郝如江， 李 非

(石家莊鐵道大學機械工程學院 石家莊，050043)

引 言

EMD是由Huang等[1]于1998年提出的一種自適應的信號處理算法，其分解得到的IMF分量具有真實的物理意義，并且因其具有較好的自適應性、正交性、完備性和IMF分量的調制性等優(yōu)點，而被廣泛地應用于處理非線性、非平穩(wěn)信號。但是EMD分解過程中信號的上、下包絡線是根據原始信號端點的局部極值點由三次樣條曲線插值得到的，而信號的兩端不一定存在極值點，所以樣條插值在數據序列的兩端就會出現發(fā)散現象，并且這種發(fā)散的結果會逐漸向內“污染”整個數據序列而使得分解結果嚴重失真，這就是“端點效應”問題[2]。為此，專家學者提出幾種有效的方法：鄧擁軍等[3]提出利用神經網絡來延拓原始信號序列的算法，該算法對短信號具有較好的端點效應抑制效果，但神經網絡學習時間長，影響EMD的分解速度，不適用于實時信號的處理。Zhao等[4]提出鏡像延拓法，該算法對原始信號僅作一次延拓，在處理較長周期信號時可以得到較為理想的抑制效果，但當信號的端點無法確定是極值點時，要截去一部分數據，在處理短信號時效果欠佳。此外，還有B樣條經驗模式分解[5]、ARMA模型[6]、窗函數[7]、多項式擬合[8]等方法，這些方法大多數都可以改善端點效應問題，但由于各種方法延拓結果因人而異，得到的結果也不盡相同，加之非平穩(wěn)信號的隨機性，最終結果都不可避免地存在一些問題。

為了解決EMD端點效應問題，筆者提出一種改進算法——基于SVM延拓和窗函數相結合的方法，并以仿真信號和實測齒輪裂紋故障信號作了定性和定量分析。結果表明，該方法可以有效地抑制端點效應的發(fā)生。

1 EMD，SVM和窗函數法的分析

1.1 EMD及其端點效應

EMD方法對于非線性、非平穩(wěn)的信號具有較好地自適應性，其分解過程描述[9]如下。

給定連續(xù)信號x(t)，確定該信號的所有局部極值點，用三次樣條曲線把這些局部極值點連接起來形成上、下包絡線。若上、下包絡線的平均值記為m，求出x(t)-m=h，則把h當作新的x(t)，重復上述步驟直到滿足IMF條件時，記c1=h。c1視為一個IMF，r=x(t)-c1，r當作新的x(t)，重復上訴步驟得到n個滿足IMF條件的分量，當rn成為一個單調函數不能再提取出滿足IMF條件的分量時，循環(huán)結束，由此得到

(1)

其中：rn為殘余函數，表示信號的平均趨勢。

由上述可知，EMD分解過程中多次利用三次樣條插值(根據信號的局部極值點來插值)來擬合信號的上、下包絡線。由于信號的兩端不一定存在極值點，因此樣條曲線在數據兩端會出現發(fā)散現象，并隨著分解的過程逐漸向內部傳播，最終導致分解得到的IMF分量失去真實的物理意義，從而影響后續(xù)故障特征的提取研究。

1.2 基于支持向量回歸機的序列延拓

支持向量回歸機是一種新的機器學習算法[10]，其基本原理是通過非線性映射φ將數據x映射到高維特征空間F，并在這個特征空間進行線性回歸，即

(2)

其中：b為閾值；Rn為n維向量。

對于某一個訓練集T={(x1,y1),…，(xl,yl)}，其中，l為樣本數目，其回歸方法如下。

1) 選擇精度參數ε、懲罰參數C、損失函數e和適當的核函數k(xi,xj)。

2) 構造回歸模型

(3)

(4)

(5)

(6)

構造回歸模型后，便可以對信號進行前后延拓。對信號x(t)向后延拓m個點，首先確定訓練樣本數l，按一定的規(guī)則產生一個訓練集，然后構造如式(3)所示的回歸模型，利用該回歸模型得到邊界外的第1個預測值，再將第1個預測值作為原始數據的新邊界點，得到第2個延拓點，以此類推，得到第m個延拓點，向前延拓方法與此類似，這樣便完成了對原始數據序列的延拓。

SVM延拓可以在一定程度上改善端點效應問題，但延拓后信號的端點仍然不確定，這樣在利用三次樣條曲線插值后，得到的上、下包絡線的兩端還是有可能出現發(fā)散現象，對分解得到的IMF分量依然會有影響。因此，SVM延拓只是減小了端點效應對分解結果的影響，其端點效應依然存在。

2 端點效應抑制改進算法

為了解決SVM延拓之后端點仍然不確定以及窗函數會改變原始信號的缺點，本研究巧妙地將兩種方法結合起來，提出一種有效抑制端點效應的新方法——基于SVM延拓和窗函數相結合的方法，具體步驟如圖1所示。首先，采用SVM對原始信號兩端分別延拓有限個極大值點和極小值點；其次，對延拓后的數據序列加窗處理，原始信號為加窗后信號的中間部分，這樣就不會改變原來的信號特征；然后，對延拓加窗后的信號進行EMD分解；最后，把分解完的各個IMF分量的兩端延拓部分去除，中間的留下，從而達到抑制端點效應的目的。

圖1 基于SVM延拓和窗函數相結合的方法Fig.1 The flow chart of combined SVM extension and window function

為了驗證所述方法的有效性，采用正交性指標(index of orthogonality，簡稱IO)對實驗分解精度進行定量分析，將式(1)中的rn寫成cn+1，那么式(1)可以寫成

(7)

對該式兩邊平方得到

(8)

如果分解是正交的，那么式(5)右邊的交叉項應該等于零，因此IO可定義為

(9)

