潘 鵬雷曉燕張鵬飛吳神花

（1.廣州地鐵設(shè)計研究院有限公司，510010，廣州；2.華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，330013，南昌∥第一作者，助理工程師）

隨著我國高速鐵路的發(fā)展，橋上無砟軌道得到了廣泛應(yīng)用。國內(nèi)外有很多對橋上無砟軌道動力特性問題的研究：文獻［1］研究了鐵路橋梁動力學(xué)對線路上部建筑的影響；文獻［2-4］提出車輛-軌道單元，利用有限元法求解動力學(xué)方程；文獻［5-6］提出車橋振動理論，導(dǎo)出車橋時變系統(tǒng)的動力學(xué)方程；文獻［7-8］從車橋大系統(tǒng)角度研究了高速鐵路列車-軌道-橋梁動力相互作用問題。

本文為分析橋上無砟軌道的動力特性，提出了新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合動力模型，并利用MATLAB軟件編制計算程序，求解有限元數(shù)值方程。新型車輛單元在每個車輪下方附有一段鋼軌。該段鋼軌僅用于新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元的縱垂向耦合。無砟軌道-橋梁單元包含了鋼軌、軌道板、底座板、橋面板及其相互作用的4層梁模型。

1 有限元模型

運用有限元法和Lagrange方程，基于新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統(tǒng)動力分析模型。采用以下基本假設(shè)：

（1）僅考慮輪軌縱豎向動力效應(yīng)。

（2）軌道和上部車輛結(jié)構(gòu)沿線路方向左右對稱，可取其半結(jié)構(gòu)研究。

（3）上部結(jié)構(gòu)為附有二系彈簧系統(tǒng)的模型，車體和轉(zhuǎn)向架考慮伸縮振動、浮沉振動和點頭振動。

（4）輪軌間為彈性接觸。

（5）鋼軌被離散為二維梁單元，軌下墊層的豎向彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用ky1和cy1表示，縱向彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用kx1和cx1表示。

（6）預(yù)制軌道板被離散為連續(xù)黏彈性支承的二維梁單元，預(yù)制軌道板下瀝青水泥砂漿層的豎向支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用ky2和cy2表示，縱向支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用kx2和cx2表示。

（7）水硬性混凝土支承層被離散為連續(xù)黏彈性支承的二維梁單元，混凝土支承層下橋梁的豎向支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用ky3和cy3表示，縱向支承彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)分別用kx3和cx3表示。

（8）橋梁被離散為二維梁單元。

1.1 無砟軌道-橋梁單元模型

無砟軌道-橋梁單元模型如圖1所示。圖1中：u1、u5為鋼軌的縱向位移，v1、v5為鋼軌的豎向位移，θ1、θ5為鋼軌轉(zhuǎn)角，u2、u6為軌道板的縱向位移，v2、v6為軌道板的豎向位移，θ2、θ6為軌道板轉(zhuǎn)角，u3、u7為底座板的縱向位移，v3、v7為底座板的豎向位移，θ3、θ7為底座板轉(zhuǎn)角，u4、u8為橋梁的縱向位移，v4、v8為橋梁的豎向位移，θ4、θ8為橋梁轉(zhuǎn)角。

