李寶麟, 王云鳳

(西北師范大學 數學與統(tǒng)計學院, 甘肅 蘭州 730070)

1 預備知識

文獻[1]介紹了一類新的方程,無限滯后測度泛函微分方程,并且證明了在一定條件下無限滯后測度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價關系.文獻[2]研究了無限滯后測度泛函微分方程解對參數的連續(xù)依賴性;文獻[3]建立了廣義常微分方程新的有界性定理,并且獲得了測度微分方程和時間尺度上的動力方程的解的有界性定理.

本文考慮無限滯后測度泛函微分方程解的有界性

Dy=f(yt,t)Dg,

(1)

其中Dy和Dg分別表示函數y和g的分布導數.在文獻[4]中,方程(1)等價積分方程

(2)

其中,y是取值在Rn上的函數,ys:(-∞,0]→Rn,ys(τ)=y(s+τ)表示滯后的長度,方程(2)右端是關于不減函數g的Kurzweil-Henstock積分,g:[t0,+∞)→R為不減函數,

f:P×[t0,+∞)→Rn,

其中

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)}?H0,
H0?G((-∞,0],Rn).

H0是Banach空間,G((-∞,0],Rn)是所有正則函數f的集合,f:(-∞,0]→Rn.無限滯后測度泛函微分方程滿足的相空間H0?G((-∞,0],Rn)是線性空間,其中的范數為‖·‖,假設線性空間H0滿足下列條件:

(H1)H0是完備的；

(H2) 如果y∈H0且t<0,則yt∈H0；

(H3) 存在有界函數k1:(-∞,0]→R+使得如果y∈H0且t≤0,則

‖y(t)‖≤k1(t)‖y‖；

(H4) 存在一個函數k2:(0,+∞)→[1,+∞)使得如果σ>0且y∈H0,t∈[-σ,0],則

‖y‖≤k2(σ)；

(H5) 存在有界函數k3:(-∞,0]→R+使得如果y∈H0且t≤0,則

‖yt‖≤k3(t)‖y‖；

(H6) 如果y∈H0,則函數t→‖yt‖在(-∞,0]上是正則的.

本文獲得無限滯后測度泛函微分方程解的有界性結果是在廣義常微分方程

(3)

關于初值條件

x(s0)=x0

(4)

下新的有界性定理的基礎上得到的.

2 廣義常微分方程

τj∈[αi-1,αi]?(τj-δ(τj),τj+δ(τj)),

設X是Banach空間,O?X是開子集.

定義2.1[1]函數U:[a,b]×[a,b]→X稱為在[a,b]上Henstock-Kurzweil可積的,如果存在I∈X,使得對任意的ε>0,存在正值函數

δ:[a,b]→(0,+∞),

使得對[a,b]上的任何的δ-精細分劃

D={(τj,[αi-1,αi]),j=1,2,…,k},

其中

τj∈[αi-1,αi]?[τj-δ(τj),τj+δ(τj)],

有

(5)

則稱I∈X為U在[a,b]上的Henstock-Kurzweil積分(也記為H-K積分),記作

特別地,當f:[a,b]→X,且

g:[a,b]→R,U(τ,t)=f(τ)g(t)

時,

設F:Ω→X,其中Ω=O×[t0,+∞).

定義2.2[1]設Ω?X×R是開集,(x,t)∈Ω,t∈R.稱函數x:[a,b]→X為廣義常微分方程

(6)

在區(qū)間[a,b]?R上的解,是指對所有的(x(t),t)∈Ω,且對每個s1,s2∈[a,b],有

成立.

定義2.3[3]函數x:[a,b]→X是廣義常微分方程(6)關于初值條件x(s0)=z0的解,是指如果s0∈[a,b],(x(t),t)∈Ω對每個t,s∈[a,b],有

其中[a,b]?[t0,+∞).

引理2.4[3]如果

Ω=O×[t0,+∞),F∈F(Ω,h),

函數h是不減且左連續(xù)的,則對每個(z0,s0)∈Ω,廣義常微分方程(6)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且x(s0)=z0.

注2.1對每個(z0,s0)∈Ω,把廣義常微分方程的唯一最大解記為x(s,s0,z0)且x(s0)=z0.

定義2.5[3]廣義常微分方程(6)是

1) 一致有界:如果對每個α>0,存在M=M(α)>0使得對每個s0∈[t0,+∞)及所有的

z0∈X, ‖z0‖<α,

有

‖x(s,s0,z0)‖

2) 擬一致最終有界:如果存在B>0,使得對每個α>0,存在T=T(α)>0,使得對所有的s0∈[t0,+∞)及

z0∈X, ‖z0‖<α,

有

‖x(s,s0,z0)‖

3) 一致最終有界:廣義常微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理2.6[3]設函數V:[t0,+∞)×X→R,使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數z:[α,β]→X,函數t→V(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的.而且,假設V滿足下列條件:

(i) 有2個單調遞增的函數p,b:R+→R+,使得p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×X,有

b(‖z‖)≤V(t,z)≤p(‖z‖)

成立.

