肖龍帆，杜群貴，吳 磊，翟曉晨

(1.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640; 2. 重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

0 引言

影響機(jī)床加工精度的各類誤差中，機(jī)床的幾何誤差占總誤差源約50%[1],因此機(jī)床幾何誤差的分析與控制對當(dāng)前機(jī)床精度分配有重要的意義[2]。

目前機(jī)床幾何精度建模模型主要有三角關(guān)系與矢量模型，解析二次模型，變分模型，剛體運(yùn)動學(xué)模型，齊次坐標(biāo)變換模型以及多體系統(tǒng)模型[3];多體系統(tǒng)模型是目前相對最優(yōu)模型形式[4]。國內(nèi)有部分學(xué)者已經(jīng)對機(jī)床誤差參數(shù)靈敏度進(jìn)行了分析。黃強(qiáng)[5], 金增楠[6]等人在假定機(jī)床各元素誤差與最終加工精度滿足一定的線性關(guān)系下，通過把各誤差元素參數(shù)代入原精度模型，以最后的誤差結(jié)果量化各誤差元素的靈敏度，并對其進(jìn)行了歸一化；程強(qiáng)[7]，范晉偉[8]等人主要是利用矩陣微分法對精度模型各誤差元素求一階偏導(dǎo)，從而求其靈敏度。

當(dāng)機(jī)床部件涉及較多的線性軸與旋轉(zhuǎn)軸時，其精度模型呈現(xiàn)高度的非線性且各幾何元素會產(chǎn)生耦合，幾何誤差元素間具備一定的相關(guān)性[9-10]。因此當(dāng)機(jī)床涉及的幾何誤差元素較多，且?guī)缀卧亻g的耦合關(guān)系復(fù)雜時，宜采用數(shù)值模擬法對機(jī)床幾何精度參數(shù)的靈敏度進(jìn)行估計(jì)。

本文對5軸數(shù)控臥式銑床進(jìn)行幾何精度模型靈敏度分析。為了識別出對機(jī)床幾何精度模型影響較大的關(guān)鍵性幾何要素，首先基于多體理論與齊次變換原理建立了5軸數(shù)控臥式銑床幾何精度模型，之后在線性響應(yīng)面法的理論上，建立一種對機(jī)床幾何精度解析模型靈敏度識別的數(shù)值迭代算法，并通過MATLAB編程與計(jì)算識別出五軸數(shù)控臥式銑床各幾何誤差要素的精度靈敏度。通過對機(jī)床幾何誤差參數(shù)靈敏度的計(jì)算分析示例，從而為該機(jī)床的幾何精度控制提供理論依據(jù)與參考。

1 數(shù)控機(jī)床幾何精度模型建立

1.1 機(jī)床的幾何誤差

該5軸數(shù)控銑床配備FANUC數(shù)控系統(tǒng)，具備AICCⅡ高精度輪廓加工。其結(jié)構(gòu)模型圖如圖1所示，該5軸數(shù)控銑床共涉及X,Y,Z,W,C,A共6個運(yùn)動軸，其中X,Y,Z為按照機(jī)床運(yùn)動坐標(biāo)方向的直線移動軸，W為滑枕導(dǎo)軌方向的直線移動軸，C為工作臺旋轉(zhuǎn)軸，A為滑枕擺動軸。

1.床身 2.X向滑臺 3.數(shù)控旋轉(zhuǎn)工作臺 4.底座 5.Z向移動立柱 6.Y向滑臺 7.數(shù)控?cái)[動滑枕 8.W向主軸箱 9.主軸(包括刀具)

圖1五軸數(shù)控銑床模型圖

根據(jù)多體系統(tǒng)理論[7]，把機(jī)床各組成部件分為相應(yīng)的“體”，其中床身與底座由于固結(jié)在一起，故視為一個整體，并按機(jī)床床身(底座)→X向滑臺→數(shù)控旋轉(zhuǎn)工作臺分支，和機(jī)床床身(底座)→Z向移動立柱→Y向滑臺→數(shù)控?cái)[動滑枕→W向主軸箱→主軸(包括刀具)分支分別對其編號，圖2為其對應(yīng)的拓?fù)鋫鬟f結(jié)構(gòu)。理想狀態(tài)下，刀具點(diǎn)B與工件點(diǎn)A應(yīng)該重合，但由于傳動部件的誤差，刀具點(diǎn)B相對于工件點(diǎn)A將存在誤差矢量ΔE。

