馬璐，孫瑞勝

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

垂直發(fā)射技術(shù)使得導(dǎo)彈系統(tǒng)反應(yīng)能力快速，發(fā)射效率高，360°無(wú)發(fā)射死角，裝彈量大、火力強(qiáng)，有利于通用化、模塊化，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，工作可靠，成本低等優(yōu)點(diǎn)[1-3]。應(yīng)用垂直發(fā)射技術(shù)，導(dǎo)彈升空后要進(jìn)行轉(zhuǎn)彎控制，而這僅依靠常用的氣動(dòng)力舵面和翼面提供控制力和力矩是不行的，需要借助額外的發(fā)動(dòng)機(jī)推力實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎控制。此外,如果轉(zhuǎn)彎段攻角過(guò)大，導(dǎo)彈的氣動(dòng)非線性特性會(huì)非常明顯，出現(xiàn)“失速”現(xiàn)象。因此可以通過(guò)選擇合適的發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小和作用時(shí)間來(lái)有效改善彈道的性能。

本文的垂發(fā)超近程導(dǎo)彈射程一般在1 km以?xún)?nèi)，飛行時(shí)間短，能夠快速打擊或攔截來(lái)襲目標(biāo)，可應(yīng)用于高價(jià)值目標(biāo)[4-5]的反導(dǎo)防御系統(tǒng)中，在來(lái)襲目標(biāo)距離高價(jià)值目標(biāo)的幾百米的范圍內(nèi)進(jìn)行防御作戰(zhàn)。通過(guò)對(duì)垂發(fā)超近程導(dǎo)彈設(shè)計(jì)合理的彈道飛行方案，使在滿(mǎn)足垂直發(fā)射、機(jī)動(dòng)能力、飛行時(shí)間的約束條件下同時(shí)還要保證導(dǎo)彈的射程和精度指標(biāo)具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

彈道優(yōu)化方法主要分為直接法和間接法兩大類(lèi)[6]，由于間接法的諸多局限性，直接法被廣泛應(yīng)用于當(dāng)前的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[7-8]針對(duì)滑翔彈道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用的粒子群算法具有收斂速度快、計(jì)算穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。但是與其他全局優(yōu)化算法一樣，粒子群算法也容易陷入局部最優(yōu)的情況，造成收斂精度不高并且收斂速度較慢。文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)飛行器多約束多階段彈道優(yōu)化模型基于序列二次規(guī)劃法進(jìn)行彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)。序列二次規(guī)劃法收斂性好，邊界搜索能力強(qiáng)，但是該方法適用于中小型問(wèn)題，求解問(wèn)題規(guī)模越大其穩(wěn)定性越差。文獻(xiàn)[11-13]提出了一種hp自適應(yīng)偽譜法來(lái)解決復(fù)雜的多約束問(wèn)題。和一般偽譜法相比hp自適應(yīng)偽譜法綜合了 h型細(xì)化方法的計(jì)算稀疏性和p型細(xì)化方法的快速收斂性,使其能夠以較少的計(jì)算代價(jià)得到較高精度的解[14]。

垂發(fā)超近程導(dǎo)彈彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題是一個(gè)初始狀態(tài)確定、多優(yōu)化變量、含有飛行過(guò)程約束和終端約束的最優(yōu)控制[15]問(wèn)題。以垂直發(fā)射導(dǎo)彈為研究對(duì)象將不同階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力、發(fā)動(dòng)機(jī)推力作用時(shí)間和飛行攻角作為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)設(shè)計(jì)飛行過(guò)程和飛行終端彈道參數(shù)約束，采用hp-偽譜法進(jìn)行彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 問(wèn)題描述

1.1 垂直發(fā)射導(dǎo)彈飛行過(guò)程

本文的研究對(duì)象有如下特點(diǎn)：導(dǎo)彈飛行用的主發(fā)動(dòng)機(jī)兼用于導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎段的姿態(tài)控制，發(fā)動(dòng)機(jī)推力分不同階段開(kāi)關(guān)，推力方向沿彈軸方向，發(fā)動(dòng)機(jī)在導(dǎo)彈落地前結(jié)束工作。針對(duì)最近射程，采取2段推力的設(shè)計(jì)方案對(duì)彈道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。導(dǎo)彈飛行過(guò)程主要分為如下3段：

(1) 垂直發(fā)射段：采用冷發(fā)射方式，彈道傾角θ保持90°，導(dǎo)彈只受重力作用下到達(dá)預(yù)定高度時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火控制。

