王英杰, 焦彬洋, 姚忠達(dá), 時 瑾

(1.北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院 北京，100044) (2.淡江大學(xué)建筑學(xué)系 臺北，25137)

引 言

在環(huán)境與外部荷載耦合重復(fù)作用下，土木工程結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵材料屬性將發(fā)生變化，從而影響結(jié)構(gòu)的長期服役性能，因此如何對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)的識別及更新已成為當(dāng)前極具現(xiàn)實(shí)意義的研究課題之一[1-2]。交通基礎(chǔ)設(shè)施有別于其他土木工程結(jié)構(gòu)，除承受環(huán)境荷載作用外，還長期承受車輛荷載的作用。當(dāng)車輛在下部基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)(橋梁軌道等)上運(yùn)行時，由于車輛荷載的作用基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動，而基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的振動變形又會反饋到車輛上從而引起車輛的振動，因此車輛與基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)共同組成了一個耦合振動系統(tǒng)[3]。

為了精確研究車輛荷載作用下橋梁結(jié)構(gòu)的動力作用，韓萬水等[4]以一座鋼桁架連續(xù)梁橋?yàn)槔⒘肆焊穹蛄很嚇蝰詈险駝臃治瞿Ｐ?，結(jié)合現(xiàn)場試驗(yàn)采集的靜、動力實(shí)測數(shù)據(jù)對初始有限元模型進(jìn)行了更新。殷新鋒等[5]以一座加固實(shí)橋?yàn)槔⒘塑?橋耦合振動方程，并用實(shí)測振動數(shù)據(jù)對所建的車/橋耦合模型進(jìn)行了更新，結(jié)果表明對于大多數(shù)路面嚴(yán)重?fù)p壞的橋梁采用現(xiàn)有規(guī)范計(jì)算出的橋梁沖擊系數(shù)并不可靠。Feng等[6]對美國交通技術(shù)中心的一座100多年的鋼橋開展了現(xiàn)場測試，并利用測試結(jié)果對所建的車-橋耦合系統(tǒng)模型參數(shù)進(jìn)行了修正。為減小模型計(jì)算誤差，Garcia-Palencia等[7]根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙建立了Powder Mill Bridge的有限元模型，而后利用測試數(shù)據(jù)并基于頻響函數(shù)提出了兩步更新方法，即第1步更新模型剛度和質(zhì)量參數(shù)，第2步再更新模型阻尼參數(shù)。以上研究均結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)運(yùn)用不同修正方法實(shí)現(xiàn)了有限元模型的更新，并取得了大量有意義的研究結(jié)論。然而其主要針對所建橋梁、車/橋等有限元模型展開，目前針對城市軌道交通車軌耦合系統(tǒng)模型更新的研究尚較少。主要原因是城市軌道交通的運(yùn)速及車輛載重不及鐵路的大，且軌道結(jié)構(gòu)具有無限長特性。

本研究將車輛視為多剛體系統(tǒng)，采用有限元法模擬軌道結(jié)構(gòu)，考慮輪軌赫茲非線性接觸建立了地鐵列車車軌耦合系統(tǒng)模型，并采用迭代的方法求解系統(tǒng)動力響應(yīng)。文中結(jié)合地鐵線路現(xiàn)場測試，提出了一種基于實(shí)測鋼軌位移動力響應(yīng)更新車軌耦合模型的方法，其更新過程主要分兩大步驟來實(shí)現(xiàn)，即更新列車運(yùn)行速度和更新扣件剛度。將模型更新后計(jì)算的鋼軌位移動力響應(yīng)與測試結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了筆者所提模型更新方法的正確性，并在頻域內(nèi)分析了鋼軌位移動力響應(yīng)特性。