圖1 無砟軌道-橋梁單元模型

無砟軌道-橋梁單元共有24個自由度，其單元結(jié)點位移定義為：

al=｛u1v1θ1u2v2θ2u3v3θ3u4v4θ4

u5v5θ5u6v6θ6u7v7θ7u8v8θ8｝T（1）

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的剛度矩陣kle表示為：

kle=kre+kse+kfe+kbe+k1ce+k2ce+k3ce（2）

式中：

kre——鋼軌彎曲勢能產(chǎn)生的剛度矩陣；

kse——預(yù)制軌道板彎曲勢能產(chǎn)生的剛度矩陣；

kfe——混凝土支撐層彎曲勢能產(chǎn)生的剛度矩陣；

kbe——橋梁勢能產(chǎn)生的剛度矩陣；

k1ce——離散支撐彈簧的剛度矩陣；

k2ce——第一層連續(xù)彈性支撐彈簧的剛度矩陣；

k3ce——第二層連續(xù)彈性支撐彈簧的剛度矩陣。

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的質(zhì)量矩陣mle表示為：

mle=mre+mse+mfe+mbe（3）

式中：

mre——鋼軌彎曲動能產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣；

mse——預(yù)制軌道板彎曲動能產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣；

mfe——混凝土支撐層彎曲動能產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣；

mbe——橋梁彎曲動能產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣。

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的阻尼矩陣為：

cle=cbe+c1ce+c2ce+c3ce（4）

式中：

cbe——比例阻尼；

c1ce——離散支撐彈簧的阻尼矩陣；

c2ce——第一層連續(xù)支撐彈簧的阻尼矩陣；

c3ce——第二層連續(xù)支撐彈簧的阻尼矩陣。

1.2 新型車輛單元模型

新型車輛單元模型見圖2。圖2中：Mc和Jc分別為1/2車體的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量；Mt和Jt分別為1/2轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量；Mwi（i=1，2，3，4）為第i個車輪的質(zhì)量；kc為輪軌間赫茲接觸剛度；ks1和ks2分別為1/2車輛的一、二系懸掛剛度；cs1和cs2分別為1/2車輛的一、二系懸掛阻尼；uc、vc和 θc分別為車體縱向伸縮位移、沉浮振動的豎向位移和點頭振動的角位移；utj、vtj和θtj（j=1，2）分別為轉(zhuǎn)向架j的縱向伸縮位移、沉浮振動的豎向位移和點頭振動的角位移；uwi和vwi分別為第i個車輪的縱向伸縮位移和豎向位移；vci分別為在第i個車輪的輪軌接觸處鋼軌豎向位移；urn、vrn和θrn（n=1，2，…，8）分別為鋼軌第n個結(jié)點的縱向伸縮位移、豎向位移和角位移。

圖2 新型車輛單元模型

新型車輛單元共有41個自由度。定義新型車輛單元的節(jié)點位移向量為：

新型車輛單元的剛度矩陣為：

式中：

kve——車輛一、二系彈簧產(chǎn)生的剛度矩陣；

kc——位移差值函數(shù)產(chǎn)生的剛度矩陣。

新型車輛單元的質(zhì)量矩陣為：

新型車輛單元的阻尼矩陣為：

式中：

cve——車輛一、二系彈簧產(chǎn)生的阻尼矩陣。

2 車輛-無砟軌道-橋梁耦合系統(tǒng)有限元方程

運用Lagrange方程，建立高速列車通過無砟軌道時的動力特性有限元方程，即：

式中：

L——Lagrange函數(shù)，L=T-Π，其中T為動能，Π為勢能；

R——耗散能。

車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統(tǒng)有限元方程包含兩個單元，即新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元。新型車輛單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣分別見式（6）、（8）和（10）；無砟軌道-橋梁單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣分別見式（2）、（3）和（4）。利用標準有限元“對號入座”的方法可形成車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統(tǒng)總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣和總阻尼矩陣。從而得到該系統(tǒng)動力有限元方程為：

車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統(tǒng)動力有限元方程數(shù)值解，可通過直接積分法（如Newmark積分法）實現(xiàn)。

針對上述列車-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統(tǒng)動力分析模型，運用MATLAB編制計算程序并進行檢驗計算。

3 橋上無砟軌道豎向動力特性分析

橋上無砟軌道結(jié)構(gòu)動力特性按軌道平順和軌道不平順（德國低干擾譜）兩種工況分別分析。

因本文所用模型考慮了伸縮振動、浮沉振動和點頭振動，同時縱向振動與豎向振動兩者之間互不影響，所以此模型可分別分析軌道結(jié)構(gòu)縱向及豎向的受力特性。分析豎向動力特性時，縱向參數(shù)取值和豎向保持一致。

計算時，車輛選用CRH3型和諧號動車組，軌道結(jié)構(gòu)選用橋上CRTSⅡ型軌道結(jié)構(gòu)。具體相關(guān)參數(shù)見文獻［4］。計算線路總長度為162.5 m，5跨橋梁，共劃分250個有限元單元，每跨端部添加零位移豎向約束；取一節(jié)車輛，車速為250 km/h；計算的時間步長為10-3s。得到軌道不平順譜如圖3所示，輪軌相互作用力如圖4所示。

圖3 德國低干擾譜高低不平順時程曲線

圖4 輪軌相互作用力

3.1 梁端軌道結(jié)構(gòu)動力特性

列車通過橋梁，其梁端位置處的鋼軌、軌道板、底座板的豎向位移、速度、加速度如圖5所示。在軌道平順和不平順兩種工況下，梁端處軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值見表1。

