許偉奇，張 斌，李坤奇

(蘭州交通大學，蘭州 730070)

0 引 言

三相永磁同步電機(以下簡稱PMSM)具有結構簡單，體積小，轉動慣量小和功率因數大等突出優(yōu)點，因此在雷達、航天、航空、數控機床、電動舵機、機器人等伺服領域得到了廣泛應用[1-2]。高性能PMSM系統(tǒng)控制包括：矢量控制[3]、直接轉矩控制[4]和模型預測控制[5]。近年來，學者提出了一種可優(yōu)化的控制策略—有限控制集模型預測控制(以下簡稱FCS-MPC)[5]。常規(guī)FCS-MPC 策略需要預測所有基本電壓矢量下電流在各時刻的采樣值，從而增加了系統(tǒng)控制過程的計算量[6]。為了克服上述常規(guī)FCS-MPC缺點，張永昌等[7]提出了基于快速矢量選擇的FCS-MPC策略，該方法能夠相應地減小系統(tǒng)控制過程中的計算量，但是反電動勢項的估計將會增加系統(tǒng)的復雜性和計算量，同時溫度、飽和等因素使PMSM系統(tǒng)的不確定參數發(fā)生變化，從而導致系統(tǒng)的控制性能降低。針對上述問題，本文基于反雙曲正弦函數的擴張狀態(tài)觀測器(以下簡稱ESO)對反電動勢項和系統(tǒng)不確定項進行實時性觀測，并構造出新的電流預測模型，采用基于ESO的FCS-MPC策略可以有效地抑制轉矩和電流畸變、減輕系統(tǒng)計算量和自抗擾觀測器的負擔，從而提高了系統(tǒng)的控制精度。

目前PMSM的FCS-MPC系統(tǒng)中位置調節(jié)器一般采取PID算法，它具有結構簡單、易于實現等優(yōu)點，但是不同位置和不確定參數項將會影響伺服系統(tǒng)控制性能，從而降低了伺服系統(tǒng)的控制精度。近年來，現代控制策略(模型參考自適應[8]、滑模變結構[9]、Backstepping[10]和人工智能[11]等)被應用于PMSM伺服系統(tǒng)中，前兩種方法需要已知的系統(tǒng)模型和干擾模型，所設計出的控制器比較復雜；滑模控制不依賴PMSM系統(tǒng)的數學模型，但其控制系統(tǒng)中存在的嚴重抖振問題還需解決；人工智能控制不需要精確的數學模型，并且具有較強的魯棒性，但是該控制設計算法復雜性、計算量大以及專家常識的局限性，從而導致系統(tǒng)控制難度加大。文獻[12]提出了基于反雙曲正弦函數的跟蹤微分器，可以快速、準確地跟蹤微分信號。文獻[13]提出了基于反雙曲正弦函數的擴張狀態(tài)觀測器(ESO)，該觀測器具有響應速度快、辨識精確高等優(yōu)點，并且利用ESO的初始參數可有效地抑制微分幅值。本文將位置環(huán)和速度環(huán)作為整體，設計出基于反雙曲正弦函數的自抗擾位置控制器，該控制方法不需要準確的數學模型，負載擾動由ADRC轉子位置觀測器進行前饋補償，從而使系統(tǒng)具有響應快、無超調、抗干擾能力強和控制精度高的特點。

針對三相PMSM伺服系統(tǒng)，為了提高系統(tǒng)控制精度、增強魯棒性和抗干擾能力，本文提出了基于反雙曲正弦函數的PMSM伺服系統(tǒng)自抗擾FCS-MPC策略。

1 三相PMSM的數學模型

在兩相同步旋轉坐標系下，定子電流和機械角速度的PMSM狀態(tài)方程：

式中:id，iq和ud，uq分別為定子電流和電壓d，q軸分量；Rs為定子電阻；Ls為定子電感；ed，eq為反電動勢；ωr為轉子角速度；θe為轉子位置；p為極對數；ψf為轉子永久磁體磁鏈；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；B為阻力摩擦系數。

2 基于反雙曲正弦函數的PMSM伺服系統(tǒng)自抗擾FCS-MPC

針對三相PMSM伺服系統(tǒng)，采用基于反雙曲正弦函數的自抗擾位置控制器，本文給出了如圖1所示的基于反雙曲正弦函數的自抗擾FCS-MPC PMSM伺服系統(tǒng)框圖。

圖1基于反雙曲正弦函數的自抗擾FCS-MPC PMSM伺服系統(tǒng)框圖

2.1 基于反雙曲正弦函數的自抗擾位置控制器

2.1.1 基于反雙曲正弦函數ADRC的數學模型

反雙曲正弦函數arsh(x)為光滑連續(xù)的奇函數，自抗擾控制器(以下簡稱ADRC)包括：TD (跟蹤微分器)、ESO(擴張狀態(tài)觀器)和NLSEF (非線性反饋控制律)3部分[12-14]。

