牛治東， 吳光強(qiáng),2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院， 上海 201804； 2.東京大學(xué) 生產(chǎn)技術(shù)研究所， 東京 153-8505)

預(yù)測(cè)是在掌握相關(guān)信息的基礎(chǔ)上，運(yùn)用相關(guān)領(lǐng)域的定性或定量的方法，研究事物未來(lái)發(fā)展及其運(yùn)行規(guī)律，并對(duì)其各主要素的變動(dòng)趨勢(shì)做出估計(jì)描述與分析的一門學(xué)科[1]?；煦缋碚摫砻鳎词瓜到y(tǒng)初始狀態(tài)條件的細(xì)微差別，系統(tǒng)演化也可能導(dǎo)致顯著差異，因而對(duì)混沌系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化結(jié)果是不可預(yù)測(cè)的，但由于混沌運(yùn)動(dòng)是由確定系統(tǒng)的內(nèi)在特性所引起的，短期行為又是完全確定的，即可預(yù)測(cè)[2]。

對(duì)混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面的研究，文獻(xiàn)[3]對(duì)時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算出最大Lyapunov指數(shù)，得到最大可預(yù)報(bào)時(shí)間尺度，并建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)混沌時(shí)間序列的模型，驗(yàn)證了該預(yù)測(cè)方法。文獻(xiàn)[4]討論了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模中的作用，利用反向傳播學(xué)習(xí)規(guī)則去訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和預(yù)測(cè)誤差，研究表明基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)能反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，并利用最大Lyapunov指數(shù)和相關(guān)維等作為一個(gè)近似工具驗(yàn)證預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[5]提出了利用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列相空間重構(gòu)的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)-延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)的方法，并以Lorenz系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值分析，驗(yàn)證了方法的有效性。文獻(xiàn)[6]提出了基于混沌徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的汽油機(jī)瞬態(tài)工況油膜參數(shù)預(yù)測(cè)模型，證明了汽油機(jī)油路系統(tǒng)時(shí)間序列具有非線性混沌特性，對(duì)試驗(yàn)測(cè)定的數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，并利用數(shù)值方法驗(yàn)證了混沌RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有較強(qiáng)的非線性預(yù)測(cè)能力。

本文基于某款電動(dòng)汽車實(shí)車試驗(yàn)測(cè)得的時(shí)間序列進(jìn)行分析，研究振動(dòng)信號(hào)的混沌特性，并采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行了預(yù)測(cè)。首先，對(duì)電動(dòng)汽車實(shí)車試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，確定作為分析對(duì)象的時(shí)間序列范圍。其次，利用龐加萊截面、功率譜和最大Lyapunov指數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)了電池底部中心和右前輪心垂向加速度時(shí)間序列具有混沌特性。最后，對(duì)右前輪心垂向混沌時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)重構(gòu)后的相空間進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。

1 混沌時(shí)間序列分析基礎(chǔ)

混沌運(yùn)動(dòng)具有三個(gè)明顯的特征[7]：①對(duì)初始條件的極端敏感依懶性；②非周期性表明混沌的非線性和無(wú)序性；③存在奇異吸引子。

對(duì)混沌時(shí)間序列分析的主要判別方法有：龐加萊截面；Lyapunov指數(shù)；功率譜；分形和分維；奇異吸引子；熵；關(guān)聯(lián)維等。

混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法主要有：全域法、局域法、加權(quán)零階局域法、加權(quán)一階局域法、基于李雅普諾夫指數(shù)的預(yù)測(cè)方法、小波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等[8]。其中，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法適用于處理復(fù)雜系統(tǒng)的非線性關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)量的要求不高。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法結(jié)合了小波變換良好的時(shí)頻局域化性質(zhì)、聚焦特性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)、容錯(cuò)性，因而具有較強(qiáng)的逼近和容錯(cuò)能力。因?yàn)榛煦鐣r(shí)間序列具有對(duì)初值的敏感依賴性和非線性等特性，且通過(guò)試驗(yàn)采集到的數(shù)據(jù)量有限，為了對(duì)時(shí)間序列達(dá)到較好的預(yù)測(cè)效果，所以，本文采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。

本文利用功率譜、龐加萊截面和最大Lyapunov指數(shù)來(lái)分析時(shí)間序列的混沌特性。并用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。下面分別介紹利用Wolf方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的相關(guān)知識(shí)。