圖5 梁端處不同狀態(tài)下軌道結(jié)構(gòu)動力特性時程曲線

表1 梁端處軌道結(jié)構(gòu)豎向動力響應(yīng)幅值

從圖4、圖5和表1可知：①每種工況下，梁端處鋼軌、軌道板以及底座板的豎向位移、豎向加速度都是逐漸遞減的；②軌道不平順主要影響軌道結(jié)構(gòu)的豎向位移和豎向加速度，其中對豎向加速度的影響尤為顯著，比如鋼軌的豎向加速度增加了6.5倍；③軌道不平順對鋼軌速度影響相對較大，而對軌道板和底座板基本沒有影響；④由輪軌作用力圖可知，軌道不平順對輪軌作用力影響也比較大，幅值增加了50%左右。

3.2 跨中軌道結(jié)構(gòu)動力特性

列車通過橋梁時，跨中處的鋼軌、軌道板、底座板及橋面板的豎向位移、速度和加速度見圖6。

在軌道平順和不平順兩種工況下，跨中處軌道結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值見表2。

表2 跨中處軌道結(jié)構(gòu)豎向動力響應(yīng)幅值

圖6 跨中處不同狀態(tài)下軌道結(jié)構(gòu)動力特性時程曲線

從圖6和表2可以看出，①每種工況下，跨中位置處軌道結(jié)構(gòu)以及橋梁的豎向位移、豎向加速度都是逐漸遞減的；②軌道不平順對豎向加速度影響很大，比如鋼軌從10 m/s2增加到30 m/s2，軌道板增加了11倍；③橋梁跨中的動力響應(yīng)較小，不平順下加速度的幅值為0.4 m/s2；④與表1相比較，不平順狀態(tài)下鋼軌、軌道板和底座板在梁端處的加速度更大，梁端鋼軌、軌道板、底座板的豎向加速度分別是跨中的2.50倍、1.55倍、1.30倍左右。

4 結(jié)論

（1）本文運用新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立列車-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合動力分析模型時，只需將列車-無砟軌道-橋梁耦合系統(tǒng)離散成車輛單元和無砟軌道-橋梁單元。計算時只需要形成1次無砟軌道-橋梁系統(tǒng)的總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣和總阻尼矩陣。在以后每一步計算中，僅組裝車輛單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣即可。如此，大大提高了程序的運行速率。

（2）平順狀態(tài)下，運用本文建立的模型分析豎向動力特性，計算結(jié)果表明該模型及程序能夠反映軌道結(jié)構(gòu)的豎向振動響應(yīng)，說明該方法的可行性。同時，該模型還考慮了伸縮振動，同時縱向、豎向兩者之間互不影響，因此該模型可以分別分析軌道結(jié)構(gòu)縱向、豎向的受力特性。

（3）軌道不平順對軌道結(jié)構(gòu)的加速度和輪軌作用力的影響較大，輪軌作用力增大了50%左右，梁端處鋼軌的豎向加速度增加了6.5倍左右，跨中鋼軌的豎向加速度從10 m/s2增加到30 m/s2。

（4）每種工況下，梁端和跨中位置處軌道結(jié)構(gòu)的豎向位移、豎向加速度分別逐漸減小，梁端處軌道結(jié)構(gòu)的振動及其位移變化都比跨中處大。

［1］ ZACHER M.鐵路橋梁動力學(xué)及其對線路上部建筑的影響［J］.鐵路工程師，2001，7（2）：29.

［2］ 雷曉燕.有限元法［M］.北京：中國鐵道出版社，2000：167.

［3］ 雷曉燕，張斌，劉慶杰.軌道過渡段動力特性的有限元分析［J］.中國鐵道科學(xué)，2009（5）：15.

［4］ 陳松.高架無砟軌道交通引起的環(huán)境振動研究［D］.南昌：華東交通大學(xué)，2012.

［5］ 曾慶元，楊平.形成矩陣的“對號入座”法則與桁梁空間分析的桁段有限元法［J］.鐵道學(xué)報，1986（2）：48.

［6］ 曾慶元，周智輝，赫丹，等.列車-軌道（橋梁）系統(tǒng)橫向振動穩(wěn)定性分析［J］.鐵道學(xué)報，2012（5）：86.

［7］ 翟婉明，夏禾.列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：173.

［8］ 翟婉明，蔡成標，王開云.高速列車-軌道-橋梁動態(tài)相互作用原理及模型［J］.土木工程學(xué)報，2005（11）：132.