1 車/軌耦合模型

當(dāng)車輛在軌道結(jié)構(gòu)上運(yùn)行時，由于線路不平順激擾等的存在，會激發(fā)車軌系統(tǒng)的振動[8]。筆者主要針對車軌耦合系統(tǒng)垂向振動進(jìn)行研究，車/軌系統(tǒng)模型由列車模型和軌道模型兩部分組成，其中軌道模型以普通整體道床軌道結(jié)構(gòu)為例，列車模型和軌道模型間通過非線性赫茲輪軌關(guān)系連接，城市軌道交通列車模型由N節(jié)參數(shù)相同的車輛模型組成，如圖1所示。假設(shè)每節(jié)車輛均以速度v通過軌道結(jié)構(gòu)，其坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在靜平衡時的質(zhì)心位置，坐標(biāo)系的y軸垂直向下。車輛模型中各結(jié)構(gòu)部件參數(shù)定義如下：mv，mt，mw分別為車體、轉(zhuǎn)向架和輪對的質(zhì)量；Iv，It分別為車體和轉(zhuǎn)向架的點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動慣量；kp，cp分別為一系懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼；ks，cs分別為二系懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼；lv，lt，lw分別為車體總長、車輛定距之半和轉(zhuǎn)向架固定軸距之半。軌道模型中各結(jié)構(gòu)部件參數(shù)定義如下：mr為鋼軌的單位長度質(zhì)量；Er為鋼軌的彈性模量；Ir為鋼軌的轉(zhuǎn)動慣量；ls為扣件間距，即鋼軌單元長度；kf和cf為扣件的剛度和阻尼。

圖1 簡化的車軌耦合系統(tǒng)模型Fig.1 Simplified vehicle/track system model

1.1 列車模型

如圖1所示，城市軌道交通列車由多個車輛模型組成，每節(jié)車輛模型包括1個車體、2個轉(zhuǎn)向架和4個輪對，且將其視為剛體。輪對與轉(zhuǎn)向架之間由一系懸掛系統(tǒng)連接，轉(zhuǎn)向架與車體之間由二系懸掛系統(tǒng)連接，且將其等效為線性彈簧阻尼元。對于每節(jié)車輛模型共計(jì)10個自由度，即：車體的沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動Zv及θv；前轉(zhuǎn)向架的沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動Zt1及θt1；后轉(zhuǎn)向架的沉浮和點(diǎn)頭運(yùn)動Zt2及θt2；4個輪對的沉浮運(yùn)動Zw1，Zw2，Zw3和Zw4[9-10]。

根據(jù)動力平衡法，可將列車模型的運(yùn)動方程寫成矩陣形式[11-12]為

(1)

第j節(jié)車輛第i個輪對的輪軌力fjwi(t)定義[13]如下

(2)

其中：Ujwi(t)=Zjwi(t)-ujri(x,t)-rji(x)，Zjwi(t)為第j節(jié)車輛第i個輪對的垂向位移；ujri(x,t)和rji(x)分別為第j節(jié)車輛第i個輪對所在位置處鋼軌的垂向位移和線路不平順；CH為赫茲系數(shù)，取CH=9.37×1010N/m3/2。

1.2 軌道模型

普通整體道床軌道結(jié)構(gòu)由鋼軌、扣件和整體道床組成，其中整體道床通過混凝土與下部基礎(chǔ)固連，因此可將整體道床與下部基礎(chǔ)視為一整體剛性結(jié)構(gòu)[14-15]。文中采用有限單元法建立如圖1所示的普通整體道床軌道結(jié)構(gòu)，將鋼軌視為扣件等間距支承的歐拉梁，將扣件視為線性彈簧阻尼元[16]。不考慮鋼軌軸向變形的情況下，每個梁單元有4個自由度，即豎向位移uj和uj+1，轉(zhuǎn)角θj和θj+1，同時可得梁單元的質(zhì)量和剛度矩陣[17]。

利用有限元法可將軌道模型的運(yùn)動方程寫成矩陣形式[8,12]為

(3)

外荷載向量FT將隨列車運(yùn)行速度所造成車輪位置的變化而變化。

當(dāng)列車在軌道上運(yùn)行時，車輪位移、線路不平順及其所在位置處鋼軌位移將隨之發(fā)生變化，從而影響作用在列車模型和軌道模型上的輪軌力，見式(2)。由于車軌系統(tǒng)非線性輪軌力的存在，為同時求解式(1)的列車動力響應(yīng)和式(3)的軌道動力響應(yīng)，需要在本時間步內(nèi)進(jìn)行迭代[12]。在特定時刻t，首先利用第n迭代步的列車和軌道動力響應(yīng)計(jì)算第n+1迭代步車軌系統(tǒng)的外荷載；然后在時域內(nèi)采用數(shù)值積分法，如Newmark-β法求解第n+1步內(nèi)列車和軌道的動力響應(yīng)，見式(1)和(3)。將第n+1迭代步得到的列車和軌道動力響應(yīng)作為已知量進(jìn)行新一輪迭代，直到前后兩次迭代計(jì)算的列車和軌道位移誤差滿足精度要求

