陳興武

(四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064)

1 引言及基本理論

平面中心型微分系統(tǒng)

(1)

的研究一直是微分方程定性理論及分岔理論(見文獻(xiàn)[1-2])的研究熱點(diǎn),這里x,y∈R，P(x,y)和Q(x,y)是解析函數(shù)且P(0,0)=Q(0,0)=0.由經(jīng)典結(jié)果[2]，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O:(0,0)要么是中心，要么是焦點(diǎn).此時(shí)的中心也稱為細(xì)中心，焦點(diǎn)也稱為細(xì)焦點(diǎn).所以，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O也被稱為中心- 焦點(diǎn).經(jīng)典的中心問題就是判定中心-焦點(diǎn)O在什么樣的參數(shù)條件下是中心.這是對(duì)平衡點(diǎn)類型的判定.

在分岔方面，系統(tǒng)(1)常常發(fā)生的Hopf分岔吸引了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注.Hopf分岔是指當(dāng)參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，在系統(tǒng)(1) 的平衡點(diǎn)O充分小鄰域內(nèi)產(chǎn)生出極限環(huán)的現(xiàn)象.這屬于傳統(tǒng)分岔研究中的一種，即在參數(shù)微小變化下微分系統(tǒng)相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化.Hopf分岔與著名的希爾伯特第16問題有密切關(guān)系.迄今，系統(tǒng)(1) 在Hopf分岔的研究方面已有了豐富結(jié)果.而且，大部分的結(jié)果都是針對(duì)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O是細(xì)焦點(diǎn)的情形，有少量結(jié)果是針對(duì)細(xì)中心的情形[3].對(duì)細(xì)中心的情形，系統(tǒng)(1)還存在另外一種分岔.這就是本文主要介紹的局部臨界周期分岔.

當(dāng)平衡點(diǎn)O是系統(tǒng)(1)的細(xì)中心時(shí)，在相平面中圍繞O的是一族周期軌道.根據(jù)這族周期軌道中每條軌道的最小正周期，可以定義一個(gè)周期值函數(shù).具體地，令Γ(r)是系統(tǒng)(1)的相平面內(nèi)周期軌道族中經(jīng)過點(diǎn)(r,0)的周期軌道，其中0

其中，所有pi(λ)是解析函數(shù)且滿足在收斂?jī)缂?jí)數(shù)環(huán)R{λ}中

p2k+1∈(p2,p4,…,p2k),

其中,(p2,p4,…,p2k)是p2,p4,…,p2k在收斂?jī)缂?jí)數(shù)環(huán)R{λ}中生成的理想.所以，p2k稱為第k階周期量.

由于周期值函數(shù)P(r,λ)的單調(diào)性等性質(zhì)對(duì)系統(tǒng)(1)的定性分析和分岔研究極其重要，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者非常關(guān)注周期值函數(shù)P(r,λ)的研究.如果對(duì)所有充分小的r，周期值函數(shù)P(r,λ)恒為常數(shù)，也即所有階周期量都為0,則稱細(xì)中心O為等時(shí)中心.可見，等時(shí)中心是被一族具有相同最小正周期的周期軌道圍繞.判定細(xì)中心在什么樣的參數(shù)條件下是等時(shí)中心就是所謂的等時(shí)中心問題.如果O不是等時(shí)中心，則一定存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)κ，使得

p0(λ)=…=p2κ(λ)=0,p2κ+2(λ)≠0,

這里p0(λ)定義為零函數(shù).此時(shí)，稱O為κ重細(xì)中心.有時(shí)也稱等時(shí)中心為無窮重細(xì)中心.

周期值函數(shù)P(r,λ)的臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期值稱為臨界周期.給定參數(shù)值λ*∈Rm，如果對(duì)任意的>0及λ*的任意小鄰域W，存在點(diǎn)λ1∈W使得方程P′(ξ,λ1)=0在(0,)中有k個(gè)解，則稱k個(gè)局部臨界周期從對(duì)應(yīng)于參數(shù)值λ*的細(xì)中心分岔出來.與傳統(tǒng)的分岔相區(qū)別的是：局部臨界周期分岔并不改變系統(tǒng)相空間內(nèi)的相圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，僅僅是周期值函數(shù)的性質(zhì)發(fā)生變化.

