趙 元，杜 瑩

(沈陽工學院 a.機械與運載學院； b.基礎課部，遼寧 撫順 113122)

0 引言

近年來，柔順機構已經成為精密超精密運動系統(tǒng)中定位平臺的常用解決方案。柔順機構是一種利用運動構件中構件自身的彈性變形，從而實現定位機構的運動傳遞、力傳遞及轉換的機構。由于彈性變形具有可逆性，構件自身受到力作用產生變形，卸除載荷后變形消失，實現傳遞變形的同時保證不會產生摩擦磨損和傳動間隙[1-2]。柔順機構的設計主要分為兩種，并聯和串聯。其中，柔順并聯機構能夠克服反向間隙、遲滯效應以及鉸鏈加工誤差等缺陷，并且承載能力大、定位精度高、分辨率高以及操作靈活等優(yōu)點，從而柔順并聯機構廣泛應用于超精密定位以及微納制造領域[3-4]。然而，柔順關節(jié)傳遞位移較大，降低了在非運動方向的剛度，從而影響了其動態(tài)特性。因此，具有較高的剛度比、大的工作空間以及快速的動態(tài)相應的多自由度柔順并聯機構設計仍然是柔順機構領域內的重要研究課題。

為得到較為理想的柔順并聯機構，國內外研究學者針對柔順機構的設計、自由度數目、剛度優(yōu)化方法以及動力學優(yōu)化方法進行了相關研究，并得到了較為顯著的成果。傳統(tǒng)柔順并聯機構是通過鉸接在剛體運動機構上不同的柔順鉸鏈，形成全柔順并聯機構。但是這種方法得到的機構復雜性較高，剛度分析和動力分析太過復雜，且無法滿足超精密定位及微納制造的需要[5-6]，另外還有多自由度柔順并聯機構的設計等[7-9]。針對柔順機構的結構分析方法，Midha等[10]提出了偽剛體模型法，主要通過用兩根相鉸接的剛性桿模擬柔性片段的彎曲變形，剛性桿末端軌跡可以通過改變鉸接點位置和扭簧的剛度逼近柔性片段的軌跡。該模型法在柔順機構的研究中具有較高的精度，但是不能真實的反應柔順并聯機構的剛度和動力學優(yōu)化過程，不能滿足精密定位的技術要求[11]。朱大昌等[12]提出一種多支鏈組合成新型全柔順并聯機構，利用柔性鉸鏈集成在一塊整體材料上，經線切割加工得到整體集成式機構，但柔性鉸鏈的整體分布沒有固定規(guī)則，具有較強的隨意性，因此提出一種針對柔順并聯機構剛度和動力學優(yōu)化的結構優(yōu)化方法具有實際意義。

本文提出針對多自由度柔順并聯機構剛度優(yōu)化和動力學特性優(yōu)化的新的優(yōu)化方法，包括剛度優(yōu)化與動力學優(yōu)化兩個過程，稱為梁結構優(yōu)化方法。剛度優(yōu)化過程中對彎-扭梁結構的參數進行優(yōu)化，同時對剛度矩陣每個元素單位進行統(tǒng)一，動力學優(yōu)化的目的是在保持最佳剛度的同時獲得所需要的結構動態(tài)特性。為了驗證該方法的有效性，綜合3自由度柔順并聯機構并利用Matlab遺傳算法求解器和ANASY有限元仿真軟件對其進行計算以及仿真分析。

