RP5，箱體和軸承的接觸面與對應(yīng)參考點(diǎn)之間建立耦合關(guān)系，參考點(diǎn)RP5與吊餅面建立耦合關(guān)系，約束參考點(diǎn)RP5的Y和Y轉(zhuǎn)動(dòng)方向，箱體通過抱軸方式懸掛在車軸上，因此，約束參考點(diǎn)RP1和RP2的X、Y、Z、X轉(zhuǎn)動(dòng)和Y轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

圖6 齒輪箱箱體模型

對箱體進(jìn)行模態(tài)分析，圖7所示為第1階模態(tài)應(yīng)變響應(yīng)，表3為前11階模態(tài)頻率。

圖7 第1階約束模態(tài)響應(yīng)

模態(tài)階次模態(tài)頻率/Hz1659.721023.631265.241389.151826.261900.772220.382594.092631.1102813.3112890.1

按照2.1節(jié)所述方法選擇適宜的測試候選區(qū)，如圖8所示，去掉所有不適合粘貼應(yīng)變片位置(包括箱蓋、吊桿、銘牌、軸承蓋等附近)。選擇22個(gè)測點(diǎn)估計(jì)箱體的前11階模態(tài)參與因子，按照2.2節(jié)所述D優(yōu)化得到測試候選區(qū)內(nèi)測點(diǎn)最佳位置和方向，圖8給出了由優(yōu)化得到測點(diǎn)G&1～G&22的優(yōu)化測點(diǎn)組。

圖8 箱體測試候選區(qū)及優(yōu)化測點(diǎn)組測點(diǎn)

圖9所示為箱體優(yōu)化測點(diǎn)組測點(diǎn)G&1～G&22前11階模態(tài)應(yīng)變矩陣。

圖9 箱體各測點(diǎn)前11階模態(tài)應(yīng)變矩陣

4.2 箱體模態(tài)參與因子識(shí)別

高速列車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)通常采用斜齒輪單級傳動(dòng)，輪齒嚙合產(chǎn)生軸向力、徑向力和垂向力，這三個(gè)方向的力由軸承傳遞給箱體。根據(jù)文獻(xiàn)[15]齒輪箱箱體軸承載荷分布關(guān)系和文獻(xiàn)[16]中運(yùn)營工況下齒輪箱箱體載荷值，參考點(diǎn)RP3的縱向載荷幅值、垂向載荷幅值分別2 194、4 227 N，參考點(diǎn)RP4的縱向載荷幅值、垂向載荷幅值、橫向載荷幅值分別2 194、4 227、3 077 N。對RP3和RP4按照上述對應(yīng)載荷幅值加載動(dòng)態(tài)掃頻載荷，掃頻范圍為500～1 500 Hz，掃頻時(shí)間為1 s，運(yùn)用瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真模擬，提取測點(diǎn)G&1～G&22應(yīng)變響應(yīng)。

實(shí)際測試和模擬仿真一般存在誤差，如式(14)所示，對應(yīng)變測點(diǎn)G&1～G&22理論值加15%的白噪聲幅值誤差進(jìn)行模態(tài)參與因子估計(jì)，如圖10所示。

εTest(t)=εth(t)+Δε(t)

(14)

式中：εTest(t)為實(shí)際測量應(yīng)變響應(yīng)；εth(t)為理論應(yīng)變響應(yīng)；Δε(t)為誤差應(yīng)變。

圖10 測點(diǎn)G&1理論應(yīng)變響應(yīng)波形和15%白噪聲幅值誤差波形

根據(jù)式(13)，運(yùn)用最小二乘法估計(jì)各階模態(tài)參與因子，如圖11所示(GU1為仿真波形，MPF1為識(shí)別波形)。表4給出15%應(yīng)變幅值誤差的各階模態(tài)參與因子理論值和反求值擬合相關(guān)性及RMS誤差。

圖11 第1階模態(tài)參與因子波形及散點(diǎn)圖

模態(tài)階次模態(tài)參與量/%斜率k擬合優(yōu)度r2RMS誤差/%180.1600.99980.99961.03211.8000.99990.99593.6646.9500.99960.99812.1831.0101.00040.953711.94100.0700.99860.96809.2850.0041.00120.923622.0760.0031.00100.942418.9570.0021.00000.904224.75801.00420.3822130.2590.0011.00090.97008.801101.01520.0920171.50

由表4可知，第1、2、4階模態(tài)參與量之和占總模態(tài)的98.91%，模態(tài)參與因子的識(shí)別波形與理論波形之間RMS誤差較小，第3、10階模態(tài)參與量之和占總模態(tài)1.08%，模態(tài)參與因子的識(shí)別信號與理論信號的RMS誤差不超過12%；第5、6、7、8、9和11階模態(tài)的模態(tài)參與量之和占總模態(tài)的0.01%，對結(jié)構(gòu)振動(dòng)貢獻(xiàn)量較少，即使RMS誤差較大，對結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)的能量貢獻(xiàn)較小，可以忽略。

箱體的第1、2、4階模態(tài)可以表達(dá)結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng)特征，通過本文提出的方法可以準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要模態(tài)參與因子，說明運(yùn)用有限測點(diǎn)測試可以識(shí)別箱體整體結(jié)構(gòu)特征。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于優(yōu)化結(jié)構(gòu)表面應(yīng)變測點(diǎn)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)參與因子的時(shí)域識(shí)別方法，結(jié)合模態(tài)應(yīng)變響應(yīng)矩陣，可以獲得結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)。文中將懸臂梁板作為研究對象，選擇6個(gè)應(yīng)變測點(diǎn)對25～300 Hz的掃頻信號進(jìn)行前3階模態(tài)參與因子時(shí)域波形估計(jì)，由模態(tài)疊加反求的兩驗(yàn)證測點(diǎn)應(yīng)力的RMS誤差值較小，說明該方法模態(tài)參與因子估計(jì)準(zhǔn)確度高。

對高速列車齒輪箱箱體進(jìn)行小齒輪軸承座位置500～1 500 Hz掃頻仿真，選擇22個(gè)測點(diǎn)的仿真應(yīng)變響應(yīng)并對每個(gè)測點(diǎn)加15%的白噪聲幅值誤差，根據(jù)模態(tài)疊加基本原理，結(jié)合模態(tài)應(yīng)變響應(yīng)，運(yùn)用最小二乘法估計(jì)前11階模態(tài)參與因子時(shí)域波形，其中，模態(tài)參與量總和為98.9%的第1、2、4階模態(tài)參與因子估計(jì)的RMS誤差最大為3.66%，而其他階模態(tài)參與因子雖然誤差較大，但模態(tài)參與量較小，對結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)誤差較小，箱體的模態(tài)參與因子識(shí)別效果好。

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