Chicone等[4]于1989年建立了局部臨界周期分岔的基本理論.

引理1.1[4]假設(shè)λ=λ*時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)k重細(xì)中心,則至多k個(gè)局部臨界周期從O分岔出來.

由引理1.1知，細(xì)中心的重?cái)?shù)是其分岔出局部臨界周期個(gè)數(shù)的一個(gè)上界.但是，這個(gè)上界是否可達(dá)還是未知.為了確定這個(gè)可達(dá)性，首先需要介紹如下無關(guān)性定義.

定義1.1[4]對(duì)一族連續(xù)函數(shù)fi:RN→R，i=1,…,l，如果

3) 滿足f1(μ″)=0,f2(μ″)≠0的點(diǎn)μ″的任意小鄰域內(nèi)有點(diǎn)μ?，使得f1(μ?)f2(μ″)<0;

則稱f1,…,fl-1在μ*處與fl是無關(guān)的.

特別地，如果函數(shù)f1,…,fl是連續(xù)可導(dǎo)的，則根據(jù)定義1.1不難推導(dǎo)出：l個(gè)向量▽f1(μ*),…,▽fl(μ*)線性無關(guān)蘊(yùn)含f1,…,fl-1在μ*處與fl是無關(guān)的，其中▽fi(μ*)表示μ*處的梯度向量.但反之不成立,即f1,…,fl-1在μ*處與fl無關(guān)不能導(dǎo)出向量▽f1(μ*),…,▽fl(μ*)線性無關(guān).有了無關(guān)性定義，可以給出如下2個(gè)局部臨界周期分岔的基本定理.

定理1.1[4](有限重分岔定理)假設(shè)λ=λ*時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)k重細(xì)中心,則至多k個(gè)局部臨界周期從O分岔出來.進(jìn)一步，如果周期量p2,p4…,p2k在λ*處與p2k+2是無關(guān)的，則存在λ*附近的擾動(dòng)，使得恰有j(j≤k) 個(gè)局部臨界周期分岔出來.

定理1.2[4](等時(shí)分岔定理)假設(shè)λ=λ*時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)等時(shí)中心，且所有周期量都屬于p2,…,p2k+2在R{λ}λ*中生成的理想.其中R{λ}λ*是在λ*處收斂的冪級(jí)數(shù)環(huán),則至多k個(gè)局部臨界周期從O分岔出來.進(jìn)一步，如果周期量p2,p4…,p2k在λ*處與p2k+2是無關(guān)的，則存在λ*附近的擾動(dòng)，使得恰有j(j≤k)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

自1989年Chicone等[4]建立局部臨界周期分岔的基本理論以來，局部臨界周期分岔越來越受到關(guān)注.而近十年來多項(xiàng)式代數(shù)及符號(hào)計(jì)算的發(fā)展更是極大地推動(dòng)了局部臨界周期分岔的研究.本文將圍繞二次及三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)、Liénard系統(tǒng)、非多項(xiàng)式微分系統(tǒng)及剛性中心系統(tǒng)等，介紹局部臨界周期的若干結(jié)果及最新發(fā)展.

2 二次系統(tǒng)

當(dāng)P(x,y)、Q(x,y)是二次齊次多項(xiàng)式時(shí)，系統(tǒng)(1)是二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng).由文獻(xiàn)[5]，任何具有圍繞O的周期軌道的二次系統(tǒng)都可以經(jīng)過坐標(biāo)線性變換而化為Bautin系統(tǒng)

(2)

其中(λ1,…,λ6)∈R6.局部臨界周期分岔是在細(xì)中心的情形下考慮的.所以，限定λ1=0且(λ2,…,λ6)位于中心簇內(nèi),即

其中

B1:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ4=λ5=0},

B2:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ3=λ6},

B3:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ5=

λ4+5λ3-5λ6=λ3λ6-2λ62-λ22=0},

B4:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=0}.