假設二階系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程：

式中：T是采樣周期；c是控制增益；u(k)是控制系統(tǒng)輸入量；f0(x1,x2)是PMSM系統(tǒng)確定部分項；f1(x1,x2,k)是PMSM系統(tǒng)不確定項部分。

假設w(k)=f1(x1,x2)+f2(x1,x2,k),w(k)為系統(tǒng)的總擾動,二階被控對象的ADRC離散方程如下：

微分-跟蹤器(TD):

式中：r(k)為輸入信號；z11(k),z12(k)分別為二階系統(tǒng)的狀態(tài)變量；參數R>0,a1>0,a2>0,b1>0,b2>0。當R足夠大時，式(3)的解z11(k)在任何時間內都能夠逼近于輸入信號r(k)。

構造式(2)的三階擴張狀態(tài)觀測器(ESO) ：

式中：a3>0,a4>0,a5>0,b3>0,b4>0，通常選取b3和b4接近于1。適當的選取a3，a4，a5，且滿足a3a4b3-a5b4>0，則式(4)可精確估計出式(3)的狀態(tài)變量z11(k)，z12(k)與w(k)，即z21(k)→z11(k)，z22(k)→z12(k),z23(k)→w(k)。

非線性反饋控制律(NLSEF)：

式中：e0(k),e2(k)和e3(k)分別為積分、誤差和微分誤差值；選取b5，b6和b7接近于1；a6，a7和a8分別為積分增益、誤差增益和微分增益。

2.1.2 基于ADRC的PMSM位置控制器

在同步旋轉坐標下，根據式(1)可得到PMSM位置環(huán)的二階動態(tài)數學模型如下：

令x1=θe,x2=ωr,f0(x1,x2)=-Bωr/J,b=1.5pψf/J,f1(x1,x2,t)=-TL/J,u=iq, 可得位置環(huán)的二階離散狀態(tài)方程如下：

假設系統(tǒng)存在位置傳感器，ωr是已知信號。至此，位置控制器的二階離散動態(tài)方程與式(2)相似，故可根據式(3)～式(5)和式(7)來設計出基于ADRC的位置環(huán)控制器，其結構如圖2所示。

圖2ADRC位置控制器結構框圖

2.2 基于ESO的電流預測模型

常規(guī)FCS-MPC策略，因其系統(tǒng)復雜的運算及龐大的計算量，使得系統(tǒng)控制難度增加。文獻[7]提出了基于快速矢量選擇的FCS-MPC策略，可有效地減少了系統(tǒng)的計算量。但是基于平均值估計的反電動勢項估計會增加系統(tǒng)的復雜性和計算量，同時降低PMSM伺服系統(tǒng)的控制精度。針對上述問題，本文提出了基于ESO的FCS-MPC策略。

根據式(1)PMSM定子電流狀態(tài)方程和擴張狀態(tài)觀測器(ESO)的原理[13]，構造出一階電流狀態(tài)空間方程：

式中：ν1=[idiq]，us=[uduq]，h為反電動勢項和系統(tǒng)不確定項；將h擴張為新的狀態(tài)變量ν2，存在ν·2=q(t) 且q(t)有界。

式(9)的擴張方程：

式(10)是可觀的，可構造出式(10)的二階ESO：

式中：β1>0,β2>0,β3>0, 且滿足β1β2>β3；z1為定子電流估計值，z2為h的估計值。

由式(1)和式(11)，本文采用二階歐拉離散法構造出新的電流空間狀態(tài)矢量預測方程：

/Ls

(12)

2.3 PMSM伺服系統(tǒng)FCS-MPC控制

對式(12)進一步化簡：

本文構造出如下目標函數：

∈{U0,…,U7}

(15)

式中：uk為逆變器開關狀態(tài)所對應的基本矢量電壓。由式(15)可看出，本文改進型的FCS-MPC策略可通過計算d-q坐標系的理想參考電壓矢量值與每個基本矢量電壓最小選擇最佳控制量，從而避免了每個采樣時間內預測所有基本電壓矢量所對應的定子電流值。

2.4 控制延遲補償

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建圖1的仿真模型，并對其進行仿真研究。PMSM伺服系統(tǒng)仿真參數如表1所示。為驗證基于反雙曲正弦函數的PMSM伺服系統(tǒng)自抗擾FCS-MPC方法的正確性和有效性，采用兩種研究方案，第1種方案：基于反雙曲正弦函數的自抗擾FCS-MPC方法就負載變化時的系統(tǒng)性能進行分析；第2種方案：采用同樣的自抗擾位置控制器參數，分別構建文獻[7]的FCS-MPC系統(tǒng)(系統(tǒng)Ⅰ)和改進型的FCS-MPC系統(tǒng)(系統(tǒng)Ⅱ)，并對其電機參數變化時的系統(tǒng)魯棒性比較分析。

表1PMSM伺服系統(tǒng)參數

參數值參數值定子電阻Rs/Ω2．875轉動慣量J/(kg·m2)0．0008繞組電感Ls/H0．0085額定轉矩TN/(N·m)3額定功率PN/kW1．1額定轉速ωr/(r·min-1)1500極對數p4

