桂水榮， 陳水生， 萬 水

(1.華東交通大學土木建筑學院 南昌，330013) (2.東南大學交通學院 南京，210096)

引 言

路面不平順一直被廣大學者認為是影響車橋耦合振動的一個主要因素，國內(nèi)外學者針對這一影響因素展開廣泛研究。Chatterjee等[1]根據(jù)10個橋面隨機不平順激勵樣本，考慮路面不平順激勵影響，認為車橋耦合共振響應(yīng)很大程度上依賴于車輛速度和橋梁頻率。Li等[2]認為橋面不平順樣本的峰值位置對沖擊系數(shù)有很大影響。Calcada等[3]分析了各種因素對橋面板的沖擊，認為橋面不平順是影響車輛對橋梁沖擊效應(yīng)的最主要因素。Claude等[4]分析不同等級路面對橋面板的局部沖擊，路面不平順對橋梁振動響應(yīng)起主要作用，且對不同點位沖擊作用不同。對車橋耦合進行理論研究時，國內(nèi)外學者紛紛采用不同的路面譜函數(shù)進行分析。Li等[5]采用Wang 1993譜[6]分析橋面不平順對車橋耦合振動的影響。韓萬水等[7]采用Dodds譜函數(shù)[8]分析路面非一致激勵對車橋耦合振動的影響。葉茂等[9]采用GB7031-86譜[10]分析高架橋汽車荷載對地面作用力。許海亮等[11]研究車路耦合效應(yīng)基本采用GB7031-86譜。張立軍等[12]研究認為Wigner-Ville譜能很好反映路面波形特征。但研究多輪車非平穩(wěn)隨機路面激勵相干模型[13]均采用GB7031-1986譜，研究車輛振動特性[14-15]主要采用余志生[16]實測譜和GB7031-86譜。鐘陽等[17]對比中國和美國200多條道路的路面平整度指標，認為中國路面平整狀況遠遠差于美國。國內(nèi)外學者采用不同的路面譜函數(shù)研究車輛振動、車橋耦合振動響應(yīng)、車路耦合振動響應(yīng)，各國規(guī)范和學者所采用的路面譜函數(shù)對車橋耦合振動響應(yīng)的影響未曾比對，研究路面譜函數(shù)對其影響，就顯得尤為必要。本研究將車輛簡化為兩自由度的四分之一車模型，橋梁離散為梁單元，以路面隨機譜激勵函數(shù)作為輸入，基于虛擬激勵法建立車橋耦合隨機振動模型，研究GB7031譜、Wang譜及國際標準化組織(international standardization orgnization,簡稱ISO)譜三種路面譜函數(shù)對簡支梁橋及車輛振動響應(yīng)的影響。

1 車-橋耦合系統(tǒng)計算模型

1.1 車輛模型

根據(jù)車輛振動特性，作用在橋梁上的車輛荷載，可以簡化成四分之一車模型，將車體質(zhì)量集中到m1，懸架彈簧剛度及阻尼等效為k1和c1，輪軸質(zhì)量集中到m2，車輪剛度及阻尼等效為k2和c2的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)。假設(shè)簡支梁橋靜止時為平衡位置，車輛以速度v行駛，簧載質(zhì)量m1的動位移為z1，輪軸動位移為z2，車輪始終與梁體保持接觸不脫離，與所在位置梁的撓度y(x,t)保持一致，如圖1所示。根據(jù)達朗貝爾原理，四分之一車模型振動方程可寫成

(1)

k1z1+(k1+k2)z2=0

(2)

其中：d(x,t)=y(x,t)+w(x,t)；w(x,t)為路面不平順樣本幅值。

圖1 四分之一車-橋耦合振動模型Fig.1 A simple beam bridge subjected to two degree of freedom system

1.2 橋梁模型

將橋梁進行有限元離散，橋梁振動方程為

(3)

為減少計算工作量，引入模態(tài)綜合疊加技術(shù)，使用Rayleigh阻尼，取r階模態(tài)，根據(jù)振型分解法，式(3)可以改寫為

(4)

其中：I，X，Ω為對角質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；Φ為橋梁r階模態(tài)向量矩陣，Φ=[φ1,φ2,…,φr]；φr為第r階頻率對應(yīng)各節(jié)點模態(tài)向量。

1.3 車橋耦合振動模型

根據(jù)車輪與橋梁接觸處的位移協(xié)調(diào)和相互作用力平衡關(guān)系，車橋耦合振動過程中，作用于橋梁上的荷載可以表示為

Fbv=NT[(m1+m2)g+k2(z2-NΦq-w)+

(5)