在中心簇的基礎(chǔ)上，Loud于1964年給出了Bautin系統(tǒng)(2)的等時(shí)中心條件和有限重細(xì)中心的最大重?cái)?shù).

定理2.1[6]當(dāng)Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)O是有限重細(xì)中心時(shí)，其重?cái)?shù)不超過2.Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)O是等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)λ1=0且要么(λ2,…,λ6)=(0,…,0)，要么經(jīng)過坐標(biāo)線性變換原系統(tǒng)化為L(zhǎng)oud系統(tǒng)

其中(F,D)=(1,0)或(2,-1/2)或(1/4,0)或(1/2,-1/2).具體地，Bautin系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)O是等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)λ1=0且

其中

B1:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ3-λ6=

λ4+4λ3=λ5+4λ2=0},

B2:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ6=λ4+3λ3=0},

B3:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ6=λ4+6λ3=0},

B4:={(λ2,…,λ6)∈R5:λ2=λ5=

λ3-4λ6=λ4+10λ6=0}.

通過對(duì)有限重細(xì)中心及定理2.1中給出的等時(shí)中心進(jìn)行擾動(dòng)分析，Chicone等[4]給出了二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)局部臨界周期分岔結(jié)果：

定理2.2[4]1) 如果二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)有限重細(xì)中心，則至多2個(gè)局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j=1,2)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

2) 從非線性的二次系統(tǒng)的等時(shí)中心至多分岔出1個(gè)局部臨界周期；線性等時(shí)中心在二次系統(tǒng)族中擾動(dòng)時(shí)，至多2個(gè)局部臨界周期分岔出來.并且，這兩種情況的最大個(gè)數(shù)1和2 都是可達(dá)的.

3 三次系統(tǒng)

從上一章可見，二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的局部臨界周期分岔已研究完整.然而，雖然三次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)局部臨界周期分岔的研究吸引了眾多學(xué)者，但由于其中心問題至今都沒有得到完全解決，其局部臨界周期分岔僅對(duì)某些特殊的三次系統(tǒng)有研究結(jié)果.一般三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔問題還沒得到完全解決.在本章中，將對(duì)現(xiàn)有的三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔結(jié)果作介紹.1991年，李繼彬等[7]考慮了

(3)

即系統(tǒng)(1)中的P、Q為三次齊次多項(xiàng)式.他們給出了有限重細(xì)中心局部臨界分岔的結(jié)果，證明了存在參數(shù)擾動(dòng)使得2個(gè)局部臨界周期分岔出來.緊接著，Rousseau等[9]繼續(xù)考慮系統(tǒng)(3)在Sibirskii形式下的情形,即

a30:=A1-A2-A3,a21:=3A4-A6,

a12:=3A2+A7-3A3-2A1,

a03:=A5-A4, b30:=A4+A5,

b21:=3A3+2A2+2A1,

b12:=A6-A3, b03:=A3-A2-A1.

注意，Sibirskii形式下的齊三次系統(tǒng)與系統(tǒng)(3)是等價(jià)的.寫為Sibirskii形式更為方便表示中心條件：

定理3.1[8]系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)O是細(xì)中心當(dāng)且僅當(dāng)λ:=(A1,…,A7)∈S1∪S2∪S3，其中

S1:={λ:A1=A7=0},

S2:={λ:A3=A5=A6=A7=

4(A42+A22)-A12=0},

S3:={λ:A2=A5=A7=0}.

當(dāng)λ∈S1(S2,S3)時(shí)，稱O是系統(tǒng)(3) 的第I(II,III)類細(xì)中心.通過對(duì)這3類細(xì)中心的分析，Rousseau等[9]證明了如下定理：

定理3.2[9]至多3個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(3)的有限重細(xì)中心或線性等時(shí)中心O分岔出來;至多2個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(3)的非線性等時(shí)中心O分岔出來.而且，這2種情況的上界3和2都是可達(dá)的.

上面齊三次系統(tǒng)(3)是實(shí)系統(tǒng)的形式.2003年，Romanovski和Han[10]考慮了齊三次系統(tǒng)的復(fù)形式也證明了定理3.2中關(guān)于等時(shí)中心分岔出臨界周期的結(jié)果.

