李 暉，劉偲艷，田擁軍，蘭永紅

(1.湖南理工職業(yè)技術學院，湘潭 411100;2.湘潭大學，湘潭 411105)

0 引 言

永磁同步電機因其高功率密度、低轉動慣量和高效率等特點,在現(xiàn)代工業(yè)領域的伺服系統(tǒng)技術中具有廣泛應用。但是，轉矩脈動的存在制約發(fā)展，因此對轉矩脈動抑制的研究具有實際意義[1]。近年來，國內外眾多學者在永磁同步電機轉矩脈動方向開展了很多研究，總體可分為兩類[1]：第一類主要考慮從電機設計方向進行優(yōu)化[2]，使電機參數(shù)更理想，從而提高轉矩的平滑性，降低轉矩脈動。但該類方法對轉矩脈動抑制效果有限，電機造價卻很大程度增加。第二類主要考慮從電機控制方向進行優(yōu)化，使控制算法更優(yōu)，從而抑制脈動分量。文獻[3]采取諧波電流注入法，能夠實現(xiàn)指令電流的完全跟蹤，較好地抑制轉矩脈動。文獻[4]利用自適應控制技術，在線調整系統(tǒng)參數(shù)。文獻[5]提出一種在線估計技術的閉環(huán)控制算法，較大程度地抑制轉矩脈動。但這些方法都依賴于永磁同步電機精確的數(shù)學模型。文獻[6]提出一種ILC策略，通過重復利用輸入輸出信息構造產(chǎn)生目標輸出的控制信息，從而改善跟蹤性能，且不依賴于精確的數(shù)學模型。

高階ILC算法[7]同時利用當前迭代過程輸入輸出信息和歷史信息來構造學習算法，從而得到新的控制輸入。與普通學習算法相比，高階迭代學習算法具有更高的系統(tǒng)收斂速度。

本文在文獻[6]的基礎上，采用高階形式，利用歷史迭代過程的控制信息，可提高系統(tǒng)收斂性能。

上述控制策略均需要獲得精確的轉子速度和位置信息，傳統(tǒng)傳感器測量簡單、有效，但增加電機造價、復雜程度，同時易受環(huán)境影響，降低可靠度。文獻[8-9]提出滑模觀測器，能有效估算轉子信息，但同時引入抖振。本文設計二階滑模觀測器估算轉子位置和轉速，可克服傳統(tǒng)滑模觀測器“抖振”的問題。最后，利用MATLAB/Simulink仿真說明了此方法的有效性。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

永磁同步電機(面貼式)在同步旋轉(d-q)坐標系d，q軸電壓方程：

diddt=-RLid+ωeiq+1Lud

(1)

diqdt=-RLiq-ωeid-ψfLωe+1Luq

(2)

式中：id,iq為定子電流d，q分量；ud,uq為定子電壓d，q分量；L,R為定子電感、電阻；ωe為轉子電角速度；ψf為永磁體磁鏈。

永磁同步電機轉矩方程：

Tm=3p2ψfiq=ktiq

(3)

式中：kt=3p2ψf為轉矩系數(shù)，p為電機極對數(shù)。

永磁同步電機動力學方程：

dωdt=3pψf2Jiq-BJω-TLJ

(4)

式中：J為轉動慣量；B為摩擦系數(shù)；TL為電機負載轉矩；ω為轉子機械角速度。

2 迭代學習控制器

為了定性分析二階迭代學習控制策略，考慮如下動態(tài)系統(tǒng)：

x·k+1(t)=Axk+1(t)+Buk+1+f(x)

yk+1(t)=Cxk+1(t)+dk

xk+1(0)=0,t∈[0,T0]

(5)

式中：[0,T0]為運行持續(xù)時間；A，B,C分別為相應維數(shù)的矩陣，且滿足CB≠0；f(x)為非線性量；dk為轉矩擾動。由文獻[10]可知，所有含微分增益Γd的學習控制策略，其收斂條件都一樣，可表示：

ρ=1-ΓdCB<1

(6)

定理1:向量函數(shù)f:f(t)=[f1(t)，…，fm(t)]T，t∈[0,T0],那么向量函數(shù)f的Lebesgue-p范數(shù)[11]：

(7)