其中：N為插值函數(shù)；N’x為插值函數(shù)對x的導數(shù)。

將式(5)代入式(4)并進行模態(tài)正交分解，可得

(6)

將式(1),(2)與式(6)聯(lián)立建立車橋耦合振動方程

(7)

其中：Mbv，Cbv，Kbv為廣義質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；u為廣義坐標列陣，u={q1,q2,…,qr,z1,z2}T。

式(7)中外荷載包括自重產(chǎn)生的確定性激勵荷載Fg和路面不平順產(chǎn)生的隨機激勵荷載Fw，F(xiàn)g引起的車橋耦合確定性振動響應(yīng)uid，可由Newmark-β法或PIM迭代求解；Fw引起的車橋耦合隨機振動響應(yīng)uir，可由虛擬激勵法進行求解。

(8)

其中：Mvs，Cvs，Kvs分別為車輛模型的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣；Q，S，A1，A2，B1，B2分別為車橋耦合振動引起的阻尼及剛度矩陣的修改系數(shù)矩陣。

1.4 車橋耦合虛擬激勵模型

(9)

虛擬激勵法適用于求解隨機激勵作用下時變系統(tǒng)，由式(9)可知，路面不平順激勵引起的隨機荷載Fw中包含了路面不平順時間序列的豎向位移項和速度項。根據(jù)式(9)可構(gòu)造虛擬激勵荷載

(10)

其中：Srr(ω) 為頻域下路面不平順功率譜密度。

則式(10)的虛擬激勵荷載作用下車橋耦合振動虛擬響應(yīng)必為

(11)

對式(11)求響應(yīng)功率譜密度為

(12)

由位移功率譜密度與加速度功率譜密度的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得系統(tǒng)加速度功率譜密度矩陣為

(13)

2 路面不平順譜激勵模型

當車輛以一定速度v通過，根據(jù)時間頻率f與空間頻率n的關(guān)系f=vn，將空間頻率(n1,n2)內(nèi)的路面位移譜密度Gq(n)轉(zhuǎn)換為時間頻率(f1,f2)內(nèi)的路面位移譜密度Gq(f)，有

(14)

由時間頻率f與圓頻率ω的關(guān)系ω=f/2π，時間頻域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)可轉(zhuǎn)化成圓頻率域內(nèi)的功率譜密度函數(shù)

(15)

各國規(guī)范及學者對路面位移譜密度函數(shù)Gq(n)有不同表達式及分類標準。

2.1 GB 7031譜

國內(nèi)學者[11]研究車路耦合引起的車輛振動或?qū)β访娴恼駝禹憫?yīng)，采用GB 7031-05[10]建議路面功率譜表達式(以下簡稱GB7031譜)為

(16)

其中：n0=0.1 m-1，為空間參考頻率；Gq(n0)空間頻率為n0時路面功率譜密度，與路面等級有關(guān)，分A～F級(常用路面等級為A～D級，對應(yīng)參數(shù)分別取GqA(n0) =16×10-6，GqB(n0) =64×10-6，Gq C(n0) =256×10-6，GqD(n0) =1 024×10-6m2/m-1)；w為頻率指數(shù)，決定路面譜的頻率結(jié)構(gòu)，一般取w=2；n表示有效頻帶中某一空間頻率，其帶寬為(n1,n2)，n1和n2為有效頻帶的上限和下限，頻帶寬需包括路面不平順引起車輛振動的主要固有頻率。

2.2 Wang 1993譜

美國各學者研究路面不平順激勵對橋梁的沖擊效應(yīng)影響[5]，均采用Wangl等[6]1993的路面不平度功率譜密度表達式(以下簡稱Wang 1993譜)

S(ω)=Ar(ω/ω0)-w

(17)

其中：S(ω)為功率譜密度；ω為空間圓頻率；ω0為參考空間頻率，取1/2π；w為雙對數(shù)譜密度曲線斜率，決定路面功率譜密度頻率結(jié)構(gòu)，簡化計算可以取2；Ar為路面不平度系數(shù)，分4個等級，Ar1=5×10-6，Ar2=20×10-6，Ar3=80×10-6，Ar4=260×10-6m2/m-1分別對應(yīng)平順、良好、一般、不平順4種路面狀況。

2.3 ISO 1972 譜

1972年國際標準協(xié)會采納英國MIRA推薦以功率譜進行道路分類的標準ISO SC2/WG4(以下簡稱ISO 1972譜)。該標準將路面不平順功率譜Sq(n0)用分段函數(shù)[18]表示

(18)

其中：n為空間頻率，單位為m-1；n0為標準空間頻率，n0=1/2π=0.16 m-1，它是路面譜低頻和高頻范圍的分界；w1，w2分別為低、高頻兩段頻率指數(shù)；Sq(n0)為標準空間頻率n0所對應(yīng)的功率譜密度，表示路面不平的程度。