對(duì)非齊次的三次系統(tǒng)，首先考慮約化Kukles系統(tǒng)

(4)

系統(tǒng)(4)的中心條件在下面定理中給出.

定理3.3[11]系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)O是細(xì)中心當(dāng)且僅當(dāng)λ:=(a1,…,a6)∈K1∪K2∪K3∪K4，其中

K1:={λ:a4=a5=a6=a1+a3=0},

K2:={λ:a4+a3(a1+a3)=

a5-a2(a1+a3)=

a6(a1+2a3)-a32(a1+a3)=0},

K3:={λ:a2=a5=0},

K4:={λ:a1=a3=a5=0}.

在此基礎(chǔ)上，1997年Rousseau等[12]解決了系統(tǒng)(4)的等時(shí)中心問題和局部臨界周期分岔問題.

定理3.4[12]系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)O是等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)

a1=a3=5=a6=a22-9a4=0.

定理3.5[12]1) 若λ∈K1，則系統(tǒng)(4)的細(xì)中心O是0重細(xì)中心，且無局部臨界周期從此細(xì)中心分岔出來;

2) 若λ∈K2K1，則系統(tǒng)(4)的細(xì)中心O的重?cái)?shù)至多為2，且存在擾動(dòng)使得恰有j(j≤2)個(gè)局部臨界周期從2重細(xì)中心分岔出來;

3) 若λ∈K3，則系統(tǒng)(4)的細(xì)中心O的重?cái)?shù)至多為3，且存在擾動(dòng)使得恰有j(j≤3)個(gè)局部臨界周期從3重細(xì)中心分岔出來;

4) 若λ∈K4，則系統(tǒng)(4)的細(xì)中心O的重?cái)?shù)不大于2或?yàn)榉蔷€性等時(shí)中心，且存在擾動(dòng)使得恰有j(j≤2)個(gè)局部臨界周期從2重細(xì)中心分岔出來.

定理3.6[12]1) 至多1個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(4)的非線性等時(shí)中心O分岔出來，且存在產(chǎn)生1個(gè)局部臨界周期的擾動(dòng);

2) 至多3個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(4)的線性等時(shí)中心O分岔出來.特別地，沒有局部臨界周期從K1中的擾動(dòng)產(chǎn)生；至多2(3)個(gè)局部臨界周期從K2K4(K3K4)中的擾動(dòng)產(chǎn)生；至多2個(gè)局部臨界周期從K4中的擾動(dòng)產(chǎn)生，且存在恰好產(chǎn)生2個(gè)局部臨界周期的擾動(dòng).

三次可逆系統(tǒng)

(5)

是非常重要的一類具有中心O的三次系統(tǒng)，得到了廣泛關(guān)注.當(dāng)系統(tǒng)(5)的對(duì)應(yīng)二次系統(tǒng)是等時(shí)中心時(shí)，把系統(tǒng)(5)看作二次等時(shí)中心系統(tǒng)的擾動(dòng).由定理2.1知，此二次等時(shí)中心系統(tǒng)有4種情況.Zhang等[13]于2000年考慮了第4種情況，即系統(tǒng)

(6)

他們借助符號(hào)計(jì)算給出了其等時(shí)中心條件并證明了有限重細(xì)中心的最大重?cái)?shù)是4.進(jìn)一步，他們證明了如下定理.

定理3.7[13]對(duì)給定的k=1,2,…,4，系統(tǒng)的k重細(xì)中心分岔出至多k個(gè)局部臨界周期，且存在產(chǎn)生j(j≤k)個(gè)局部臨界周期的擾動(dòng).

2009年，Chen和Zhang[14]繼續(xù)考慮了三次可逆系統(tǒng)的臨界周期分岔問題.通過對(duì)剩余的3種情況逐一分析，在有限重細(xì)中心局部臨界分岔方面得到了和定理3.7一樣的結(jié)果.而且，對(duì)第一種情況的系統(tǒng)

(7)

證明了如下等時(shí)中心局部臨界周期分岔的結(jié)果.