1.1 Wolf方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)

為了得到最大Lyapunov指數(shù)，1985年，Wolf等[9]提出了軌跡跟蹤法，隨后Rosenstein等[10]進(jìn)行了改進(jìn)。從單變量的時(shí)間序列提取Lyapunov指數(shù)的方法是基于時(shí)間序列的重構(gòu)相空間。Wolf等提出了直接基于相軌線、相平面、相體積等的演化來(lái)估計(jì)Lyapunov指數(shù)。這類方法統(tǒng)稱為Wolf方法。

設(shè)混沌時(shí)間序列x1，x2，…，xn，…，嵌入維數(shù)m，時(shí)間延遲τ，則重構(gòu)相空間

Y(ti)=(x(ti),x(ti+τ)),…,x(ti+(m-1)τ)

繼續(xù)上述的過(guò)程，直至Y(t)到達(dá)時(shí)間序列的終點(diǎn)N，這時(shí)追蹤演化過(guò)程總的迭代次數(shù)為M，則最大的Lyapunov指數(shù)為

(1)

1.2 混沌時(shí)間序列的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，把小波基函數(shù)作為隱含層節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，信號(hào)前向傳播同時(shí)誤差反向傳播的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的一般計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的一般流程 Fig.1 Wavelet neural network prediction general process

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參數(shù)修正采用梯度修正法，修正輸入輸出層權(quán)值和小波基函數(shù)的參數(shù)，從而使小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)輸出不斷逼近期望輸出[11]。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) Fig.2 Wavelet neural network topological structure

圖2中，X1,X2, …,XK是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)，Y1小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出，ωij和ωj為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。

(2)

式中：h(j)為隱含層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)輸出值；ωij為輸入層與輸出層之間的連接權(quán)值；hj為小波基函數(shù)；bj為小波基函數(shù)hj的平移因子；aj為小波基函數(shù)hj的伸縮因子；l為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

輸出層的計(jì)算公式為

(3)

本文采用的小波基函數(shù)為Morlet母小波基函數(shù)，數(shù)學(xué)公式為

y=cos(1.75x)e-x2/2

(4)

2 電動(dòng)汽車試驗(yàn)

實(shí)車在中等比利時(shí)路面上行駛時(shí)采集信號(hào)，采集右前輪心垂向、電池底部中心三向加速度信號(hào)。如圖3、圖4所示，中等比利時(shí)路面及右前輪垂向和電池底部中心三向加速度傳感器安裝位置。采樣頻率512 Hz，對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集時(shí)，車速穩(wěn)定在40 km/h。

圖3 試驗(yàn)用中等比利時(shí)路面 Fig.3 Test of medium-Belgian pavement

圖4 右前輪心垂向與電池底部中心三向加速度傳感器 Fig.4 Vertical of right front wheel center and three direction of battery bottom center acceleration sensor

因?qū)嵻囋囼?yàn)數(shù)據(jù)量較大，本文選取右前輪心垂向和電池底部中心垂向的振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行分析。因試驗(yàn)條件限值，試驗(yàn)路面不連續(xù)，試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)前幾秒，車速不穩(wěn)定，所以選取15～45 s的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析。如圖5、6所示。

圖5 右前輪心垂向加速度信號(hào) Fig.5 Vertical acceleration signal of right front wheel

圖6 電池底部中心垂向加速度信號(hào) Fig.6 Vertical acceleration signal of battery bottom center

3 混沌時(shí)間序列的特性分析

3.1 時(shí)頻分析

實(shí)車試驗(yàn)采集到的信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析時(shí)，采用短時(shí)傅里葉變換。如圖7、8所示。發(fā)現(xiàn)兩個(gè)信號(hào)的能量主要集中在10 Hz附近。

圖7 右前輪心垂向功率譜密度與時(shí)頻圖 Fig.7 Power spectrum density and time frequency diagram of vertical right front wheel

圖8 電池底部中心垂向功率譜密度與時(shí)頻圖 Fig.8 Power spectrum density and time frequency diagram of vertical battery bottom center

3.2 三維相圖與龐加萊截面

兩個(gè)振動(dòng)信號(hào)的三維相圖和龐加萊截面，如圖9、10所示。從圖9、10中可以看出，右前輪心垂向與電池底部中心垂向的相圖為一些雜亂無(wú)章的曲線，龐加萊截面均為一些成片的密集的點(diǎn)集。

圖9 右前輪心垂向相圖與龐加萊截面 Fig.9 Phase diagram and Poincare sections of vertical right front wheel