由文獻[12]可以知道,limp→∞‖f(·)‖=‖f(·)‖∞=‖f(·)‖sup。

2.1 二階迭代學習控制器

假設yd(t),t∈[0,T0]為目標輸出，構造二階PD型ILC (L(c1,c2))如下：

u2(t)=u1(t)+Γp1e1(t)+Γd1e·1(t)

uk+1(t)=c1[uk(t)+Γp1ek(t)+Γd1e·k(t)]+

c2[uk-1(t)+Γp2ek-1(t)+Γd2e·k-1(t)]

(8)

ρ1=‖1-Γd1CB‖<1

ρ2=‖1-Γd2CB‖<1

(9)

第k+1次迭代系統(tǒng)跟蹤誤差ek+1(t)可表示：

‖ek+1(·)‖p=c1ρ1‖ek(·)‖p+c2ρ2‖ek-1(·)‖p

(10)

所以，limk→∞‖ek+1(·)‖p=0，二階迭代學習控制算法收斂。證明系統(tǒng)在有限時間內能夠收斂，下面將對收斂速度進行分析。

2.2 一階迭代學習控制器

假設式(8)中c1=1，控制律退化為一階PD型ILC(L(1))，表達式如下：

uk+1(t)=uk(t)+Γp1ek(t)+Γd1e·k(t)

t∈[0,T0]，k=1,2,3,…

(11)

式中：Γp1，Γd1，uk(t),ek(t)與式(8)一樣，結合電機動力學式(4)和PD-ILC的收斂條件式(6)，可得一階迭代學習控制算法的收斂條件：

ρ1=1-Γd1CB<1

(12)

第k+1次迭代系統(tǒng)跟蹤誤差ek+1(t)可表示：

‖ek+1(·)‖p=ρ1‖ek(·)‖p

(13)

所以，可得limk→∞‖ek+1(·)‖p=0，一階迭代學習控制算法收斂。

3 收斂速度對比

令limk→∞‖ek+1(·)‖p‖ek(·)‖=ρ，由文獻[12]可得ρ值大小與系統(tǒng)跟蹤誤差收斂速度成反比，這樣，可通過比較ρ值的大小來判斷L(1),L(c1,c2)收斂速度的快慢。令L(1),L(c1,c2)的ρ值分別為ρ[L(1)]，ρ[L(c1,c2)]。式(10)兩邊同時除以‖ek(·)‖p，并取極限可得：

ρ2-c1ρ1ρ-c2ρ2≤0

(14)

那么，式(14)解的范圍：

c1ρ1-(c1ρ1)2+4c2ρ22<ρ

(15)

由于c1+c2=1，又ρ>0。則上述不等式等價于0<ρ

F(c1)=c1ρ1+(c1ρ1)2+4c2ρ22,0

(16)

對F(c1)進行微分可得：

(17)

ρ1(c1ρ1)2+4ρ2(1-c1)=

即F′(c1)>0，可得：F(c1)min=ρ2,F(c1)max=ρ1。

所以ρ[L(c1,c2)]=F(c1)<ρ1=ρ[L(1)]，證明L(c1,c2)誤差收斂速度比L(1)快。

F(c1)min=F(1)=ρ1

F(c1)max=F(0)=ρ2

(19)

所以，ρ[L(c1,c2)]=F(c1)>ρ1=ρ[L(1)]，證明L(c1,c2)誤差收斂速度比L(1)慢。

從上述分析可得，比例增益Γp1，Γp2和微分增益Γd1，Γd2的值決定不同的ρ1,ρ2的值，決定L(c1,c2)收斂速度與L(1)收斂速度的關系。

4 二階滑模觀測器設計

在靜止α-β系，永磁同步電機模型[13]：

i^α=-Riα-eα+uαL

i^β=-Riβ-eβ+uβL

(20)

式中：iα,iβ為定子電流;uα,uβ為定子電壓;eα,eβ為反電動勢。

eα=-ψfωesinθe

eβ=-ψfωecosθe

(21)

式(21)為α-β坐標系PMSM數(shù)學模型。利用該數(shù)學模型設計二階滑模觀測器如下：

i^·s=-Ri^s+us+zL

(22)