定理3.8[14]系統(tǒng)(7)的等時(shí)中心分岔出至多3個(gè)局部臨界周期，且存在產(chǎn)生j(j≤3)個(gè)局部臨界周期的擾動(dòng).

其他類型的三次系統(tǒng)的局部臨界周期分岔也有一些結(jié)果，比如：2013年Chen等[15]考慮三次Kolmogorov系統(tǒng)

(8)

的中心問題及局部臨界周期分岔，給出了中心、等時(shí)中心條件，證明了至多2個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(8)的有限重細(xì)中心或等時(shí)中心(a,b)分岔出來，且這2種情形下上界2都是可達(dá)的.陳挺等[16]和Huang等[17]分別研究了如下特殊三次系統(tǒng)

(9)

和一個(gè)Z2對(duì)稱三次系統(tǒng)

的局部臨界周期分岔，證明了至多3個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(9)或系統(tǒng)(10)的有限重細(xì)中心分岔出來，而且上界3是可達(dá)的.

2015年，F(xiàn)ercec等[18]把實(shí)系統(tǒng)的臨界周期分岔理論化為復(fù)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)理論，并利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)分別證明了至多3、2、3個(gè)局部臨界周期從下面3個(gè)特殊系統(tǒng)(復(fù)系統(tǒng)形式)分岔出來：

其中u∈C.

最近，Romanovski等[19]研究了廣義Riccati系統(tǒng)

(11)

的中心問題、等時(shí)中心問題、全局結(jié)構(gòu)及有限重細(xì)中心的局部臨界周期分岔.他們給出了6類非線性情形的中心條件I1,…,I6，并對(duì)每一類細(xì)中心給出了如下分岔定理.

定理3.9[19]當(dāng)中心條件I1(I2,…,I6)成立且系統(tǒng)(11)的細(xì)中心O的重?cái)?shù)為有限重時(shí)，則其重?cái)?shù)至多為3(0,0,3,2,2)，且存在擾動(dòng)使得3(0,0,3,2,2)個(gè)局部臨界周期從3(0,0,3,2,2)重細(xì)中心分岔出來.

4 Liénard系統(tǒng)

本章介紹Liénard系統(tǒng)的局部臨界周期分岔進(jìn)展.首先考慮無阻尼(保守)的Liénard系統(tǒng)

(12)

其中g(shù)(x)是多項(xiàng)式函數(shù)且使得O是細(xì)中心.顯然，系統(tǒng)(12)是一個(gè)哈密爾頓系統(tǒng)，其能量函數(shù)為

H(x,y):=y2/2+G(x),

定理4.1[4]如果

則至多n-2個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細(xì)中心O分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤n-2)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

定理4.2[4]1) 如果

則至多1個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細(xì)中心O分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)局部臨界周期分岔出來.

2) 如果

則至多2個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細(xì)中心O分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤2)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

3) 如果

則至多4個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(12)的細(xì)中心O分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤3)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

從定理4.2可見，當(dāng)G(x)是一個(gè)6次多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，局部臨界周期分岔出的臨界周期個(gè)數(shù)上界是4.但是，此定理只能給出3是可達(dá)，但4是否可達(dá)仍然是未解決的一個(gè)問題.

在保守系統(tǒng)方面，陳興武等[20]于2009年考慮了一類n-1次的哈密爾頓系統(tǒng)

(13)

其中哈密爾頓函數(shù)

他們證明了如下局部臨界周期分岔結(jié)果.

定理4.3[20]從系統(tǒng)(13)的細(xì)中心O至多分岔出m-1個(gè)局部臨界周期.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤m-1)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

對(duì)有阻尼的Liénard系統(tǒng)，Zou等[21]在2008年考慮了系統(tǒng)

(14)

給出了如下結(jié)果：

定理4.4[21]系統(tǒng)(14)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)細(xì)中心當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=0或a2-a1b2=a3-a1b3=0;系統(tǒng)(14)的平衡點(diǎn)O是一個(gè)等時(shí)中心當(dāng)且僅當(dāng)a2=a3=b2=9b3-a12=0.而且，當(dāng)O為有限重細(xì)中心時(shí)，其重?cái)?shù)至多為2.