其中：T為信號總長度。

文獻[1]經過大量的實驗指出，正交性指標越小分解精度越高，EMD端點效應抑制效果也就越好。因此，筆者選取正交性指標作為評價EMD端點效應抑制效果的好壞是可行的。

3 實驗分析

3.1 仿真信號分析

選取仿真信號

x=sin(20πt)+cos(100πt)+sin(200πt)+n(t)

如圖2(a)所示，該信號是由一段正弦、余弦和均值為0、方差為1的隨機噪聲疊加而成的，其頻率成分分別為10，50和100 Hz，采樣頻率為512 Hz。對其直接進行EMD處理(分解得到8個IMF分量，由于篇幅有限，文中只截取了前4個分量)，結果見圖2(b)。由圖2可以看出，各個IMF分量存在嚴重的端點效應問題，其分解結果不能很好地反映原始信號特征。

為了解決端點效應，采用所述方法進行處理。其中，選擇精度參數ε=0，懲罰參數C=∞，損失函數采用最常用的線性ε不敏感損失函數，核函數有線性核函數、多項式函數以及高斯函數等，筆者采用最常用的線性核函數。實驗中將原始信號序列分成100個訓練組，并對信號分別向前、后各延拓50個點，延拓加窗后的結果見圖3(a)，對應的EMD分解結果見圖3(b)。

與圖2(b)比較，可以看出圖3(b)中各個IMF分量在端點處出現的發(fā)散現象均得到了改善，表明提出的方法可以有效地抑制EMD分解中出現的端點效應問題，并且各個IMF分量也都可以反映原始信號的特征，基本符合實際情況。

為了更直觀地驗證所述方法的有效性，利用正交性指標對原始EMD分解、 SVM延拓及加窗三種方法的性能進行定量分析，并根據式(9)得出相應的正交性指數，如表1所示。

圖2 原始仿真信號及其EMD分解結果Fig.2 The original simulation signal and the result of EMD decomposition

圖3 SVM延拓及加窗處理的EMD結果Fig.3 The results processed by SVM extension and window function

表1仿真信號處理結果的正交性能比較

Tab.1Theorthogonalperformancecomparisonofthreekindsofmethodsforsimulationsignal

方 法正交性指標原始EMD0.1558SVM延拓0.1309SVM延拓及加窗0.0967

由表1可以看出，未作任何處理的EMD分解結果得到的正交性指標較大，SVM延拓得到的較小，所述方法得到的更小，而正交性指標越低表明分解結果精度越高。由此可知，筆者所述方法可以更好地抑制端點效應的發(fā)生。

3.2 實測信號分析

為了進一步地確認該方法的有效性，筆者以實測齒輪箱齒輪裂紋故障信號來進行分析。實驗采用江蘇千鵬診斷系統(tǒng)——QPZZ-II，其輸入軸轉速為990 r/min，采樣頻率為20 kHz，采樣點數為262 144，故障齒輪為3.2 mm的裂紋程度。為了方便研究截取前800個點，并采用SVM向前、向后延拓40個點。圖4所示為實驗平臺及其傳感器安裝位置。

圖4 實驗測試平臺及傳感器位置Fig.4 Experimental test platform and sensor position

圖5(a)所示為原始測試信號的時域波形，其EMD分解的結果見圖5(b)，由圖可以看出，信號兩端存在嚴重的端點發(fā)散現象。為了解決端點效應問題，將該數據序列按文中所述方法處理(SVM延拓數據序列的參數選擇同前)，其SVM延拓加窗處理結果如圖6(a)所示。由圖可以看出，處理后的信號與原始信號存在著顯著的區(qū)別，這是在信號兩端加窗處理的原因。因此，最后EMD分解得到的各個IMF分量要剔除兩端延拓部分，這樣就可以真實地反映原始信號特征。處理后數據的EMD分解結果見圖6(b)，由圖可以看出各個IMF分量的端點效應都得到了有效的抑制，得到的IMF分量具有真實的物理意義，有助于進一步地提取特征。

圖5 實測原始信號及其EMD分解圖Fig.5 The tested signal and the results of EMD decomposition

圖6 實測信號SVM延拓加窗EMD處理結果Fig.6 The results of EMD decomposition combined with SVM extension and window function for the tested signal

同樣采用正交性指標進行定量分析來驗證文中所提方法的有效性，分析對比結果如表2所示。

表2實測信號處理結果的正交性能比較

Tab.2Theorthogonalperformancecomparisonofthreekindsofmethodsfortestedsignal

方 法正交性指標原始EMD0.0578SVM延拓0.0471SVM延拓及加窗0.0171

由表2可知，未作任何處理的EMD分解結果得到的正交性指標較大，SVM延拓得到的較小，本方法得到的最小，充分說明所述方法的有效性。并且由文獻[2]可知SVM延拓對確定性、平穩(wěn)隨機和非平穩(wěn)隨機信號都有很好的延拓效果，且不依賴于參數的選擇，所以本研究所述方法可以很好地應用于大量的連續(xù)信號，為進一步地特征提取提供了幫助。

4 結束語

由于在EMD分解過程中多次利用了三次樣條插值，從而導致信號分解出現失真現象，即端點效應，并且這種現象會嚴重地影響整個數據序列。為此，筆者提出一種有效抑制端點效應的方法——基于SVM延拓和窗函數相結合的方法，該方法彌補了SVM延拓之后依然找不到端點以及窗函數會改變原始信號的缺點，仿真信號和實測信號均驗證了該方法的有效性。以正交性指標做定量分析，與原始EMD分解和SVM延拓方法相比，該方法可以更好地抑制端點效應，得到的IMF分量更加真實地反映了原始信號的特征，為后續(xù)齒輪故障診斷中精確地提取故障特征頻率提供了幫助。

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