安徽省六安第一中學

鮑遠春 (郵編：237009)

1 問題提出

在數(shù)學解題過程中，有時需要設(shè)立一些題目中沒有直接給出的中間變量，這些中間變量可以適時消除而不用求出，對最終解決問題往往起著重要的銜接與紐帶作用，這就是“設(shè)而不求”.

在高中數(shù)學中，最為人熟知的“設(shè)而不求”就是涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的一種解題方法：將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組→消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程→設(shè)交點坐標為(x1,y1)、(x2,y2)→結(jié)合判別式△>0，利用韋達定理“設(shè)而不求”→…….

然而，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多教師在實際教學中賦予上述方法“至高無上”的地位，并通過訓練強化這種固定的模式程序，學生在對其“牢固掌握、熟練運用”的同時，解題能力卻沒有得到應(yīng)有的提高，反而抑制了自己思維的發(fā)展，解方程(組)等基本技能也因此而被極度弱化.

筆者認為，任何一個解析幾何問題都是通過幾何圖形代數(shù)化、代數(shù)結(jié)果幾何化以及代數(shù)運算(簡稱“兩化一算”)而加以解決的，解方程(組)、解不等式、化簡、消元等代數(shù)變形應(yīng)該是解析幾何的基本技能.“設(shè)而不求”只是特定條件下的一種解題技巧，并不是處理解析幾何問題的通性通法.即便僅限于向?qū)W生傳授這種解題技巧，解析幾何中的“設(shè)而不求”也不僅僅是利用韋達定理，另外，“設(shè)而不求”在解決三角、代數(shù)等問題時也有著重要的作用.作為教師，對此應(yīng)有全面的理解和認識，不能以偏概全，更不能絕對化.

比如，“曲線的方程”與“方程的曲線”是解析幾何的核心概念，在解題中具有重要的應(yīng)用價值，但實際教學中普遍對此重視不夠.事實上，可以利用“點P(x0,y0)在曲線C：f(x,y)=0上?f(x0,y0)=0”，將曲線上點的坐標代入曲線方程，然后對幾個式子從整體上進行代數(shù)變形，最終獲得想要的結(jié)果.在此過程中，曲線上點的坐標很多時候也是“設(shè)而不求”.

2 案例分析

例1已知兩條直線l1：a1x+b1y+1=0，l2：a2x+b2y+1=0相交于點P(2,3)，求過點P1(a1,b1)，P2(a2,b2)的直線方程.

解因為點P(2,3)分別在直線l1和l2上，所以2a1+3b1+1=0①，2a2+3b2+1=0②，即點P1(a1,b1)、P2(a2,b2)的坐標均滿足直線方程2x+3y+1=0，而兩點確定一條直線，故所求直線方程即為2x+3y+1=0.

點評在解題過程中，點P1、P2的坐標“設(shè)而不求”，首先運用“直線上點的坐標滿足直線方程”得到關(guān)系式①②，然后分析①②兩式在結(jié)構(gòu)上的共同特征，運用“坐標滿足直線方程的點在該直線上”從中抽象出直線2x+3y+1=0，即為所求.這種方法需要對“曲線方程”的概念有較深刻的理解.

類似地，讀者可以嘗試解決如下問題：

我們知道，對于圓x2+y2=r2、點P(x0,y0)及直線l：x0x+y0y=r2，當點P在圓上時，直線l表示以P為切點的圓的切線，求證：

(1)當點P在圓外時，直線l表示從P向圓兩條切線時，切點所在的直線.

(2)當點P在圓內(nèi)時(不與圓心重合)，過P作圓的動弦，弦的兩端點處切線的交點也為動點，直線l即為該動點的軌跡.

解設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)，則有

①

②

③

④

點評在解題過程中，點B、C的坐標“設(shè)而不求”，利用“點在橢圓上”以及重心的坐標公式得到關(guān)系式①②③④，然后靈活地將

分別視為整體，通過整體變形得到直線BC的斜率，結(jié)合BC中點坐標即可求得直線方程，解題過程較簡潔.

例3設(shè)點P(3,4)為圓x2+y2=64內(nèi)一點，A、B兩點都在圓上，且∠APB=90°，以AP、BP為鄰邊作矩形APBQ，求頂點Q的軌跡方程.

解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)，則有

①

②

x1+x2=x+3

③

y1+y2=y+4

④

(x1-3,y1-4)·(x2-3,y2-4)=0即x1x2+y1y2-3(x1+x2)-4(y1+y2)+25=0

⑤

⑥

③④⑥代入⑤，整理得x2+y2=103，即為頂點Q的軌跡方程.