1 基于梁的結構優(yōu)化方法

1.1 梁的結構優(yōu)化原理

柔順并聯機構包括由數個柔順關節(jié)聯接的移動平臺，柔順關節(jié)作為無摩擦支撐軸承。為綜合多自由度空間運動柔順并聯機構，提出一種新的基于梁的結構優(yōu)化方法對各柔順關節(jié)結構進行優(yōu)化。以具有3個柔順關節(jié)的柔順機構為例，如圖1所示。3個柔順關節(jié)關于移動平臺中心旋轉對稱，柔順關節(jié)的設計為立方體，其中與移動平臺聯接的面為可移動聯接面，與其相對應的為固定面。在每個柔順關節(jié)空間中設置初始柔順結構為彎-扭梁，如圖2a。由于本文提出的結構優(yōu)化方法適用于綜合多自由度的柔順并聯機構，因此彎-扭梁的彈性變形可以為每個柔順關節(jié)提供至少6個自由度。其中，貝塞爾曲線基于理想運動軌跡為每個柔順關節(jié)提供可行解。為計算彎-扭梁的初始方位和扭轉性能，設置梁的初始扭轉角和最終扭轉角，因此，在自由端運動聯接面可以實現6個自由度。然后，以一個薄矩形截面區(qū)域沿三次貝塞爾曲線進行掃面，同時改變兩端的方向就可以得到特定的幾何結構，如彎-扭梁。另外，相比于其他的曲線結構如螺旋線等，具有初始扭轉角的貝塞爾曲線也可以改變成任何形式的彎曲結構(如傳統(tǒng)的直梁型)，這也是選擇貝塞爾曲線作為彎-扭梁結構生成掃描路徑的主要原因。如圖2a所示，當貝塞爾曲線中兩個控制點呈一條直線時，也就是初始扭轉角αA和最終扭轉角αB等于零，以薄矩形截面區(qū)域掃描貝塞爾曲線得到的梁結構為直梁型結構。具體柔順關節(jié)空間設計為沿Y′Z′平面對稱的兩個彎-扭梁作為主要柔順結構，如圖2b。

以上分析可知，彎-扭梁的形成是用薄矩形截面區(qū)域對沿Y′Z′平面對稱的三次貝塞爾曲線掃描得到的，起始點和終點分別曲線上的A點和B點。參照圖2a，定義彎-扭梁上任意位置上的局部加載點的坐標系，其中，Z′軸對應貝塞爾曲線的切線方向，X′軸為整體加載點坐標系X軸在平面X′Y′平面上的投影。X′軸與矩形截面區(qū)域的長邊之間的夾角成為扭轉角，如初始扭轉角和最終扭轉角定義為αA和αB。

圖1 三關節(jié)柔順并聯機構示意圖

(a)彎-扭梁

(b)柔順關節(jié)圖2 結構示意圖

基于彎-扭梁的結構優(yōu)化過程如下：首先，定義柔順并聯結構的自由度以及彎-扭梁的初始參數，如邊界尺寸和矩形界面區(qū)域的初始參數等；其次是為剛度優(yōu)化過程定義柔順關節(jié)的幾何設計變量，剛度優(yōu)化的目的是求出剛度矩陣的最優(yōu)適應度函數，如式(10)。該過程中，為找到最佳的彎-扭梁幾何結構預先定義其截面參數而不考慮其附加質量，從而為柔順并聯機構目標工作空間提供一個最優(yōu)剛度比；然后進行動態(tài)相應優(yōu)化，考慮到彎-扭梁截面區(qū)域面積參數、梁附加質量分布和位置來制定動態(tài)優(yōu)化的設計變量?？紤]到柔順并聯機構的高柔順性和快速動態(tài)相應性是相互矛盾的，動態(tài)優(yōu)化過程的適應度函數用式(13)表示，分別表示柔順并聯機構的對期望值的動態(tài)相應以及在最小化適應度函數值f的同時盡可能保證較高的剛度性能。最后，經過優(yōu)化后的柔順并聯機構能夠獲得期望剛度值的同時得到最佳的動態(tài)相應特性。

1.2 剛度建模

剛度優(yōu)化的目的是找到彎-扭梁結構的最優(yōu)設計參數，從而使柔順并聯機構在目標工作空間和尺寸約束的前提下達到最高的剛度比。利用有限元分析方法將梁離散成為若干段，每一部分都代表標準梁單元。假設所有柔順關節(jié)對稱且相同，則彎-扭梁共存在14個設計參數作為剛度優(yōu)化的設計變量。其中基于坐標系(xi,yi,zi)和4個控制點定義貝塞爾曲線結構的參數有12個，剩余兩個則代表彎-扭梁的扭轉角。