結構框圖如圖1所示。

圖1二階滑模觀測器結構框圖

式(22)中：i^s=[i^α,i^β]是is=[iα,iβ]的估算值；us=[uα,uβ]；z=[zα,zβ]。由式(20)、式(22)相減可得到電流估算誤差表達式：

s·s=i^·s-i·s=-RssL+esL+zL

(23)

式中：ss=[sα,sβ]為電流估算誤差；sα=i^α-iα，sβ=i^β-iβ；es=[eα,eβ]。

設計滑模面：

式中：k1,k2分別為滑模面比例、積分增益。

定理2：若根據(jù)式(23)系統(tǒng)誤差狀態(tài)方程設計滑模面為式(24)，式(25)、式(26)、式(27)是所設計的滑?？刂坡?，那么，定子電流估算誤差i^s=[i^α,i^β]為零，二階滑模觀測能有效地估算轉子位置和轉速，系統(tǒng)收斂。

z=zeq+zsw

(25)

式中：zeq,zsw分別為等效控制算法和切換控制算法。等效控制應滿足條件S·=0,結合式(24)可得：

zeq=-k2k1Lss+Rss-es

(26)

zsw=Lksgn(S)

(27)

證明：系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)定義：

V=12S2

(28)

對式(28)求導可得：V·=S·S

SS·=S[k1ss+k2ss]=

Sk1L[-Rss+es-k2k1Lss+Rss-esLksgn(S)]+k2ss=

S[k1k2sgn(S)]=k1kS

(29)

當k1k<0時，則V·<0。二階滑?？刂茲M足S=S·=0，系統(tǒng)收斂。反電動勢可表示：e^α=-zα,e^β=-zβ。

故永磁同步電機轉子位置觀測值：

θ^e=-arctaneαeβ=-arctanzαzβ

(30)

可推算出轉子轉速觀測值：

(31)

5 系統(tǒng)仿真

采用二階PD型迭代學習控制產(chǎn)生q軸補償電流，結構框圖如圖2所示，永磁同步電機參數(shù)選取如表1所示。

在仿真試驗中參數(shù)設計：Γp1=0.8,Γd1=0.01，Γp2=0.3，Γd2=0.006，加權系數(shù)c1=c2=0.5，k1=1,k2=15,k=30 000。MATLAB/Simulink參數(shù)設定：PMSM起始目標速度值500 r/min，0.2 s目標速度設定為300 r/min。PMSM起始目標轉矩5 N·m，0.1 s目標轉矩設定為10 N·m。

圖2系統(tǒng)控制結構框圖

表1永磁同步電機參數(shù)

參數(shù)值參數(shù)值定子電阻R/Ω0．56極對數(shù)p3轉動慣量J/(kg·m2)0．0021永磁磁通Ψf/Wb0．82定子電感L/H0．0153粘滯摩擦系數(shù)B0．0001

圖3表示采用二階PD型迭代算法時系統(tǒng)的輸出響應圖，圖4表示采用一階學習算法時系統(tǒng)輸出響應圖。在擾動情況下，二階迭代學習控制在0.1s時刻轉矩增至10N·m，能準確跟蹤外部目標值；0.2s時刻轉速降為300r/min，轉矩收斂速度快于一階迭代學習控制，三相定子電流脈動值小于一階迭代學習控制。

(a) 三相定子電流

(b) 轉速(c) 電磁轉矩

圖3二階ILC控制系統(tǒng)仿真圖

(a) 三相定子電流

(b) 轉速(c) 電磁轉矩

圖4一階ILC控制系統(tǒng)仿真圖

在如圖5所示的實驗平臺上進行實驗，實驗結果如圖6所示。圖6(a)轉速為500r/min時相應轉子兩相電流波形，圖6(b)此時定子電壓波形，圖6(c)為電機位置估計的波形。

圖5實驗平臺

(a) 兩相電流波形

(b) 定子電壓波形(c) 電機位置估計波形

圖6實驗結果

6 結 語

本文根據(jù)永磁同步電機的周期性脈動問題，提出一種二階ILC策略，利用Lebesque-p范數(shù)對系統(tǒng)誤差的收斂情況進行分析，然后與傳統(tǒng)迭代學習算法進行對比，并分析誤差收斂速度與比例、微分設置的關系。另外提出二階滑模觀測器估算電機轉子位置與轉速，通過配置不同增益可獲得快速的收斂速度。

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