ISO SC2/WG4標準將道路分為5類：A極好、B好、C一般、D壞、E極壞，對應(yīng)Sq(n0)的幾何平均值分別為(4,16,64,256,1024) ×10-6m2/m-1，w1和w2分別取2和1.5。

結(jié)合各國規(guī)范及學者提出的路面譜表達式及文獻[19]的實測路面不平順資料，不同等級路面譜的主要區(qū)別在于路面粗糙程度。文獻[19]指出，空間頻率趨于零時，路面輸入振幅將趨向無窮大，這與實際不符，在極低頻段內(nèi)有些頻率長波信號已低于最小空間頻率，對于汽車懸架，極低波段信號成分沒有研究意義。統(tǒng)計分析的路面譜空間頻率范圍在0.011～2.83 m-1之間，取常用車速10～36 m/s，可以保證時間頻率范圍0.33～28.3 Hz，這個時間頻率范圍可以覆蓋典型車輛的車身共振頻率(1～1.5 Hz)、座椅上乘客的頻率(4～5 Hz)和車輪跳動頻率(10～12 Hz)[13]。

3 算例分析

以一輛32 t載重汽車為例，車輛以不同速度行駛在不同路面譜激勵的簡支梁橋上。簡支梁橋結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)為：L=30 m，ρ=2 600 kg/m3，A=1.062 2 m2，I=0.509 2 m4，E=3.5×1010N/m2，車輛參數(shù)取m1=32 025 kg，m2=2 382 kg，k1=1.9×105N/m，c1=5×103N·s/m，k2=1.21×106N/m，c2=3×103N·s/m。運用Beam4梁單元建立橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型，提取前10階自振頻率及振型進行數(shù)值分析。

3.1 路面譜函數(shù)對橋梁豎向響應(yīng)敏感性分析

路面不平順激勵可以看作高斯平穩(wěn)隨機過程，各國規(guī)范和學者均提出了不同的函數(shù)表達式，并根據(jù)路面粗糙度不同，對路面等級進行分類。目前國內(nèi)高速公路以GB7031譜的A，B，C級為主，尤以B級最多，該等級路面與Wang 1993譜的良好等級路面狀況接近。圖2，3分別給出了車輛以25 m/s速度行駛在GB7031譜B級路面、ISO 1972譜等級為“好”的路面及Wang 1993譜等級為“良好”路面的跨中位移均方根及加速度功率譜曲線。車輛未駛?cè)肟缰星埃N路面譜函數(shù)引起的橋梁跨中位移均方根響應(yīng)接近；車輛駛過橋梁跨中，Wang 1993譜引起的跨中位移均方根曲線減小的速率明顯較ISO 1972譜小；GB7031譜和Wang 1993譜引起的跨中位移均方根隨車輛行駛位置的變化斜率相同，但GB7031譜引起的橋梁豎向均方根響應(yīng)較Wang 1993譜大。三種譜函數(shù)作用下，加速度功率譜密度的共振頻率峰值相同，均在4和34 Hz處出現(xiàn)共振峰值，且橋梁基頻4 Hz處的功率譜峰值明顯大于34 Hz頻率峰值。路面不平順引起的橋梁豎向加速度響應(yīng)，主要由橋梁基頻決定，路面不平順譜函數(shù)形式對車橋耦合共振頻率影響較小，但譜函數(shù)粗糙度G0(路面等級)直接影響車橋耦合振動響應(yīng)大小。

3.2 路面譜函數(shù)對車速的敏感性分析

分別將空間頻域內(nèi)的GB7031譜函數(shù)、ISO 1972譜函數(shù)及Wang 1993譜函數(shù)轉(zhuǎn)化為時間頻域內(nèi)譜函數(shù)，選取“B級”、“好”或“良好”等級路面，分析車速對橋跨不同點豎向位移均方根的影響。圖4給出了跨中和L/4位置的最大位移均方根隨車速變化曲線。ISO 1972譜函數(shù)對橋梁動位移響應(yīng)隨車速變化敏感性較其他兩種譜函數(shù)明顯； GB7031譜和Wang 1993譜引起的橋梁豎向動位移響應(yīng)隨車速增加而增大，當車速位于10～25 m/s區(qū)間時，跨中及L/4位置豎向位移響應(yīng)隨車速增加較快；車速大于30 m/s時，跨中及L/4位置由GB7031譜和Wang1993譜引起的橋梁動位移響應(yīng)隨車速變化緩慢。ISO 1972譜引起的跨中及L/4位置動位移均方根響應(yīng)，當車速在5～30 m/s區(qū)間時，隨車速增加處于高值且變化較??；車速達到30 m/s時豎向位移出現(xiàn)最小峰值；當車速大于30 m/s時，隨車速增加，豎向動位移響應(yīng)隨車速增加變化緩慢。

