尚 影

（阜陽幼兒師范高等專科學(xué)校， 安徽 阜陽 236000）

一、數(shù)形結(jié)合思想方法內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合就是把數(shù)學(xué)語言與圖形結(jié)合起來考慮問題。利用數(shù)量關(guān)系和圖形的相互轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化，以利于問題解決。

數(shù)形結(jié)合思想方法包含兩個方面：一是由數(shù)及形，利用“形”把問題中的數(shù)量關(guān)系形象的表示出來，化抽象為直觀，用幾何方法研究代數(shù)問題；另一是由形及數(shù)，利用圖形特征，尋找數(shù)量關(guān)系式，用代數(shù)方法研究幾何問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

(一)數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是否理解數(shù)學(xué)概念直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。教材中的數(shù)學(xué)概念往往只以文字形式給出了相應(yīng)的結(jié)論，省略了概念形成的邏輯加工過程，因此，很多學(xué)生對理解概念感到困難。利用數(shù)形結(jié)合講解概念，可使概念變的形象直觀。

(二)數(shù)形結(jié)合有助于發(fā)展學(xué)生的思維

我們通常把人的思維分三種：抽象思維、形象思維和直覺思維。根據(jù)科學(xué)研究，人類的左半腦善于抽象思維，而右半腦善于形象思維。形的變化是多種多樣的，要從這些變化中找到本質(zhì)的知識就需要抽象思維。數(shù)形結(jié)合中把圖形信息轉(zhuǎn)換成數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)了學(xué)生對圖像信息的抽象能力。

在解決數(shù)學(xué)問題時，人們常利用數(shù)學(xué)中的直覺思維對數(shù)學(xué)對象迅速作出判斷，從而猜想出結(jié)論。在教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵學(xué)生借助直覺思維思考問題。比如，在學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的平移時，就有學(xué)生提出“其他的函數(shù)能否平移的問題”，這時學(xué)生利用了直覺思維。幾何圖形是直覺思維的重要源泉，數(shù)形結(jié)合使學(xué)生借助直觀的圖形來解決數(shù)學(xué)問題。

(三)利用數(shù)形結(jié)合還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

由于數(shù)學(xué)的抽象化，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知上感覺困難，有些學(xué)生甚至?xí)a(chǎn)生厭惡的情緒。由于圖形的生動性和直觀性特點，利用圖形可以使復(fù)雜的問題簡單化。通過數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想的原則

數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的原則如下：

(一)反復(fù)滲透原則

學(xué)生在學(xué)習(xí)時，在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多次反復(fù)后，才逐步形成理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)需要一個漫長的過程，只有在實踐活動中反復(fù)理解和應(yīng)用，才會逐步形成一種規(guī)律性認(rèn)識結(jié)果。因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要遵循循序漸進(jìn)的原則，不能一蹴而就。

(二)學(xué)生參與原則

教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，應(yīng)讓學(xué)生主動獲取知識。數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容之一,應(yīng)讓學(xué)生親身感受、體會知識發(fā)生過程。教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)過程中,通過知識的內(nèi)化,學(xué)生才能掌握數(shù)學(xué)思想方法。

波利亞認(rèn)為，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識，這樣學(xué)生才能對知識理解的更深刻，進(jìn)而掌握其中的規(guī)律和性質(zhì)。學(xué)生若不假思索的接受老師講的知識，就很容易忘掉，更難于形成自己的東西。

(三)系統(tǒng)性原則

系統(tǒng)性原則是指教學(xué)中要把前后連貫的科學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)的講解，系統(tǒng)的鞏固知識。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)因受內(nèi)容和時間的制約，學(xué)生不易形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，所以教師應(yīng)把數(shù)學(xué)思想的問題集中起來系統(tǒng)地講解。

四、教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的途徑

數(shù)形結(jié)合思想雖然重要，但它在數(shù)學(xué)內(nèi)容中具有隱蔽性，不易被學(xué)生發(fā)覺。這需要教師進(jìn)行總結(jié)，并把數(shù)形結(jié)合思想滲透在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)。

(一)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)時要注意揭示知識的發(fā)生過程。教師在教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生養(yǎng)成一個良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,對于所學(xué)知識要知其所以然。概念是數(shù)學(xué)知識最直接的體現(xiàn)，學(xué)生只有經(jīng)歷了“具體--抽象--具體”的過程，才能理解概念。介紹概念時，借助圖形的直觀性，幫助學(xué)生理解概念，促進(jìn)了學(xué)生對概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展。所以，在學(xué)生獲得概念知識的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法是個很好的時機(jī)。

教師在進(jìn)行概念教學(xué)時，不應(yīng)先把概念直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)該通過舉例、畫圖引入概念先讓學(xué)生對概念有形象、直觀的了解。如，子集概念教學(xué)時，可以先畫出集合的韋恩圖，如圖1：

圖1 韋恩圖

借助圖形，分析集合A和集合B的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出“子集”的定義。

(二)在例題講解中展示數(shù)形結(jié)合思想方法

在例題教學(xué)中，教師要善于通過典型例題進(jìn)行解題示范，要注意引導(dǎo)學(xué)生如何去想，如何找到解題的思路。這不僅能鍛煉學(xué)生的思維，還能發(fā)展學(xué)生的空間想象力。