基于定理4.4中的中心條件及重?cái)?shù)結(jié)果，可以得到如下局部臨界分岔定理.

定理4.5[21]1) 對(duì)每個(gè)k=1,2,至多k個(gè)局部臨界周期從系統(tǒng)(14)的k重細(xì)中心O分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤k)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

2) 從系統(tǒng)(14)的線性等時(shí)中心O至多分岔出2個(gè)局部臨界周期.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤2)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

3) 從系統(tǒng)(14)的非線性等時(shí)中心O至多分岔出1個(gè)局部臨界周期.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)局部臨界周期分岔出來.

2011年，對(duì)比系統(tǒng)(14)次數(shù)更高的Liénard系統(tǒng)

(15)

Huang等[22]給出了其中心條件、等時(shí)中心條件及細(xì)中心重?cái)?shù)，并分析了有限重細(xì)中心的局部臨界周期分岔.

定理4.6[22]系統(tǒng)(15)的有限重細(xì)中心O的重?cái)?shù)至多為2.對(duì)每個(gè)k=1,2,至多k個(gè)局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤k)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

對(duì)次數(shù)更高的Liénard系統(tǒng)

Li[23]于2012年給出了其中心條件、等時(shí)中心條件并證明了存在三重細(xì)中心.在此基礎(chǔ)上，給出了等時(shí)中心和某些二重細(xì)中心的局部臨界周期分岔，證明了可以從二重細(xì)中心或等時(shí)中心分岔出2個(gè)局部臨界周期.

5 非多項(xiàng)式系統(tǒng)

上面幾章的局部臨界周期分岔針對(duì)的對(duì)象都是多項(xiàng)式微分系統(tǒng).本章介紹2類非多項(xiàng)式的解析微分系統(tǒng)的局部臨界周期分岔.

廣義Lotka-Volterra系統(tǒng)

定理5.1[25]系統(tǒng)(17)的有限重細(xì)中心O的重?cái)?shù)至多為2.對(duì)每個(gè)k=1,2,至多k個(gè)局部臨界周期分岔出來.而且，存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤k)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

定理5.2[25]當(dāng)p=q=1/2時(shí)，系統(tǒng)(17)的細(xì)中心O是等時(shí)中心.進(jìn)一步，對(duì)μ=1的情形，至多2個(gè)局部臨界周期分岔從等時(shí)中心分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤2)個(gè)局部臨界周期分岔出來；對(duì)μ≠1的情形，至多1個(gè)局部臨界周期分岔從等時(shí)中心分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)局部臨界周期分岔出來.

2013年，Huang等[26]考慮了一類有理系統(tǒng)

(18)

的無窮遠(yuǎn)平衡點(diǎn).首先通過變換，他們把系統(tǒng)(18)的無窮遠(yuǎn)平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)換到一個(gè)7次多項(xiàng)式系統(tǒng)的原點(diǎn)，并最終給出了系統(tǒng)(18)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為有限重細(xì)中心的2類條件(C1)和(C2).當(dāng)條件(C1)成立時(shí)，證明了細(xì)中心重?cái)?shù)要么為0要么為2，且在局部臨界周期分岔中這個(gè)上界2是可達(dá)的；當(dāng)條件(C2)成立時(shí)，證明了細(xì)中心重?cái)?shù)至多為3.此時(shí)，至多k(k≤3)個(gè)局部臨界周期分岔從k重細(xì)中心分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有j(j≤k)個(gè)局部臨界周期分岔出來.

6 剛性等時(shí)中心擾動(dòng)出臨界周期

考慮系統(tǒng)

(19)

其中Ti(r)稱為第i階周期分岔函數(shù).如果

T1(r)≡…≡Tk-1(r)≡0,Tk(r)?0,

稱周期值函數(shù)P(r)是k階退化的.各階周期分岔函數(shù)的性態(tài)可以幫助獲得周期值函數(shù)P(r)的臨界點(diǎn)信息.具體地，如果P(r)是k階退化的，r*是Tk(r)的一個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)，則存在唯一一個(gè)滿足

r*()→r*,→0

的臨界點(diǎn)r*().由于這個(gè)臨界點(diǎn)r*()是在r*的小鄰域中，而不一定是在0附近，所以這時(shí)的臨界周期分岔發(fā)生在周期環(huán)域里面，而不一定是前幾節(jié)說的原點(diǎn)附近.