(4)

2 現(xiàn)場測試

為獲得后續(xù)更新車軌模型的軌道動力響應(yīng)數(shù)據(jù)，選取某地鐵普通整體道床軌道線路開展實(shí)車試驗(yàn)，具體測試過程如圖2所示。其中位移計(jì)采用GA 2.5型位移傳感器，采集儀為振動信號采集系統(tǒng)IOtech ZonicBook 618E，速度采用手持式測速儀記錄，并采用筆記本電腦存儲測試數(shù)據(jù)。首先將位移傳感器布置于鋼軌一側(cè)， 另一端則通過電纜線與

采集儀相連。 為實(shí)時保存測試數(shù)據(jù)， 通過專用網(wǎng)線將采集儀與筆記本電腦相連。當(dāng)?shù)罔F列車通過測點(diǎn)時，采用測速儀記錄列車運(yùn)行速度，并觸發(fā)采集儀開始記錄鋼軌位移動力響應(yīng)，待列車通過后結(jié)束采集過程。

圖2 現(xiàn)場測試示意圖Fig.2 Field testing plan

利用本研究所建車軌耦合模型，并采用表1所列車軌系統(tǒng)參數(shù)，計(jì)算地鐵列車以一定速度運(yùn)行時鋼軌位移動力響應(yīng)。其中線路不平順采用地鐵地下線路無砟軌道譜，并利用三角級數(shù)法生產(chǎn)，具體線路不平順樣本如圖3所示[18]。以測試過程中某次典型數(shù)據(jù)為例，將測試結(jié)果與模擬結(jié)果對比如圖4所示，其中列車運(yùn)行速度設(shè)定為60.00 km/h。試驗(yàn)地鐵列車采用6節(jié)車輛編組，車軌系統(tǒng)模型中鋼軌長度取320 m，且兩端固支，以有限長鋼軌來模擬無限長鋼軌動力響應(yīng)，該方法的可行性參見文獻(xiàn)[12]。

圖3 地鐵線路不平順樣本Fig.3 Subway track irregularity

表1 車軌耦合模型參數(shù)

Tab.1 Parameters of vehicle/track system

Nmv/tks/(kN·m-1)cs/(kN·s·m-1)It/(kg·m2)Iv/(t·m2)mt/t621.84801600.82501.3mw/tlv/mkp/(kN·m-1)cp/(kN·s·m-1)Er/(kN·m-2)lt/mlw/m0.919.521400302.06×1086.31.1mr/(kg·m-1)ls/mkf/(kN·m-1)cf/(kN·s·m-1)Ir/m460.640.6251.625×104103.217×10-5

圖4 測試結(jié)果與模擬結(jié)果初步對比Fig.4 Initial results of fielding testing and modeling

從圖4可知，模擬結(jié)果與測試結(jié)果有以下兩方面不太吻合：a.模擬結(jié)果峰值所對應(yīng)的時間較測試數(shù)據(jù)出現(xiàn)些許的相差延遲(delay of phase difference)現(xiàn)象，尤其隨時間增長而增加，這有可能是由于測速儀記錄的列車運(yùn)行速度與實(shí)際運(yùn)行速度存在誤差所引起的，所幸整體反應(yīng)行為是一致的；b.模擬結(jié)果中列車軸重荷載所引起的位移峰值較測試結(jié)果小一些，這是由于車軌系統(tǒng)模型中系統(tǒng)參數(shù)誤差所引起的。針對上述現(xiàn)象，筆者將提出一種適用于車軌耦合系統(tǒng)模型的更新方法來加以完善。