圖2 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)傳動鏈?zhǔn)疽鈭D

依據(jù)剛體6自由度誤差假設(shè)理論，剛體在運(yùn)動過程中必然產(chǎn)生6項(xiàng)自由度的誤差(3項(xiàng)線位移誤差，3項(xiàng)角位移誤差)，對于該五軸數(shù)控銑床，7個運(yùn)動體在空間中的將產(chǎn)生42項(xiàng)誤差，根據(jù)實(shí)際誤差模型分析需要，除了主軸的回轉(zhuǎn)角度誤差不做考慮之外，X,Y,Z三個直線移動軸兩兩間存在3項(xiàng)不垂直度誤差，因此，該五軸機(jī)床共涉及44項(xiàng)誤差參數(shù)，如表1所示,其中x,y,z,w,θc,θa,θs為各運(yùn)動體的位置參數(shù)。

表1 5軸數(shù)控臥銑機(jī)床幾何誤差參數(shù)表

1.2 5軸數(shù)控臥銑機(jī)床的幾何精度模型

如圖3所示，為機(jī)床的機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖，圖中Si(i=1,…,11)表示與機(jī)床結(jié)構(gòu)相關(guān)常量,Oj(j=1,…,7)表示機(jī)床運(yùn)動體的剛體坐標(biāo)系，編號與圖2中的多體編號一致。

圖3 機(jī)床機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

由圖3可得機(jī)床無誤差下的各運(yùn)動體的理想位置變換矩陣為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中，Ti-j為運(yùn)動體坐標(biāo)系i相對運(yùn)動體坐標(biāo)系j的理想位置坐標(biāo)變換。

在實(shí)際機(jī)床部件運(yùn)動中，機(jī)床受44項(xiàng)誤差幾何元素的影響，并且隨著位置參數(shù)x,y,z,w,θc,θa,θs變化而變化[11]，相應(yīng)的誤差特征矩陣為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，ΔEi-j為幾何誤差作用下運(yùn)動體坐標(biāo)系i相對運(yùn)動體坐標(biāo)系j的坐標(biāo)變換。

另外,X軸與Y軸的不垂直度誤差εvxy,Z軸與Y軸的不垂直度誤差εvzy以及X軸與Z軸的不垂直度誤差εvxz,其相應(yīng)的誤差特征矩陣為：

(15)

(16)

(17)

式中，ΔEvij為i軸相對j軸的不垂直度誤差齊次特征變換矩陣。

由式(1)、式(2)、式(8)、式(9)可得工件點(diǎn)A最終的偏差位置為：

EA=T1-0ΔE1-0T2-1ΔE2-1wA

(18)

式中，wA——工件加工點(diǎn)在工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量。

由式(3)～式 (7)，式(10)～式 (16) 可得刀具點(diǎn)B最終的偏差位置為：

EB=ΔEvxzΔEvxyΔEvzyT3-0ΔE3-0T4-3ΔE4-3T5-4

ΔE5-4T6-5ΔE6-5T7-6ΔE7-6wB

(19)

式中，wB——刀具加工點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量。

因此最終的加工偏差可表示為：

(20)

2 機(jī)床幾何精度模型靈敏度識別

由式(20)，可得機(jī)床幾何精度模型可表示為：

ΔE=G(U,wA,wB,D,S)

(21)

式中,U——n個機(jī)床部件幾何誤差組成的誤差矢量。

U=(Δe1,Δe2,…,Δen)T

Δei——機(jī)床部件的幾何誤差，i=1,2,…n；D——機(jī)床各運(yùn)動體的位置矢量。

S——機(jī)床結(jié)構(gòu)常量。

當(dāng)選定機(jī)床某一空間位置時，wA,wB,D,S為固定值，此時ΔE為關(guān)于U的多元連續(xù)可微函數(shù)，由文獻(xiàn)[7]可知，當(dāng)U中各幾何誤差變化較小時，可以忽略對ΔE泰勒展開項(xiàng)中高次項(xiàng)的影響，從而用一次項(xiàng)線性函數(shù)代替ΔE，本文在此基礎(chǔ)上，利用線性響應(yīng)面法對ΔE進(jìn)行一次線性擬合，從而避免了對原函數(shù)求偏導(dǎo)的步驟，最終實(shí)現(xiàn)對精度解析模型的靈敏度識別。其計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 靈敏度識別計(jì)算流程圖