2008年Cima等[27]研究了線性剛性等時(shí)中心的擾動(dòng)系統(tǒng)

對(duì)滿足這個(gè)形式的可逆系統(tǒng)、哈密爾頓系統(tǒng)、Liénard系統(tǒng)等幾類特殊系統(tǒng)給出了臨界周期分岔的結(jié)果.緊接著，Gasull等[28]考慮了二次等時(shí)中心的擾動(dòng)系統(tǒng)

(20)

其中(D,F)=(0,1),(0,1/4),(-1/2,1/2)或(-1/2,2).他們證明了如下臨界周期分岔結(jié)果.

定理6.1[28]在1階退化情形下，至多1個(gè)臨界周期從系統(tǒng)(20)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)臨界周期分岔出來.

繼續(xù)針對(duì)二次等時(shí)中心的情形，Gasull和Zhao[29]考慮了二次剛性等時(shí)中心的擾動(dòng)系統(tǒng)

(21)

和

(22)

定理6.2[29]在1(2或3)階退化情形下，至多1個(gè)臨界周期從系統(tǒng)(21)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)臨界周期分岔出來.

定理6.3[29]在1階退化情形下，至多1個(gè)臨界周期從系統(tǒng)(22)的周期環(huán)域里分岔出來，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有1個(gè)臨界周期分岔出來.

2011年，Chen等[30]考慮了n次齊次剛性等時(shí)中心在m次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的系統(tǒng)

(23)

其中

為了研究臨界周期分岔，他們給出了系統(tǒng)(22)的第1和第2階周期分岔函數(shù)的積分表達(dá)式.特別地，當(dāng)(n,m)=(3,3)時(shí)，系統(tǒng)(22)經(jīng)過一個(gè)坐標(biāo)線性變換可化為

(24)

其中a=±1.

定理6.4[30]假設(shè)a=1(a=-1).

2) 系統(tǒng)(24)的周期環(huán)域內(nèi)至多2個(gè)臨界周期，且存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有2個(gè)臨界周期分岔出來.

2013年，Zhou等[31]在小參數(shù)的基礎(chǔ)上引入了另一個(gè)小參數(shù)λ，考慮了系統(tǒng)

和

給出了如下結(jié)果.

定理6.5[31]在1階退化情形下，系統(tǒng)(25)和系統(tǒng)(28)都存在參數(shù)擾動(dòng)使得恰有3個(gè)臨界周期分岔出來.

2014年，Han等[32]對(duì)系統(tǒng)

(27)

給出了如下定理.

定理6.6[32]1) 當(dāng)n=2時(shí)，系統(tǒng)(27)在1階或2階退化情形下至多分岔出1個(gè)臨界周期，在3階退化下為等時(shí)系統(tǒng).

2) 當(dāng)n=3時(shí)，系統(tǒng)(27)在1階退化情形下至多分岔出1個(gè)臨界周期，在2階退化下至多分岔出5個(gè)臨界周期，在3階退化下為等時(shí)系統(tǒng).

3) 當(dāng)n≥2時(shí)，系統(tǒng)(27)在1階退化情形下至多分岔出2[n/2]-1個(gè)臨界周期；當(dāng)n≥3時(shí)，系統(tǒng)(27)在2階退化情形下至多分岔出3n-2[(n+2)/2]個(gè)臨界周期.

對(duì)系統(tǒng)

(28)

Peng等[33]給出了臨界周期分岔結(jié)果.

定理6.7[33]1) 系統(tǒng)(28)在1階或2階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的.

2) 系統(tǒng)(28)在3階退化情形下至多分岔出6個(gè)臨界周期.

3) 當(dāng)a40()≡a22()≡a04()≡b31()≡b13()≡0時(shí)，系統(tǒng)(28)在任意階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的.