3 車軌模型參數(shù)靈敏度分析

軌道結(jié)構(gòu)長期服役過程中可能發(fā)生老化、傷損等情況，從而帶來結(jié)構(gòu)部件力學(xué)性能參數(shù)(如剛度、阻尼等)與實(shí)際相差較遠(yuǎn)，最終導(dǎo)致有限元模型計(jì)算結(jié)果與測試結(jié)果相差較大[19]。有限元模型更新的本質(zhì)是對模型中不確定的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，在參數(shù)允許的變化范圍內(nèi)保證模型模擬結(jié)果與測試結(jié)果盡可能接近，以此來確定有限元模型中參數(shù)的最優(yōu)值。本研究將車軌模型參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)定義為有限元模型模擬結(jié)果和測試結(jié)果的距離。設(shè)車軌系統(tǒng)輸入的實(shí)際激勵為I(tk)；系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)為y(tk)，其中tk為不同記錄時刻且k=1, 2, …,n；假定車軌系統(tǒng)中的不確定參數(shù)為θ={θ1,θ2, …,θn}T。由此，車軌系統(tǒng)實(shí)際輸入和輸出的關(guān)系可表示為

y(tk)=f[I(tk),θ]

(5)

定義Y(tk)為車軌耦合模型計(jì)算得到的模擬結(jié)果，計(jì)算中設(shè)置的參數(shù)值為Θ={Θ1,Θ2, …,Θn}T，則車軌耦合模型中輸入和輸出的關(guān)系可表示為

Y(tk)=f[I(tk),Θ]

(6)

模型更新的目標(biāo)就是要確定最優(yōu)的參數(shù)值Θ，使模型的模擬結(jié)果Y(tk)與測試結(jié)果y(tk)之間的差值最小。文中定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fobj(objective function，簡稱Fobj)為在整個時間歷程內(nèi)模擬結(jié)果和測試結(jié)果差值平方和的均值

(7)

其中：n為測試記錄的時間歷程數(shù)。

軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)同時受車輛參數(shù)和軌道參數(shù)的影響，然而車輛參數(shù)在地鐵后期運(yùn)營過程中較軌道參數(shù)變化較小，故主要針對軌道參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為分析軌道參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響，選取扣件剛度和阻尼進(jìn)行靈敏度分析。對某個參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析時，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fobj值越大，表明該參數(shù)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的敏感性越高。采用本研究所建車軌耦合模型，分別計(jì)算不同扣件剛度、阻尼條件下鋼軌的位移動力響應(yīng)，其中扣件參數(shù)由下式確定

(8)

其中:kf和cf分別為扣件剛度和阻尼的基準(zhǔn)值，如表1所列；k′和c′分別為車軌耦合模型中扣件剛度和阻尼在允許范圍內(nèi)的變化值；α為參數(shù)變化范圍，取0.1～10。

結(jié)合優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(7)，取y(tk)和Y(tk)分別為車軌耦合模型采用基準(zhǔn)參數(shù)和變化參數(shù)計(jì)算得到的鋼軌位移動力響應(yīng)，計(jì)算地鐵列車以不同運(yùn)行速度(40，60和80 km/h)運(yùn)行時，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fobj隨扣件剛度和阻尼的變化曲線，如圖5所示。

從圖5可以看出(由優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Fobj幅值)，扣件剛度kf對鋼軌位移動力響應(yīng)影響較為明顯，而扣件阻尼cf對鋼軌位移動力響應(yīng)的影響較小，且當(dāng)扣件剛度kf一定時列車不同運(yùn)行速度對鋼軌位移動力響應(yīng)影響較小。因此，一旦獲得鋼軌實(shí)測位移動力響應(yīng)，便可基于現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)以扣件剛度kf作為待優(yōu)化參數(shù)對車軌耦合模型進(jìn)行更新。

4 車軌耦合模型更新方法

在參數(shù)靈敏度分析的基礎(chǔ)上，筆者提出了一種利用地鐵列車荷載作用下實(shí)測鋼軌位移動力響應(yīng)更新車軌耦合模型參數(shù)的方法。結(jié)合圖4模擬結(jié)果與測試結(jié)果初步對比分析，車軌耦合模型參數(shù)更新方法主要通過兩大步驟來進(jìn)行實(shí)施：a.更新列車運(yùn)行速度v；b.在第1步更新列車運(yùn)行速度v的基礎(chǔ)上更新扣件剛度kf，具體流程如圖6所示。在模型參數(shù)更新過程中，利用Matlab軟件非線性優(yōu)化函數(shù)fminbnd獲得待更新參數(shù)最優(yōu)值。