點評在解題過程中，點A、B的坐標“設(shè)而不求”，利用“點在圓上，則點的坐標滿足圓方程”得到①②，利用矩形的特征“對角線互相平分且鄰邊垂直”得到③④⑤.由于式子較多，變形的方向顯得尤為重要：點Q的軌跡方程應(yīng)只含有x、y，因此要消去x1、y1、x2、y2.消元時應(yīng)從式子結(jié)構(gòu)上整體把握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

①

②

③

2x0=t(x1+x2)

④

2y0=t(y1+y2)

⑤

將①②③代入上式，有8=t2[4+2(x1x2+2y1y2)].

⑥

⑦

注意到①②中只含有x1、y1、x2、y2的平方項，因此要設(shè)法消去⑥⑦中x1x2+2y1y2與|x1y2-x2y1|的乘積項，于是有

(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2

點評若設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元后用韋達定理亦可求解.但需要分類討論，表達式較為繁瑣，計算量也較大.本解法中，①～⑤式的獲得非常自然，但如何合理變形并不容易，特別是探索x1x2+2y1y2與|x1y2-x2y1|之間的隱含關(guān)系，只要突破了這個“瓶頸”，解題過程就會順暢、簡明得多，真正體現(xiàn)出“思維量大，運算量小”的特點.

除了利用韋達定理、“曲線與方程”的概念，解析幾何中的“設(shè)而不求”還有相關(guān)點法、交軌法、參數(shù)法等等，不再一一贅述.下面舉例說明“設(shè)而不求”在三角、代數(shù)中的應(yīng)用.

又

綜上，函數(shù)

的值域是[3,5].

點評很多學生會因為本題中的輔助角不是特殊角而陷入解題困境，事實上，只要對輔助角“設(shè)而不求”，緊扣其滿足的條件，換元后利用基本的三角函數(shù)y=5sint的圖象，結(jié)合三角運算(這里用到了誘導公式)，便不難求出函數(shù)的值域.

例6(2013全國新課標Ⅱ理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

解(1)略；

(2)函數(shù)f(x)的定義域是(-m,+∞)，當m≤2時，f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，故只需證明當m=2時，f(x)>0.

所以

從而m=2時，f(x)>0.

綜上，當m≤2時，f(x)>0.

3 教學思考

綜合上述分析，對于“設(shè)而不求”，我們應(yīng)形成以下兩點基本認識：

第一，教學定位要科學，理解問題要全面

以解析幾何為例，通過解方程(組)求出點的坐標應(yīng)該是最基本、最重要的方法，應(yīng)居于教學的核心地位，這一點在教材的例題處理中體現(xiàn)得非常明顯.因此，教學中不能一味地灌輸“設(shè)而不求”的解題思想，反而丟失了教學中最根本的東西.現(xiàn)實中，學生想不到解方程(組)、不愿意解方程(組)、不會解方程(組)、對整體消元束手無策等情形并不少見，不能不說與教師對“設(shè)而不求”的定位不科學有較大關(guān)系.

就“設(shè)而不求”本身而言，它也具有應(yīng)用的廣泛性，充滿了思辨性、靈活性和創(chuàng)造性，教師在教學中(特別是高三復(fù)習階段)應(yīng)從數(shù)學學科整體的高度引導學生全面地、辯證地進行理解，而不能用固化的、單一的模式禁錮學生的思維，用機械呆板的模仿代替富有活力的思考.

第二，教學重點要突出，學習難點要突破

“設(shè)而不求”的教學重點，首先是“設(shè)什么”、“怎么設(shè)”的問題，這是解決問題的起點；其次是列式的問題，即如何提取條件中的關(guān)鍵信息并恰當?shù)丶右孕问交蛔詈笫谴鷶?shù)變形的問題，既涉及到變形方向與目標，又涉及到變形方法與手段，往往需要從整體上進行思考，通常也是學生學習的難點.

突出重點、突破難點的關(guān)鍵在于教師要踐行科學的教學理念.教師要真正尊重學生在課堂上的主體地位，堅決摒棄“告訴教學”，而是著眼于引導學生充分暴露自己的思維，進而師生共同對學生的“相異構(gòu)想”進行討論、辨析，對正確的想法予以肯定，對錯誤的思考予以糾正，對出現(xiàn)的障礙予以化解，通過變化問題情境實現(xiàn)正遷移，讓學生親歷獨立審題、嘗試解題、觀點碰撞、克服困難的完整過程，借此完善自己的認知結(jié)構(gòu)，提高自己的解題能力、改善自己的思維品質(zhì).