(ii) 對每個廣義常微分方程(6)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

V(s,z(s))-V(t,z(t))≤0,

則廣義常微分方程(6)是一致有界的.

定理2.7[3]設函數V:[t0,+∞)×X→R,使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數z:[α,β]→X,函數t→V(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理2.6的條件(i).而且,假設V滿足下列條件:

(V1) 對每個

x,y:[α,β]→X, [α,β]?[t0,+∞)

在區(qū)間[α,β]上有界變差,及每個α≤s

成立,其中h1:[t0,+∞)→R為不減和左連續(xù)的函數;

(V2) 存在連續(xù)函數φ:X→R,φ(0)=0且

φ(x)>0,x≠0,

使得對每個廣義常微分方程(6)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

V(s,z(s))-V(t,z(t))≤(s-t)(-φ(z(t))),

則廣義常微分方程(6)是一致最終有界的.

3 無限滯后測度泛函微分方程解的有界性

設H0?G((-∞,0],Rn)是Banach空間,其中的范數為‖·‖,考慮無限滯后測度泛函微分方程

(7)

其中，t0∈R,f:P×[t0,+∞)→Rn，g:[t0,+∞)→R,

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈P.

假設f:P×[t0,+∞)→Rn滿足下列條件:

(A) 對于每一個y∈O,積分

存在;

(B) 存在一個關于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數M:[t0,+∞)→R+,滿足

ddg(t),

其中y∈O,[a,b]?[t0,+∞);

(C) 存在一個關于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數L:[t0,+∞)→R+,滿足

dg(t)‖≤
dg(t),

其中y,z∈O,[a,b]?[t0,+∞)(假設右邊的積分存在).

引理3.1設f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減函數,定義F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下

(8)

則F∈F(Ω,h,k),其中,Ω=O×[t0,+∞),

h,k:[t0,+∞)→R,

dg(s),t∈[t0,+∞),

k(t)=k2(σ)(dg(s),
t∈[t0,+∞).

定理3.2設O是H的子集,且t≥t0時,具有延拓性質,

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},
φ∈P,g:[t0,+∞)→R

是不減函數,f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),且F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)取值于H.如果y∈O是無限滯后測度泛函微分方程的解

則函數x:[t0,+∞)→O,

是廣義常微分方程

的解.

證明定理的證明在文獻[1]定理3.14可見.

定理3.3設O是H的子集,且t≥t0時,具有延拓性質,

P={yt∶y∈O,t∈[t0,+∞)},
φ∈P,g:[t0,+∞)→R

是不減函數,f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),且F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)取值于H.如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程的解

在初值條件下

則函數y∈O且

是無限滯后測度泛函微分方程

的解.

證明定理的證明在文獻[1]定理3.15可見.

定理3.4設f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數,則對每個(z0,s0)∈P×[t0,+∞),無限滯后測度泛函微分方程(7)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且y(s0)=z0.

證明考慮無限滯后測度泛函微分方程(7)

t∈[t0,+∞).根據假設,函數f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數,則無限滯后測度泛函微分方程(7)等價于廣義常微分方程

(9)

其中F由(8)式給出.

根據引理2.4,因為對每個

(z0,s0)∈O×[t0,+∞),

廣義常微分微分方程(9)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且x(s0)=z0,而且根據定理3.3有

是無限滯后測度泛函微分方程

的解.因此,對每個(z0,s0)∈P×[t0,+∞),無限滯后測度泛函微分方程(7)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且y(s0)=z0.

注3.1同樣的,對每個

(z0,s0)∈P×[t0,+∞),

把無限滯后測度泛函微分方程(7)的唯一最大解記為y(s,s0,z0)且y(s0)=z0.

定義3.5無限滯后測度泛函微分方程(7)是:

1) 一致有界:如果對每個α>0,存在M=M(α)>0,使得對每個s0∈[t0,+∞)及所有的z0∈Rn,‖z0‖<α,有

‖y(s,s0,z0)‖

2) 擬一致最終有界:如果存在B>0,使得對每個α>0,存在T=T(α)>0,使得對所有的s0∈[t0,+∞)及z0∈Rn,‖z0‖<α,有

‖y(s,s0,z0)‖

3) 一致最終有界:無限滯后測度泛函微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理3.6設f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R在[t0,+∞)上是不減和左連續(xù)的.設函數

U:[t0,+∞)×Rn→R,

使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數z:[α,β]→X,函數

t→U(t,z(t)),

t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的.而且,假設U滿足下列條件:

(i)有2個單調遞增的函數p,b:R+→R+,使得p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×Rn,有

b(‖z‖)≤U(t,z)≤p(‖z‖)

成立；

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

U(s,z(s))-U(t,z(t))≤0,

則無限滯后測度泛函微分方程(7)是一致有界的.