圖6 車軌耦合模型更新流程Fig.6 Vehicle/track FE model updating flowchart

4.1 更新列車運(yùn)行速度v

圖7 更新列車運(yùn)行速度Fig.7 Vehicle running speed updating

將圖7與圖4結(jié)果對比可知，第1步模型更新后模擬結(jié)果與測試結(jié)果在時間歷程上的延遲明顯得到改善，且由車輪軸重引起的鋼軌位移峰值出現(xiàn)時間基本一致。然而，在鋼軌位移時程曲線上模擬結(jié)果與測試結(jié)果峰值略有差異，這主要是由扣件剛度kf的參數(shù)誤差引起的，因此第2步主要針對扣件剛度kf進(jìn)行更新。

4.2 更新扣件剛度kf

圖8 更新扣件剛度Fig.8 Fastening system stiffness updating

將圖8與圖7結(jié)果對比可知，第2步模型更新后模擬結(jié)果與測試結(jié)果由車輪軸重引起的鋼軌位移峰值差異進(jìn)一步減小。經(jīng)過第2步模型更新后，車軌耦合模型計(jì)算模擬結(jié)果與現(xiàn)場測試結(jié)果吻合較好。

5 列車荷載作用下鋼軌位移頻域分析

由于地鐵車輛荷載的周期特性，鋼軌位移動力響應(yīng)會呈現(xiàn)一定的周期變化，如圖4的測試結(jié)果。對于由固定車輛長度組成的地鐵列車來說，其所引起的結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動主頻率與列車運(yùn)行速度和車輛長度有關(guān)[20]，可以表示為

fdn=nv/lc(n=1,2,…)

(9)

其中：n為主頻率階數(shù)；v為列車運(yùn)行速度；lc為車輛長度。

同時，將圖4、圖7與圖8所得的鋼軌位移動力響應(yīng)結(jié)果進(jìn)行傅里葉變化得到其頻譜，如圖9所示。

圖9 鋼軌位移動力響應(yīng)頻譜Fig.9 Frequency spectrum of rail displacement

從圖9可知，鋼軌位移動力響應(yīng)的測試結(jié)果、更新速度模擬結(jié)果與更新剛度模擬結(jié)果中存在3個明顯峰值，對應(yīng)頻率分別為0.875，1.750和2.624 Hz。此時利用更新后列車運(yùn)行速度62.41 km/h，再結(jié)合式(9)可以計(jì)算得到鋼軌強(qiáng)迫振動主頻率分別為fd1=0.888，fd2=1.776和fd3=2.664 Hz，這與圖9的峰值頻率基本一致。由經(jīng)驗(yàn)知，橋梁結(jié)構(gòu)的位移動力響應(yīng)頻譜往往由列車周期荷載的一階一次頻率控制，而鋼軌位移動力響應(yīng)的頻譜由列車周期荷載的一階多次頻率控制，這是由于鋼軌由多個軌枕連續(xù)支承所造成的。另外，由于初始模擬結(jié)果采用的列車運(yùn)行速度為60.00 km/h，其對應(yīng)的峰值頻率與測試結(jié)果略有偏差，但差別不大。由圖9可得，經(jīng)過第1步模型更新后所得更新速度模擬結(jié)果與測試結(jié)果激振主頻更為吻合，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行第2步模型更新后所得更新剛度模擬結(jié)果與測試結(jié)果在頻域幅值上更為接近，減小了模擬結(jié)果與測試結(jié)果的誤差(見圖9中局部放大圖)。這也證實(shí)了本研究所提車軌耦合模型二次更新方法的可行性。

6 結(jié)束語

基于列車荷載作用下現(xiàn)場實(shí)測鋼軌位移動力響應(yīng)提出了一種車軌耦合模型更新方法，其更新過程可分為更新列車運(yùn)行速度和更新扣件剛度兩大步驟來實(shí)現(xiàn)。參數(shù)靈敏度分析表明，鋼軌位移動力響應(yīng)受扣件剛度影響較為明顯，受扣件阻尼影響較小。更新列車運(yùn)行速度可使模擬結(jié)果與測試結(jié)果激振主頻更為吻合，再進(jìn)行更新扣件剛度后可使模擬結(jié)果與測試結(jié)果在頻域幅值上更為接近，從而減小了模擬結(jié)果與測試結(jié)果的誤差。與橋梁結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動主頻率不同，鋼軌位移動力響應(yīng)的頻譜由列車周期荷載的一階多次頻率控制，這是由于軌道結(jié)構(gòu)的多點(diǎn)連續(xù)支承特性所造成的。

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