圖2 路面譜函數(shù)對跨中位移均方根影響Fig.2 The RMS curves of displacement at the bridge midpoint with different road roughness spectrum function

圖3 路面譜函數(shù)對跨中加速度功率譜影響Fig.3 The RMS curves of acceleration at the bridge midpoint with different road roughness spectrum function

圖4 位移最大均方根隨車速變化Fig.4 The maximum RMS of displacement based on different speed

3.3 路面譜函數(shù)對車輛振動敏感性分析

為研究路面譜函數(shù)對車輛振動響應(yīng)的敏感性，設(shè)車輛以25 m/s速度勻速通過簡支梁橋，車輛駛出橋跨后，忽略路面不平順激勵作用，但車輛仍以相同速度行駛在光滑地面上。圖5和圖6給出車輛懸架位移和車體加速度隨車輛行駛位置變化曲線。從圖5可以看出，車輛駛?cè)霕蚩绾?，懸架位移迅速達到最大值，車輛駛出橋跨后，懸架位移逐漸減小。從圖6的車體加速度均方根響應(yīng)曲線可以看出，車輛駛?cè)霕蚩绾?，車體加速度迅速增大，但并未立即達到最大值，當車輛行駛至橋跨20 m位置后，車體加速度達到最大值，車輛駛出橋跨后，懸架位移迅速減小，隨著車輛在路面上繼續(xù)向前行駛，車體加速度仍有最大和最小峰值出現(xiàn)。這說明車橋耦合共振對懸架位移影響遠大于車路耦合共振，車輛在光滑路面上行駛，車體加速度未像懸架位移一樣迅速回零。

圖5 車輛懸架位移均方根響應(yīng) Fig.5 The RMS of displacement of suspension

圖7 車輛加速度功率譜密度Fig.7 The power spectrum of truck acceleration

圖7給出了三種路面譜與車橋耦合共同作用時，車輛懸架和車體的加速度功率譜密度曲線。對橋梁和車輛動力特性分析，該簡支梁橋一階豎向自振頻率為4.422 Hz，車輛自振頻率為1.65 Hz。三種路面譜激勵與車橋耦合的共振頻率、懸架加速度和車體加速度均在簡支梁橋一階頻率附近出現(xiàn)共振頻率峰值。與車路耦合作用不同，路面不平順激勵與車橋耦合共振，主要由路面激勵的低階頻率引起，橋梁基頻對共振頻率起決定作用。路面譜對橋梁和車輛振動響應(yīng)的影響，GB7031譜對車輛懸架位移和車體豎向加速度譜密度的影響均較Wang 1993譜大。ISO 1972譜引起的橋梁跨中豎向位移功率譜響應(yīng)較大，車輛懸架豎向位移和車體豎向加速度功率譜最小。

圖8給出了車輛懸架位移和車體加速度最大值隨車速變化關(guān)系。GB7031譜和Wang 1993譜引起的車輛懸架位移和車體加速度隨車速增加而逐漸增大。ISO 1972譜隨車速變化緩慢，車速小于22 m/s時，懸架位移和車體加速度隨著車速有增加趨勢；車速大于26 m/s時，懸架位移隨車速略有增大，但車體加速度隨車速變化平緩。路面不平順激勵與車橋耦合共同作用，由ISO 1972譜引起的車輛振動響應(yīng)對車速的敏感性較GB7031譜和Wang 1993譜弱。

圖8 車輛最大豎向動響應(yīng)隨車速變化Fig.8 The maximum dynamic response of vehicle with different speed

4 結(jié) 論

1) 三種路面譜函數(shù)引起的橋梁跨中豎向位移均方根曲線形狀相似。

2) 三種路面譜函數(shù)引起的橋梁跨中、車體及懸架動響應(yīng)的共振頻率均出現(xiàn)在橋梁一階頻率處，ISO 1972譜引起的橋梁振動能量最大，而GB7031譜引起車輛振動能量最大。

3) 由ISO譜引起的車輛振動響應(yīng)隨車速變化較小，GB7031譜和Wang 1993譜引起的車輛和橋梁振動響應(yīng)均隨車速增加而增大。

4) 研究車橋耦合隨機振動響應(yīng)，路面不平順輸入激勵可以采用GB7031譜和Wang 1993譜函數(shù)，兩種路面譜函數(shù)計算結(jié)果接近。

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