鄭曉珍

摘 要：任何一種測量結(jié)果的測量值與客觀存在的真值之間總會或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測量值的測量誤差（又稱為測量值的真誤差），簡稱“誤差”。誤差存在于一切測量之中，一個優(yōu)秀的測量工作者，應(yīng)該是在一定的要求下，以最低的代價來取得最佳的結(jié)果，要做到既保證必要的測量精度又合理地節(jié)省人力與物力。

關(guān)鍵詞：測量誤差；測量精度

一、測量誤差的概念

任何一種測量結(jié)果的測量值與客觀存在的真值之間總會或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測量值的測量誤差（又稱為測量值的真誤差），簡稱“誤差”。

我們可以這樣定義誤差：設(shè)某量的真值為x，對其進行n次觀測，得到n個觀測值：L1，L2，L3，…，Ln，則第i個觀測值的真誤差為：[Δi=Li-Xi=1，2，3，…，n。]

誤差存在于一切測量之中，一個優(yōu)秀的測量工作者，應(yīng)該是在一定的要求下，以最低的代價來取得最佳的結(jié)果，要做到既保證必要的測量精度又合理地節(jié)省人力與物力。

二、測量誤差產(chǎn)生的原因

測量工作是在一定條件下進行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。通常把測量儀器、觀測者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。具體來說，測量誤差主要來自以下四個方面：①外界條件。主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測量結(jié)果中帶有誤差；②儀器條件。儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差；③方法。理論公式的近似限制或測量方法的不完善；④觀測者的自身條件。由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產(chǎn)生誤差。研究測量誤差的目的，是為了盡可能減少測量誤差，提高測量的精確度。

三、測量誤差的表示方法

誤差常用的表示方法有兩種：絕對誤差（真誤差、中誤差等）和相對誤差。

1.真誤差。真誤差Δ的定義為測量值L與真值X之差，即Δ=L-X。

采用真誤差來表示測量誤差往往不能很確切地表明測量質(zhì)量地好壞。例如，用鋼卷尺量200m和40m兩段距離，它們的真誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，顯然前者的相對精度比后者要高。

2.中誤差。中誤差又稱標準差，或稱均方差、方根差。在相同的觀測條件下，對真值為X的一個未知量L進行了n次觀測，觀測值分別為L1，L2，L3，…，Ln，每個觀測值相應(yīng)的真誤差（觀測值與真值之差。）分別為：Δ1，Δ2，Δ3，Δn，則以各個真誤差之平方和的平均數(shù)的平方根作為精度評定的標準稱為觀測值的中誤差，簡稱為“中誤差”，用符號m表示，即[m=±Δ21+Δ22+Δ23+…+Δ2nn]。 （公式一）

一組觀測值的測量誤差愈大，中誤差也就愈大，其精度就愈低；反之，一組觀測值的測量誤差愈小，中誤差也就愈小，其精度就愈高。

練習(xí)1：甲、乙兩個小組，各自在相同的觀測條件下，對某三角形內(nèi)角和分別進行了8次觀測，求得每次三角形內(nèi)角和的真誤差分別為：

甲組：-3″，+3″，-1″，-3″，+4″，+2″，-1″，-4″；

乙組：+1″，-5″，-1″，+6″，-4″，0″，+3″，-1″。

求兩組觀測值的中誤差，并分析兩組觀測值的精度。

解：由中誤差公式一可得：

[m甲=±-32+32+-12+-32+42+22+-12+-428][=±2.9″]，

[m乙=±12+-52+-12+62+-42+02+32+-128][=±3.3″]。

由此可知，甲組觀測精度高于乙組。同時通過乙組觀測誤差的分布情況可看出其誤差值的波動幅度較大，因而也可以判斷出乙組的觀測值的穩(wěn)定性較差，則精度較低。

3.相對誤差。對于衡量精度來說，在很多情況下，僅僅知道觀測中的絕對誤差大小還不能完全表達觀測精度的好壞，為此必須再引入相對誤差。

相對誤差δ的定義為絕對誤差的絕對值與真值x的比值，用百分數(shù)表示，即：[δ=∣Δ∣X×100%]。

[9.65=3.10644≈3.11]（保留3位有效數(shù)字）。

實際測量過程中，相對誤差一般用于長度、面積、體積、流量等物理量測量中。由于角度誤差的大小主要是觀測兩個方向引起的，并不依賴角度大小的變化，因此角度測量不采用相對誤差。

練習(xí)2：觀測兩段距離，分別為1000m±2cm和500±2cm，問這兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對精度是否相同？

解：這兩段距離的真誤差相等，均為±2cm。它們的相對誤差分別為：[δ1=∣±0.02∣1000×100%=0.02%]，[δ2=∣±0.02∣500×100%=0.04%]，則[δ1﹤δ2]，所以前一段距離的觀測精度要高于后一段距離。

真值是一個變量本身所具有的真實值，它是一個理想的概念，一般是無法得到的，是不能被準確測量的，計算時一般用觀測值的算術(shù)平均值（即最或然值）來代替真值。

觀測值L與觀測值的算術(shù)平均值[x]之差，稱為觀測值的改正數(shù)，一般用V表示，則[V1=L1-XV2=L2-XV3=L3-X…Vn=Ln-X]式中Vi為第i次觀測值的改正數(shù)，可代替真誤差，Li為第i次觀測的觀測值（i=1，2，3，…，n）。

利用觀測值的改正數(shù)代替真誤差，計算觀測值的中誤差公式為：

[m=±V21+V22+V23+…+V2nn-1]。 （公式二）

計算算術(shù)平均值中誤差公式為：

[mx=±V21+V22+V23+…+V2nn（n-1）]。 （公式三）

由公式二和公式三可知，算術(shù)平均值（最或然值）中誤差是觀測值中誤差的[1n]倍，這說明最或然值的精度比觀測值的精度要高。所以多次觀測取其平均值，是減少偶然誤差影響、提高成果精度的有效方法。

此時計算相對誤差公式為：[δ=∣mx∣X×100%]。 （公式四）