證明對每個x∈O及t∈[t0,+∞),定義函數F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下：

(10)

根據假設,函數f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數,則根據引理3.1得

F∈F(O×[t0,+∞),h,k),

其中函數

dg(s),t∈[t0,+∞)

和

dg(s),
t∈[t0,+∞).

函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理3.6的條件(i),則函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的條件(i).

z:[s0,+∞)→Rn,s0≥t0

是無限滯后測度泛函微分方程

dg(s),t∈[t0,+∞)

的解，則通過定理3.2,有

x(t)(?)

是廣義常微分方程

的解,其中函數F由(10)式給出.因此,函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的條件(ii).所以,函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的所有條件,則廣義常微分方程

是一致有界的,其中函數F由(10)式給出.

最后,根據定理3.3,證明了無限滯后測度泛函微分方程(7)也是一致有界的.

定理3.7設f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R在[t0,+∞)上是不減和左連續(xù)的.設函數

U:[t0,+∞)×Rn→R,

使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數z:[α,β]→X,函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理3.6的條件(i).而且,假設U滿足下列條件:

(U1)對每個

x,y:[α,β]→X, [α,β]?[t0,+∞)

在區(qū)間[α,β]上有界變差及每個α≤s

成立,其中U:[t0,+∞)→R是關于u局部Kurzweil-Henstock-Stietijes可積的函數；

(U2)存在連續(xù)函數φ:X→R,φ(0)=0且φ(x)>0,x≠0,使得對每個無限滯后測度泛函微分方程(7)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

U(s,z(s))-U(t,z(t))≤(s-t)(-φ(z(t))),

則無限滯后測度泛函微分方程(7)是一致最終有界的.

證明對每個x∈O及t∈[t0,+∞),定義函數F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下

(11)

根據假設,函數f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數,則根據引理3.1得

F∈F(O×[t0,+∞),h,k),

其中函數

dg(s),t∈[t0,+∞),

k(t)=k2(σ)(dg(s),
t∈[t0,+∞).

因為函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理3.6的條件(i),有2個單調遞增的函數p,b:R+→R+,使得

p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×Rn有

b(‖z‖)≤U(t,z)≤p(‖z‖)

成立.則函數U:t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的假設(i).

對每個t∈[t0,+∞),定義函數

h1(t):[t0,+∞)→R

如下

du(t),t∈[t0,+∞),

則函數h1是不減且左連續(xù)的.

而且由條件(U1)有,函數

U:t→U(t,z(t)),t∈[α,β]

滿足下列條件

對每個α≤s

其次,由條件(U2)有

z:[s0,+∞]→Rn,s0≥t0

是無限滯后測度泛函微分方程

dg(s),
t∈[t0,+∞)

的解.

則通過定理3.2有

是廣義常微分方程

的解,其中函數F由(11)式給出.

因此,函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.7的條件(V2).

所以,函數t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.7的所有條件,則廣義常微分方程

是一致最終有界的,其中函數F由(11)式給出.

最后,根據定理3.3,證明了無限滯后測度泛函微分方程(7)也是一致最終有界的.

[3] FEDERSON M, GRAU R, MESQUITA J G, et al. Boundedeness of solutions of measure differential equations and dynamic equations on time scales[J]. J Diff Eqns,2017,263(1):26-56.

[4] FEDERSON M, MESQUITA J G, SLAVK A. Measure functional differential equations and functional dynamic equations on time scales[J]. J Diff Eqns,2012,252(6):3816-3847.

[6] PURNA C D, RISHI R S. Existence and stability of measure differential equations[J]. Czechoslovak Math J,1972,22(97):145-158.

[7] HINO Y, MURAKAMI S, NAITO T. Functional Differential Equations with Infinite Delay[M]. New York:Springer-Verlag,1991.

[8] KURZWEIL J. Genenralized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter[J]. Czechoslovak Math J,1957,82(7):418-448.

[9] KURZWEIL J. Generalized ordinary differential equations[J]. Czechoslovak Math J,1958,83(8):360-389.

[10] FEDERSON M, SCHWABIK. Generalized ODE approach to impulsive retarded functional differential equations[J]. Diff Integ Eqns,2006,19(11):1201-1234.