(2) 大推力轉(zhuǎn)彎段：由于此時(shí)導(dǎo)彈飛行速度較小，氣動(dòng)舵操縱的效果不明顯，通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)推力影響導(dǎo)彈速度大小進(jìn)而改變導(dǎo)彈的彈道傾角變化，完成轉(zhuǎn)彎控制。

(3) 小推力飛行段：這段飛行過(guò)程要注意對(duì)飛行高度的限制，不能使彈道頂點(diǎn)過(guò)高否則難以滿(mǎn)足終點(diǎn)射程約束。

導(dǎo)彈工作過(guò)程示意圖如圖1所示。

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

方案彈道初步設(shè)計(jì)過(guò)程中簡(jiǎn)化了運(yùn)動(dòng)模型,將導(dǎo)彈描述為理想的質(zhì)點(diǎn)，暫時(shí)不考慮彈體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。以縱向平面內(nèi)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為動(dòng)力學(xué)模型[16]:

(1)

式中:m為導(dǎo)彈質(zhì)量;P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖;X=qSCx,Y=qSCy分別為阻力和升力，由動(dòng)壓q和氣動(dòng)特性決定，其中Cx和Cy是Ma和α的函數(shù),可由吹風(fēng)試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算獲得; ?為導(dǎo)彈俯仰角;θ為彈道傾角;x,y分別為射程和飛行高度。

1.3 約束條件

(1) 導(dǎo)彈飛行過(guò)程狀態(tài)參數(shù)約束

(2)

(2) 導(dǎo)彈飛行終端狀態(tài)參數(shù)約束

(3)

(3) 控制約束

根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)推力工作特點(diǎn)設(shè)計(jì)t1為第1階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力工作時(shí)間，P1為第1階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力，t2為第2階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力工作時(shí)間，P2為第2階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力。根據(jù)飛行任務(wù)及外界環(huán)境變化需要,通過(guò)調(diào)整攻角達(dá)到預(yù)定的戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)，因此同時(shí)把攻角α作為設(shè)計(jì)變量。發(fā)動(dòng)機(jī)約束條件和飛行攻角約束條件為

(4)

1.4 目標(biāo)函數(shù)

在彈道設(shè)計(jì)階段，一個(gè)重要的指標(biāo)是使得導(dǎo)彈在彈道末端的脫靶量最小。因此，彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

J=min|xf-xc|，

(5)

式中：xf為彈道預(yù)先設(shè)計(jì)的射程；xc優(yōu)化彈道的射程。

2 hp-偽譜法

hp-偽譜法通過(guò)判定準(zhǔn)則在網(wǎng)格劃分的迭代過(guò)程中能夠獨(dú)立改變網(wǎng)格單元的長(zhǎng)度h和基函數(shù)的階次p，在降低計(jì)算量的同時(shí)最大限度的保證優(yōu)化精度。

2.1 優(yōu)化問(wèn)題離散

hp-偽譜法分別將狀態(tài)變量和控制變量離散化[17]。系統(tǒng)的狀態(tài)變量是用全局插值多項(xiàng)式表示為單元節(jié)點(diǎn)間系統(tǒng)時(shí)間和狀態(tài)變量之間的關(guān)系。通過(guò)選擇合適的配點(diǎn)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)獲得狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)，使其在配點(diǎn)處一定精度條件下滿(mǎn)足系統(tǒng)的微分方程組，從而將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程約束轉(zhuǎn)換為一組代數(shù)約束，動(dòng)態(tài)方程被近似為光滑基函數(shù)的加權(quán)和。以節(jié)點(diǎn)處的控制變量和配點(diǎn)處的控制變量作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，由此將連續(xù)時(shí)域問(wèn)題離散轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問(wèn)題。

2.2 hp自適應(yīng)迭代原則

當(dāng)網(wǎng)格精度不滿(mǎn)足最大設(shè)定誤差要求時(shí)將選擇是否細(xì)分網(wǎng)格單元或者增加插值多項(xiàng)式階次。

(6)

利用拉格朗日插值多項(xiàng)式近似得到每個(gè)配點(diǎn)中點(diǎn)處的系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量。設(shè)

(7)

式中：系統(tǒng)狀態(tài)變量為n個(gè)，控制變量為m個(gè)。定義殘差矩陣為

(8)

|·|表示對(duì)矩陣R中的每一個(gè)元素取絕對(duì)值，則R中的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組在中點(diǎn)處的殘差。進(jìn)一步，取R中每一行最大的元素構(gòu)成新的列向量，設(shè)為

(9)

取算術(shù)平均得到

(10)

標(biāo)準(zhǔn)化得到

(11)