其求解步驟如下：

(1)選取一組工作位置矢量D

(2)設(shè)定ΔEm(m=x,y,z)線性響應(yīng)面模型為:

(22)

(23)

式中，f(k)——插值系數(shù);f(k+1)=(f(k))0.5,f(1)取1/6～1/2;Tei——各個幾何誤差元素的公差。

通過n+1個樣本點(diǎn)，可以通過式(20)求得第k次迭代下各樣本點(diǎn)處的樣本值。

(24)

(25)

(6)計(jì)算如下精度判別式

(26)

(27)

式中，h取1/3～1/2。

3 分析示例

考慮到篇幅的限制，僅列出部分零部件運(yùn)動體的幾何誤差項(xiàng)與公差項(xiàng)，如表2所示。

表2 各項(xiàng)檢測項(xiàng)目及公差

在機(jī)床工作空間中選定一組工作位置矢量(1607.7,240,69,96.5,0,0)，利用MATLAB編程計(jì)算，求得機(jī)床三個方向下各幾何誤差元素的影響系數(shù)如表3所示。

表3 各誤差元素對Δx, Δy, Δz的影響系數(shù)

由表3可知，角度誤差的靈敏度較大，各軸的垂直度靈敏度均占一定的比重，因此在該五軸機(jī)床幾何精度裝配調(diào)整中，應(yīng)優(yōu)先保證各運(yùn)動軸間的相對角度偏差，即平行度誤差與垂直度誤差。

不同切削工況下加工敏感的方向不同，就銑削平面而言，Δz為加工敏感方向，對表3中Δz一列進(jìn)行整理，得出機(jī)床各運(yùn)動部件在Δz方向的貢獻(xiàn)率，其中不垂直度誤差εvxz，εvzy均是通過立柱導(dǎo)軌滑塊的配磨墊片來調(diào)整，故將其作為立柱部件的一部分，而其它誤差是機(jī)床各個運(yùn)動部件位移與角度誤差的總和，其占比僅3.46%，故不作為考慮重點(diǎn)，最終的結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，立柱部件在Δz方向的貢獻(xiàn)率達(dá)到了66%，其余部件所占比重都比較小，因此在銑削平面時要控制好立柱的幾何精度，同時就立柱本身而言，由表3中Δz一列可知，立柱Z向運(yùn)動軸與X向滑臺運(yùn)動軸的不垂直度誤差影響系數(shù)達(dá)到了33.18%，其次為立柱Z向運(yùn)動時相對X-Y面的平行度(εzx,εzy)，其影響系數(shù)為18.34%，最后為立柱Z向運(yùn)動軸與Y向滑臺運(yùn)動軸的不垂直度誤差，其影響系數(shù)為13.94%。

圖5 五軸銑床Z向各部件影響因子

由于在機(jī)床實(shí)際裝配調(diào)整中，線性軸的不垂直度誤差都是一并調(diào)整，因此重點(diǎn)控制立柱Z向運(yùn)動軸與X,Y向運(yùn)動軸的垂直度精度有利于提高Δz向的加工精度。

4 結(jié)論

(1)利用多體理論與齊次坐標(biāo)變換的方法，建立五軸數(shù)控臥銑機(jī)床的幾何精度模型。

(2)在原幾何精度模型的基礎(chǔ)上，利用插值抽樣技術(shù)提取樣本點(diǎn)，從而建立機(jī)床幾何精度線性響應(yīng)面模型，通過迭代算法設(shè)計(jì)，從而識別出機(jī)床的關(guān)鍵幾何誤差元素。

(3)計(jì)算示例表明，在該五軸數(shù)控臥銑機(jī)床的幾何精度靈敏度分析中，應(yīng)優(yōu)先保證各運(yùn)動軸間的平行度誤差與垂直度誤差達(dá)到精度要求，同時對于銑削平面而言，控制立柱Z向運(yùn)動軸與X,Y向運(yùn)動軸的垂直度精度(εvxz,εvzy)，有利于提高銑削平面時的加工精度。

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(編輯李秀敏)