圖10 電池底部中心垂向相圖與龐加萊截面 Fig.10 Phase diagram and Poincare sections of vertical battery bottom center

3.3 最大Lyapunov指數(shù)

首先利用互信息量法計(jì)算延遲時(shí)間，Cao法計(jì)算嵌入維。選擇合適的延遲時(shí)間及最小嵌入維，利用Wolf方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

計(jì)算時(shí)間延遲的主要方法有自相關(guān)法、平均位移法和互信息量法等。其中，互信息量法[12]是估計(jì)重構(gòu)相空間延遲的一種有效方法，它包含了時(shí)間序列的非線性特征。計(jì)算時(shí)間延遲，如圖11、12所示。

圖11 右前輪心垂向時(shí)間序列延遲時(shí)間 Fig.11 Time delay of vertical right front wheel center

圖12 電池底部中心垂向時(shí)間序列延遲時(shí)間 Fig.12 Time delay of vertical battery bottom center

計(jì)算嵌入維的主要方法有：C-C方法、虛假鄰點(diǎn)法和Cao法等。利用Cao法[13]計(jì)算最小嵌入維數(shù)，只需知道延遲時(shí)間和較小的數(shù)據(jù)量就能求得嵌入維數(shù)，并且能有效區(qū)分隨機(jī)信號(hào)和確定信號(hào)。本文選用Cao法計(jì)算嵌入維，如圖13、14所示。

圖13 右前輪心垂向時(shí)間序列嵌入維 Fig.13 Embedding dimension of vertical right front wheel

圖14 電池底部中心垂向時(shí)間序列嵌入維 Fig.14 Embedding dimension of vertical battery bottom

根據(jù)圖11、圖12選擇兩個(gè)信號(hào)的延遲時(shí)間為：10、12。根據(jù)圖13、圖14選擇兩個(gè)信號(hào)的最小嵌入維：11、9。根據(jù)選擇的延遲時(shí)間和最小嵌入維，利用Wolf方法計(jì)算右前輪心垂向和電池底部中心垂向振動(dòng)加速度信號(hào)時(shí)間序列的最大李雅普諾夫指數(shù)分別為：0.000 073 087、0.001 3。表明兩處信號(hào)的時(shí)間序列具有混沌動(dòng)力學(xué)特性。

4 混沌時(shí)間序列的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)右前輪心垂向加速度混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)右前輪心垂向加速度時(shí)間序列的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，進(jìn)行相空間重構(gòu)。相空間重構(gòu)是一種基于有限的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)吸引子，從而進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的方法。本文對(duì)一維時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到多維相空間信號(hào)，利用重構(gòu)后的相空間對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定一般采用試湊法，即不斷改變輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，直到達(dá)到模型精度要求，但該方法這樣帶來(lái)的不利因素是計(jì)算量的增大，而且不利于建立動(dòng)態(tài)的預(yù)測(cè)模型。有研究表明：輸入層的個(gè)數(shù)為混沌時(shí)間序列的重構(gòu)相空間的飽和嵌入維數(shù)為最佳。

本文選取35～43 s之間的振動(dòng)加速度時(shí)間序列進(jìn)行分析。右前輪心垂向振動(dòng)加速度時(shí)間序列如圖15所示。

圖15 右前輪心垂涎振動(dòng)加速度 Fig.15 Acceleration of vertical right front wheel

在圖15中，為一維時(shí)間序列，時(shí)間共8 s，4 096個(gè)數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)。選取前7 s，共3 584個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后1 s，共512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為測(cè)試數(shù)據(jù)，以驗(yàn)證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)等于右前輪心垂向混沌時(shí)間序列的最小嵌入維數(shù)。預(yù)測(cè)結(jié)果如圖16所示，預(yù)測(cè)誤差如圖17所示。可以看出，利用小波神網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列具有較高的預(yù)測(cè)能力。

圖16 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果 Fig.16 Prediction results of wavelet neural network

圖17 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差 Fig.17 Prediction error of wavelet neural network

5 結(jié) 論

(1) 電動(dòng)汽車在中等比利時(shí)路面進(jìn)行實(shí)車試驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，確定了作為分析對(duì)象的時(shí)間序列范圍。

(2) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行了時(shí)頻分析，并利用龐加萊截面、三維相圖和最大Lyapunov指數(shù)等數(shù)值分析方法對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了電池底部中心垂向和右前輪心垂向加速度時(shí)間序列具有混沌特性。

(3) 對(duì)右前輪心垂向加速度混沌時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。

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