向量χ就是迭代判斷準(zhǔn)則，當(dāng)χ中所有元素的量級(jí)相當(dāng)時(shí)應(yīng)通過(guò)增加插值多項(xiàng)式的階次來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算精度的提高;當(dāng)χ中某些元素的量級(jí)明顯大于或小于其他元素,則應(yīng)通過(guò)網(wǎng)格細(xì)化實(shí)現(xiàn)計(jì)算精度的提高。

2.3 hp-偽譜法計(jì)算步驟

自適應(yīng)偽譜法計(jì)算步驟如下所示：

(1) 網(wǎng)格區(qū)間初始化，區(qū)間配點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)i，Δti∈[ti-1，ti],i=1,2,…,n，利用hp-偽譜法將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題并采用二次序列規(guī)劃法進(jìn)行求解。

(4) 根據(jù)上一步的計(jì)算結(jié)果構(gòu)建新的網(wǎng)格區(qū)間，求解當(dāng)前的非線性規(guī)劃問(wèn)題。

(5) 判斷重新構(gòu)建的網(wǎng)格區(qū)間相對(duì)容許誤差是否滿(mǎn)足給定的允許誤差，若滿(mǎn)足優(yōu)化結(jié)束退出程序，否則回到步驟1重新優(yōu)化。

3 仿真算例分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

以某垂直發(fā)射導(dǎo)彈為例，采用hp-偽譜法對(duì)其彈道進(jìn)行優(yōu)化。

(1) 導(dǎo)彈飛行過(guò)程約束條件

(12)

(2) 導(dǎo)彈飛行終端約束條件

(13)

(3) 優(yōu)化控制變量約束條件

(14)

3.2 仿真結(jié)果與分析

方案1代表hp-偽譜法，方案2代表遺傳算法，P1和t1為發(fā)動(dòng)機(jī)第1階段推力和作用時(shí)間，P2和t2為發(fā)動(dòng)機(jī)第2階段推力和作用時(shí)間。表1和圖2分別給出了2種方案的推力優(yōu)化結(jié)果和推力隨時(shí)間變化的過(guò)程，圖3～7給出了彈道參數(shù)對(duì)比仿真結(jié)果。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)推力優(yōu)化結(jié)果

(1) 根據(jù)表1和圖2的發(fā)動(dòng)機(jī)推力優(yōu)化結(jié)果可以看出2種方法的推力優(yōu)化方案大致相同，驗(yàn)證了hp-偽譜法發(fā)動(dòng)機(jī)推力優(yōu)化方案的合理性。

(2) 圖3～5 hp-偽譜法和遺傳算法的仿真結(jié)果相差不大，導(dǎo)彈飛行軌跡均比較合理，導(dǎo)彈飛行狀態(tài)參數(shù)、脫靶量均滿(mǎn)足約束要求。

(3) 由圖6～7 hp-偽譜法和遺傳算法的仿真結(jié)果看出，2種算法的優(yōu)化攻角、過(guò)載的變化趨勢(shì)相同。導(dǎo)彈在轉(zhuǎn)彎段攻角變化比較平緩沒(méi)有出現(xiàn)大攻角的飛行狀態(tài)，說(shuō)明合理的選擇發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小和作用時(shí)間能有效改善彈道的性能。但是發(fā)動(dòng)機(jī)推力優(yōu)化結(jié)果的微小差異造成導(dǎo)彈進(jìn)行轉(zhuǎn)彎控制的高度和時(shí)刻都存在微小的差異，優(yōu)化結(jié)果的攻角卻產(chǎn)生了明顯的不同，表明了導(dǎo)彈的飛行攻角在大推力轉(zhuǎn)彎段對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力的作用時(shí)間十分敏感，這在今后進(jìn)行垂發(fā)導(dǎo)彈彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)需要特別注意。

4 結(jié)論

(1) 針對(duì)垂直發(fā)射導(dǎo)彈超近程彈道優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)引入多設(shè)計(jì)變量和多約束條件將彈道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變成非線性規(guī)劃問(wèn)題，仿真表明優(yōu)化模型比較合理。

(2) 根據(jù)仿真結(jié)果，hp-偽譜法在解決垂直發(fā)射導(dǎo)彈超近程彈道優(yōu)化問(wèn)題上能夠生成較為合理的優(yōu)化方案，在應(yīng)對(duì)多優(yōu)化設(shè)計(jì)變量上能夠?qū)ふ业胶侠淼膬?yōu)化解。

(3) 結(jié)果表明可為垂發(fā)超近程導(dǎo)彈彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

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