例如，證明平行四邊形的兩對角線的平方和等于其四條邊的平方和。

解：如圖2，建立直角坐標(biāo)系，將四個頂點用坐標(biāo)表示出來。

圖2 平面直角坐標(biāo)系下的平行四邊形

設(shè)B(0,0),C(a,0),A(b,c),則D(a+b,c)

則AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2

所以，原命題成立。

通過這個例題可以看出，在解決幾何問題時通過建立直角坐標(biāo)系，可以使復(fù)雜的問題簡單化。由此可知，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題時，會起到意想不到的效果。在這個例題的解決過程中強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

(三)在習(xí)題解決中鞏固數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的運用通常表現(xiàn)在問題的解決過程中，許多數(shù)學(xué)問題的解決得益于數(shù)與形的合理轉(zhuǎn)化。只有通過大量的解題實踐，學(xué)生才能掌握好數(shù)形結(jié)合思想方法。通過在解題中利用數(shù)形結(jié)合思想方法,讓學(xué)生感受它的使用方法和技巧，加深學(xué)生的理解。讓學(xué)生在實踐中，體會到利用數(shù)形結(jié)合思想方法可以給解題帶來很大的幫助。在利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題時，能化繁為簡，化抽象為具體，可以使學(xué)生從繁雜的題海中解放出來，對于幫助學(xué)生開闊思路、突破思維定勢有極好的作用，并使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣。

(四)在實際問題解決中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法

皮亞杰認(rèn)為,學(xué)習(xí)應(yīng)具備生活性，要在生活或者類似生活的情景中學(xué)習(xí)，而不是把學(xué)習(xí)放在數(shù)學(xué)情境中。數(shù)形結(jié)合的思想在生活中有著廣泛的應(yīng)用。

例如：某廠打算生產(chǎn)甲、乙兩種試銷產(chǎn)品，預(yù)計每件銷售收入分別為3千元和2千元。這兩種產(chǎn)品都需要在兩種設(shè)備上進(jìn)行加工，已知在每臺上加工一件甲產(chǎn)品,所需的時間分別為1小時、2小時，加工一件乙產(chǎn)品,所需的時間分別為2小時、1小時，而兩種設(shè)備每月有效使用臺數(shù)分別為400和500，問要使收入最大需如何安排生產(chǎn)？

解：設(shè)加工甲產(chǎn)品x件，加工乙產(chǎn)品y件，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y，線性約束條件為

把z=3x+2y變形為平行直線系作出可行域，如圖3陰影部分。

直線z=3x+2y的平行直線系為l∶z=3x+2y。由圖可知，當(dāng)l經(jīng)過可行域上M點時，Z值最大。解方程組

得 M(200,100)，即 Zmax=3×200+2×100=800,所以當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件時，可使收入最大，最大為80萬。

圖3 直線系可行域

在實際問題解決中利用數(shù)形結(jié)合思想方法，可使復(fù)雜問題簡單化。變抽象為具體，更好地啟發(fā)學(xué)生思維，幫助學(xué)生樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的觀念。

(五)在反思總結(jié)中內(nèi)化數(shù)形結(jié)合思想方法

反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。波利亞曾說，通過反思我們便能夠增進(jìn)解答，提高解答的理解水平。數(shù)形結(jié)合思想隱含在數(shù)學(xué)教材的知識點中，學(xué)生要想把這種思想內(nèi)化為自己的觀點，就需要反思。學(xué)生的反思是被教師的反思所激發(fā)的。數(shù)學(xué)中的很多知識都蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想方法，教師不能等遇到問題時才提到數(shù)形結(jié)合思想方法，而是需要教師挖掘教科書中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法，并歸納、整理，做好總結(jié)工作。教師應(yīng)總結(jié)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想方法的知識點，在每塊知識點中，選取典型例題進(jìn)行分析，這樣有助于學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想方法。使學(xué)生在反思中進(jìn)步和成長。

五、小結(jié)

要使學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，并不是通過幾個例題的講解就能達(dá)到的，這需要教師在教學(xué)中持之以恒，要在平時的教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合思想方法，這樣學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識一定會日趨成熟。

參考文獻(xiàn)：

[1]王 元,陳德泉,等.華羅庚科普著作選集[M].上海：上海教育出版社,1984：181.

[2][美]G.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)一對解題的理解、研究和講授[M].劉景麟,曹之江，等，譯.北京：科學(xué)出版社,2006.

[3]顧亞萍.數(shù)形結(jié)合思想方法之教學(xué)研究[D].南京：南京師范大學(xué),2004：32.

[4][美]G.波利亞.怎樣解題一數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓,馮承天,譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?2007：4.

[5][荷蘭]弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探一在中國的講學(xué)[M].劉意竹,楊剛,等譯.上海：上海教育出版社,1999：148.

[6][美]G.波利亞.怎樣解題一數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓,馮承天,譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?2007：4.