受文獻(xiàn)[31-32]的啟發(fā)，Han等[34]考慮了系統(tǒng)

(29)

和

其中

他們證明了如下臨界周期分岔定理.

定理6.8[34]1) 當(dāng)n=k=2時(shí)，存在參數(shù)擾動(dòng)使得系統(tǒng)(29)在1階退化情形下恰好有1個(gè)臨界周期.

2) 當(dāng)n=2,k=3時(shí)，存在參數(shù)擾動(dòng)使得系統(tǒng)(29)在1階退化情形下恰好有2個(gè)臨界周期.

定理6.9[34]1) 當(dāng)n=k=2或n=2,k=3時(shí)，存在參數(shù)擾動(dòng)使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有2個(gè)臨界周期.

2) 當(dāng)n=2,k=4時(shí)，存在參數(shù)擾動(dòng)使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有4個(gè)臨界周期.

3) 當(dāng)n=k=3或n=3,k=4時(shí)，存在參數(shù)擾動(dòng)使得系統(tǒng)(30)在1階退化情形下恰好有5個(gè)臨界周期.

2016年，Lu等[35]首先把系統(tǒng)(28)的臨界周期分岔結(jié)果從定理6.7的結(jié)論1中描述的“在1階或2階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的”推進(jìn)到“在任意階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的”.然后，他們考慮了系統(tǒng)

給出了如下結(jié)果：

定理6.10[35]1) 當(dāng)n=1時(shí)，系統(tǒng)(31)在1階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的.

2) 當(dāng)n≥2時(shí)，系統(tǒng)(31)在1階退化情形下至多分岔出3n-1個(gè)臨界周期.

緊接著，Peng等[36]于2017年對(duì)系統(tǒng)

(32)

給出了如下結(jié)果：

定理6.11[36]1) 當(dāng)n=3或4時(shí)，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出2個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界2是可達(dá)的.

2) 當(dāng)n=5時(shí)，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出4個(gè)臨界周期，而且這個(gè)上界4是可達(dá)的.

3) 當(dāng)n≥6時(shí)，系統(tǒng)(32)在1階退化情形下至多分岔出2[(n-1)/2]個(gè)臨界周期.

7 結(jié)束語

在前面幾章中，較為詳細(xì)地介紹了臨界周期分岔的大量研究結(jié)果.從技術(shù)上來講，臨界周期分岔主要需要對(duì)各階周期量進(jìn)行分析，包括計(jì)算它們的代數(shù)簇、判斷它們之間的無關(guān)性以及確定它們?cè)谑諗績(jī)缂?jí)數(shù)環(huán)中生成理想的有限生成元等.從研究難度來講，臨界周期分岔與熟知的Hopf分岔是相當(dāng)?shù)?而其中最為困難的從等時(shí)中心分岔出臨界周期更是相當(dāng)于從細(xì)中心分岔出極限環(huán)的研究難度.最根本的就是涉及到確定有限生成元的問題.這本身在代數(shù)上也是相當(dāng)困難的一件事，而且沒有一般高效的方法.這就是等時(shí)中心分岔出臨界周期結(jié)論偏少的根本原因.已有的等時(shí)中心分岔出臨界周期的結(jié)果主要集中在剛性系統(tǒng).從研究的系統(tǒng)來講，目前主要針對(duì)低次的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)和較為特殊的高次系統(tǒng).這主要是涉及到的大量符號(hào)計(jì)算所導(dǎo)致的.隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的發(fā)展，人們漸漸可以處理較多參數(shù)的符號(hào)計(jì)算，這使得越來越多的高次系統(tǒng)的臨界周期分岔被完整解決或部分解決.但是，總體上來講，臨界周期分岔的研究方法還沒有大的突破.比如，在判斷分岔出的臨界周期個(gè)數(shù)上界是否可達(dá)的時(shí)候往往需要判斷周期量的無關(guān)性，而無光性方法僅僅是判定上界可達(dá)與否的一個(gè)充分性的判定方法.方法的欠缺使得極大地依賴符號(hào)計(jì)算.所以，臨界周期分岔的發(fā)展急需新的方法.

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