系統(tǒng)中電流環(huán)的周期為200μs，位置環(huán)的周期為2ms。上述兩種仿真研究方案中涉及的參數取值如下：ADRC的參數：①式(3)的參數：R=1 000, a1=35, a2=35, b1=1.5, b2=1.5；②式(4)的參數：a3=300, a4=20 000, a5=400 000, b3=1.2, b4=1.5；③式(5)的參數:a6=300, a7=200, a8=10, b5=1.5, b6=1.5, b7=1.5。式(11)的參數：β1=300，β2=250，β3=1.5。

3.1 負載變化時系統(tǒng)性能

給定位置為3rad時，系統(tǒng)空載起動，在t=2s時突加額定負載(3N·m)，圖3為系統(tǒng)位置響應曲線。由圖3可知，系統(tǒng)能夠準確快速跟蹤至位置給定值，穩(wěn)態(tài)精度高，無超調，同時具有較強的抗負載能力。

圖3系統(tǒng)位置響應曲線

給定位置和負載都按照3sin(0.5t) 變化時，圖4分別為系統(tǒng)位置、系統(tǒng)位置誤差、負載和負載估計誤差的響應曲線。

(a) 系統(tǒng)位置

(b) 系統(tǒng)位置誤差

(c) 負載

(d) 負載估計誤差

圖4系統(tǒng)的響應曲線

圖4(a)和圖4(b)可看出，系統(tǒng)能夠快速、準確地跟蹤位置信號，且具有更小的位置跟蹤誤差；由圖4(c)和圖4(d)可知，ADRC中ESO觀測出的負載與實際負載曲線基本重合，即ESO能準確地實時觀測出負載擾動，并具有較高的負載辨識精度和較低的負載估計誤差。

3.2 電機參數變化時的系統(tǒng)魯棒性

文獻[16]指出，預測電流型FCS-MPC會嚴重受到PMSM系統(tǒng)的定子電感和永磁體磁鏈等變化的影響。為了驗證控制系統(tǒng)的魯棒性，伺服系統(tǒng)位置θe設置為3sin(0.5t)。PMSM帶載3sin(0.5t)起動，將定子電感從最初0.0085H降為0.0045H，永磁體磁鏈由最初的0.175Ω降至0.165Ω，轉動慣量由最初0.001kg·m2降到0.000 8kg·m2；圖5和圖6為系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ的系統(tǒng)位置、系統(tǒng)位置誤差、擾動、d軸反電動勢項和電磁轉矩響應。

(a) 系統(tǒng)位置

(b) 系統(tǒng)位置誤差

(c) 擾動

(d) d軸反電動勢項

(e) 電磁轉矩

圖5系統(tǒng)Ⅰ的響應曲線

(a) 系統(tǒng)位置

(b) 系統(tǒng)位置誤差

(c) 擾動

(d) d軸反電動勢項

(e) 電磁轉矩

圖6系統(tǒng)Ⅱ的響應曲線

圖5、圖6為系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ的響應曲線。電機參數變化后，圖5(a)、圖6(a)和5(b)、圖6(b)表明，系統(tǒng)位置輸出未發(fā)生較大影響，依然能夠快速準確跟蹤至給定信號，并且系統(tǒng)Ⅱ具有更小的位置跟蹤誤差；由圖5(c)、圖6(c)可看出，系統(tǒng)Ⅱ的觀測擾動與給定負載響應曲線幾乎重合，而系統(tǒng)Ⅰ觀測擾動和給定負載之間存在較大的估計誤差；由圖5(d)、圖6(d)可看出，與系統(tǒng)Ⅰ相比，系統(tǒng)Ⅱ具有更平穩(wěn)的d軸反電動勢項，且具有更小的d軸反電動勢項脈動；從圖5(e)、圖6(e)看出，與系統(tǒng)Ⅰ相比，系統(tǒng)Ⅱ具有更小的電磁轉矩脈動。

綜上所述，本文設計的自抗擾位置控制器能夠快速恢復至位置給定信號，并且具有較強的抗負載能力、無超調?；贓SO的FCS-MPC策略，無論在參數變化還是參數未變化時，系統(tǒng)具有更小的轉矩脈動、可有效地減輕系統(tǒng)計算量和自抗擾觀測負擔，同時實現了高精度的位置跟蹤控制。

4 結 語

本文針對三相PMSM伺服系統(tǒng)，提出了基于反雙曲正弦函數的自抗擾FCS-MPC策略。所設計出基于反雙曲正弦函數的自抗擾位置控制器能夠提高系統(tǒng)的控制精度；采用ESO的反電動勢和不確定項觀測器能夠快速準確地估計系統(tǒng)反電動勢和不確定項；改進型的FCS-MPC策略能有效減小轉矩脈動和減輕系統(tǒng)計算量。仿真結果表明，該控制策略使PMSM伺服系統(tǒng)具有較強的位置跟蹤控制精度、良好的動態(tài)性能、較強的抗負載能力和魯棒性。

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