陳書奎

一、圓的定義

例1（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第41頁(yè)思考與探索）如圖1，AB是⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD=OA，CD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，若∠C=20°，求∠BOE的度數(shù).

圖1

圖2

【解析】如圖1，連接OD，由CD=OA可知CD=OD，那么∠COD=∠C=20°，得∠EDO=∠COD+∠C=40°，又因?yàn)镺D=OE，得∠E=∠EDO=40°，最后可知∠BOE=∠C+∠E=60°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住同圓的半徑相等這一基本性質(zhì)，連接半徑構(gòu)造等腰三角形解決問(wèn)題.上述兩條性質(zhì)是題目中常見(jiàn)的隱含條件，同學(xué)們要善于挖掘應(yīng)用.

【拓展】（2012·日照）如圖2，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過(guò)B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D.如果∠A=63°，那么∠ABC=_______.

【解析】如圖2，連接CE、DE，根據(jù)同圓的半徑相等不難發(fā)現(xiàn)圖中有三個(gè)等腰三角形：△AEC、△CED、△DEB，由∠A=63°算出∠AEC=54°，可知AEC=18°.

例2（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第40頁(yè)練習(xí)第3題）已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)A、B、C、D是否在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？

【解析】由矩形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD，所以點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問(wèn)題同學(xué)們要抓住圓定義的本質(zhì)，也就是圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.此題是這一本質(zhì)的靜態(tài)呈現(xiàn)，而近幾年的中考中更多的是從動(dòng)態(tài)角度進(jìn)行判斷和應(yīng)用.

【拓展1】（2014·成都）如圖3，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是邊AD的中點(diǎn)，N是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，求A′C的最小值.

圖3

圖4

【解析】由MA=MA′，故點(diǎn)N在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中，A′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，MA′為半徑的圓弧，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離.如圖4，當(dāng)A′在MC上時(shí)，A′C的長(zhǎng)度最小.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由CD=2，MD=1，∠EDC=60°，可得∠ECD=30°，DE=1，EC=3，EM=2，MC=7，所以A′C=7-1.

【拓展2】（2016·淮安）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_______.

圖5

圖6

【解析】由PF=CF，故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓弧.此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求與圓相離的直線上一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離的最小值，不難想到過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在FH上時(shí)，這個(gè)距離最小.下面我們可以利用∠A的正弦和AF長(zhǎng)度求出FH=3.2，于是PH=FH-PF=1.2，即點(diǎn)P到邊AB的最小距離是1.2.

二、圓的對(duì)稱性

例3（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第48頁(yè)練習(xí)第3題）如圖7，⊙O的直徑為10，弦AB的長(zhǎng)為8，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，求OP的取值范圍.

【解析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，連接OB，OP的最小值等于OH長(zhǎng)，OP的最大值是半徑OB，長(zhǎng)為5，根據(jù)垂徑定理可得=4，再依據(jù)勾股定理算出OH=3，故3≤OP≤5.

圖7

【拓展1】如圖8，一座弧形橋的跨度AB長(zhǎng)為40米，橋離水面最大距離CD為10米，一條水面以上寬度為30米，高度為6米的船能否順利通過(guò)這座橋？

圖8

圖9

【解析】如圖9，設(shè)弧形橋所在圓的圓心為O，半徑為r，EF=30，在Rt△AOD中，r2=202+（r-10）2，解得r=25，所以O(shè)D=15，在Rt△OEG中，20，GD=OG-OD=5（米）＜6（米），故船不能順利通過(guò)這座橋.

【拓展2】（2013·內(nèi)江）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值_______.

圖10

圖11

【解析】由直線的解析式可以看出當(dāng)x=3時(shí)，y=4，說(shuō)明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，4），設(shè)這個(gè)定點(diǎn)為點(diǎn)H，如圖11，當(dāng)BC⊥OH時(shí)，BC最短，連接OC，易知=12，故弦BC長(zhǎng)的最小值為24.

三、靈活轉(zhuǎn)化圓中角

例4（蘇科版《數(shù)學(xué)》九上第56頁(yè)練習(xí)第3題）如圖12，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠ACB=∠BDC=60°，BC=3，求△ABC的周長(zhǎng).

圖12

【解析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可知∠A=∠D=60°，易得△ABC為等邊三角形，周長(zhǎng)為9.

【點(diǎn)評(píng)】同弧所對(duì)的圓周角相等是圓中重要的條件，利用這一性質(zhì)可以為全等和相似做鋪墊.

【拓展1】（2015·德州）如圖13，⊙O的半徑為1，A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°.

圖13

（1）判斷△ABC的形狀：_________；

（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解析】由上一例題可判斷△ABC為等邊三角形.第（2）小題結(jié)論是PA+PB=PC，證明線段和差等量關(guān)系一般可用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法.如：在PC上取點(diǎn)E，使PE=PA，易得△APE為等邊三角形，所以∠PAE=∠BAC=60°，則∠PAB=∠EAC，再由AB=AC，∠PBA=∠ECA，可得△APB≌△AEC，所以PB=EC，故PA+PB=PC.

【拓展2】（2015·宿遷）已知：⊙O上兩個(gè)定點(diǎn)A，B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，D，AC與BD交于點(diǎn)E.

圖14

圖15

（1）如圖14，求證：EA·EC=EB·ED；

（3）如圖16，若AC⊥BD，點(diǎn)O到AD的距離為2，求BC的長(zhǎng).

圖16

圖17

【解析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，故△AED∽△BEC，得AE∶BE=DE∶CE，所以EA·EC=EB·ED.

（3）如圖17，作直徑DF，連接AF，作OH⊥AD于H，易得∠ACD=∠HOD，∠CED=∠OHD，得出∠ADF=∠BDC，進(jìn)一步可知，從而B(niǎo)C=AF=2OH=4.

同學(xué)們，在中考中很多考題就是課本例題、習(xí)題的變式或延伸，只要我們善于挖掘教材里題目的價(jià)值，做到舉一反三，相信你在中考考場(chǎng)上能如魚得水！