摘 要：二次函數(shù)作為一個非常重要的函數(shù)模型，貫穿于整個中學數(shù)學的教與學中，是數(shù)學研究中的重要的工具。本文通過具體的實例進行分析和總結二次函數(shù)在實際生活中的應用。

關鍵詞：二次函數(shù)；數(shù)學模型；應用

1 二次函數(shù)的相關概念

一般地，我們把形如的函數(shù)叫做一元二次函數(shù)，其圖像是一條拋物線，且a決定函數(shù)圖像的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下；還可以決定開口大小，越大開口就越小，越小開口就越大。而拋

物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線。對稱軸與拋物線

唯一的交點為拋物線的頂點P，其坐標為。拋物線與x軸交點個數(shù)由一元二次方程根的個數(shù)決定，即由的符號決定。當時，拋物線與x軸有2個交點；當時，拋物線與x軸只有1個交點；當時，拋物線與x軸沒有交點。

2 二次函數(shù)在實際生活中的應用

有關二次函數(shù)的應用問題按照是否需要建立平面直角坐標系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標系，這類題目關鍵是要求出二次函數(shù)的解析式，例如求銷售利潤的最值問題，二次函數(shù)的解析式分為頂點式，一般式和交點式，要根據(jù)實際問題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運用二次函數(shù)的主要性質：如單調性、奇偶性、對稱性、最值等，必要時結合二次函數(shù)圖形求解出函數(shù)模型。另一類就是必須建立平面直角坐標系。這類題呈現(xiàn)的方式主要是以拋物線為基礎的實際問題，如拱橋問題、投擲問題等等。首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結合實際問題中的條件，建立坐標系求出拋物線的解析式。平面直角坐標系選擇的一般原則是使得得出的二次函數(shù)的解析式最簡單，因此要學會巧妙地選擇直角坐標系的位置。

綜上可知不管是哪類二次函數(shù)模型題最終都是通過二次函數(shù)解析式來解決問題的。

2.1 在經(jīng)濟生活中的應用

二次函數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用，主要分為投資策略、銷售定價、貨物存放、消費住宿等不同方面，而這幾個不同方面的問題有一個共通點，那就是利潤的最大化問題。不論是投資還是銷售，利潤問題都是我們最關注的問題。針對不同類型的問題，從保證最大利潤為入手點，建立函數(shù)關系，運用二次函數(shù)的性質來解決實際問題。

例1 某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價降低0.05元，則可多銷售40瓶。在每月的進貨量當月銷售完的前提下，請你給該商店設計一個方案：銷售價定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？

[分析] 利潤=（單價-成本）*銷售數(shù)量，這是問題解答的關鍵。

[解] 設售價為x元/瓶x>3，則根據(jù)題意（銷售量等于進貨量），正好當月銷售完的進貨量為，即瓶 . 此時所得的利潤為（元）

的圖像是開口向下的拋物線.

根據(jù)二次函數(shù)性質，當時，f（x）取得最大值450.這時進貨量為（瓶）

故銷售價為元，購進600瓶時可獲得最大利潤為450元。

例2 某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可近似的看做一次函數(shù)：

（1）設李明每月獲得利潤為（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

[解]（1）由題意得出：

∵該二次函數(shù)的圖像開口向上，關于對稱

∴根據(jù)二次函數(shù)的單調性可知，當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤.

銷售定價問題的根本就是保證利潤的最大化，利潤=（單價-成本）*銷售數(shù)量，而產(chǎn)品的成本是固定，所以單價越大，利潤越高；銷售量越大，利潤也越高。而當銷售單價越來越大時，銷售數(shù)量往往逐漸減少，所以我們需要在這個變化過程中找到使得利潤最大化的最優(yōu)銷售單價。

2.2 以二次函數(shù)圖像為基礎的實際問題

例3 在體育測試時，初三的一名高個子男同學推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個男同學的出手處A點的坐標（0，2），鉛球路線的最高處B點的坐標為（6，5）。（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）該男同學把鉛球推出去多遠？（精確到0.01米，）

例4 一座單行隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長為8m，寬為2m，隧道最高點P位于AB的中央且距地面6m，建立如圖1-3所示的坐標系。

求拋物線的解析式；（2）一輛貨車高4m，寬2m，能否從該隧道內通過，為什么？（3）如果隧道內設雙行道如圖1-4所示，那么這輛貨車是否可以順利通過，為什么？

[解]（1）由題意可知拋物線經(jīng)過點，，。

設拋物線的方程為，將A、P、D三點的坐標

代入拋物線方程。解得拋物線方程為：.

（2）令y=4，則有，解得，

，而，所以貨車可以通過。

（3）由（2）可知，所以貨車可以通過。

運用投球時球的運動軌跡、彈道軌跡、跳水時人體的運動軌跡，拋物線形橋孔等設計的二次函數(shù)應用問題屢見不鮮。解這類問題一般分為以下四個步驟：

（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ纛}目中給出，不用重建）；

（2）根據(jù)給定的條件，找出拋物線上已知的點，并寫出坐標；

（3）利用已知點的坐標，求出拋物線的解析式。

①當已知三個點的坐標時，可用一般式求其解析式；

②當已知頂點坐標為（k，h）和另外一點的坐標時，可用頂點式求其解析式；

③當已知拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為、時，可用交點式求其解析式；

（4）利用拋物線解析式求出與問題相關的點的坐標，從而使問題獲解。

二次函數(shù)在實際生活中的應用是非常廣泛的，這里也就不一一舉例了。通過建立數(shù)學模型來解決問題的方法就是數(shù)學建模型方法，反映了模型化的思想。數(shù)學是一門高度抽象的學科，它剝去事物的外在表現(xiàn)，抽出其數(shù)學本質，通過建立數(shù)學模型，從而抓住事物的內存本質。數(shù)學本身就是對客觀事物或問題的本質關系的模型化研究，它將一些表面上迥然不同的各種現(xiàn)象利用數(shù)字關系統(tǒng)一起來，例如生活中各種各樣的變量之間的依存關系，用函數(shù)模型統(tǒng)一起來?？梢哉f數(shù)學本身就是一種描述客觀世界的一種模型，數(shù)學始終貫穿著模型化的思想。

數(shù)學來源于生活。因此，在平時的學生過程中，我們應當多多積累、總結常見的函數(shù)模型，利用模型思想解決數(shù)學問題，這對我們認識客觀世界有很大的幫助。

參考文獻

[1]陳湘平.二次函數(shù)在生活中的應用

[2]雒興.淺談函數(shù)模型在生活中的應用[J].安康學院本科畢業(yè)生論文，2013.05

[3]張菊平，鄭云初.充分認識差別，實現(xiàn)二次函數(shù)“升級”——淺談二次函數(shù)的初高中教學銜接[J]. 數(shù)學教學研究，2005，03：22-25.

[4]沈繼紅，高振濱，張曉威.《數(shù)學建?！穂M].北京：清華大學出版社，2011.

（作者單位：陜西省漢中市南鄭區(qū)大河坎中學）