每個梁單元剛度矩陣可以表示為Ke，那么設柔順并聯機構中有N個梁單元，則整個柔順并聯機構的總體剛度矩陣可以表示為下式：

(1)

進一步，柔順并聯機構6×6剛度矩陣可以寫成以下基本形式：

(2)

結合施加在移動平臺上的外部載荷P以及對應的位移向量U(Δx,Δy,Δz,θx,θy,θz)，上式可以表示為：

(3)

KU=P

(4)

柔順并聯機構的自由度集為D={1,2,…,6}，6自由度柔順并聯機構中數字1,2,3分別表示三個沿X、Y和Z軸運動的直線自由度；4,5,6分別表示繞X、Y和Z軸轉動的三個轉動自由度。另外，N和M分別表示期望自由度集和非期望自由度集，即N∪M=D，分別用η和μ表示其個數。同時Pi和Ui、Pj和Uj為期望自由度和非期望自由度對應的載荷和位移。由此可知對應的做功為：

(5)

(6)

式中,Ki(或Kj)代表第i(或第j)個組件中對角線剛度矩陣。

對于特定自由度的柔順并聯機構，用單個期望做功值與全部組件的非期望做功值的比值表示機構的運動解耦能力，用R表示其比值關系，具體如下式：

(7)

根據式(5)和式(7)，表示柔順并聯機構最佳剛度值的最小適應度函數值f可以表示為：

(8)

給定柔順并聯機構的自由度，通過期望做功值可以實現最大化機構的工作空間，對應的機構運動解耦能力可以通過增大期望自由度和非期望自由度之間的剛度比實現最大化。

1.3 動態(tài)建模

動力學優(yōu)化的目的是實現機構的目標相應，也就是一階共振模式。主要包括兩個方面，一是彎-扭梁的矩形橫截面參數，二是柔順并聯機構的材料分布情況，具體見圖3。由圖可知，代表彎-扭梁設計變量參數值有6個，分別為彎-扭梁矩形橫截面參數(b1,h1)，附加質量塊橫截面參數(b2,h2)，以及附加質量塊的位置和尺寸參數(P,L)；表示移動平臺參數變量有2個(R,T)。

每個梁單元的質量矩陣用Me表示，則整個柔順并聯機構的質量矩陣可以表示為：

(9)

其中，柔順并聯機構的固有頻率可以表示為F，則頻率向量可以表示為下式：

(10)

(a)彎-扭梁結構 (b)移動平臺圖3 動態(tài)優(yōu)化基本參數

提高柔順并聯機構裝置的剛度可以獲得機構的最佳動態(tài)響應。動態(tài)優(yōu)化的目標是綜合多自由度柔順并聯機構以獲得目標一階共振頻率，此時F1=Fd。動力學數學模型中適應度應滿足兩個條件，一是保持較高的剛度比，另外一個條件是獲得該機構的最佳質量分布。因此，動態(tài)優(yōu)化過程中的適應度函數可以用下式表示：

(11)

2 自由度柔順并聯機構優(yōu)化

以3自由度柔順并聯機構(θx-θy-Z)為例對提出的結構優(yōu)化算法進行分析。柔順并聯機構的最小工作空間設置為5°×5°×5mm，最小剛度比和理想一階共振頻率分別為100和100Hz，移動平臺材料為Al7075-T6，楊氏模量為71.7GPa，泊松比0.33，密度為2.81g/cm3以及屈服強度為503MPa。柔順關節(jié)設計空間為50×50×50mm3，彎-扭梁分為15個梁單元。

2.1 剛度優(yōu)化

剛度優(yōu)化過程中得到的柔順并聯機構的剛度矩陣為對角占優(yōu)矩陣，也就是說在3自由度柔順并聯機構中，對角占優(yōu)矩陣中第3、4和5個對角分量分別對應期望自由度Z、θx和θy。相應的期望自由度與非期望自由度可以表示為N={4,5,3};η=3和M={1,2,6};μ=3。則相應的做功可以表示為：

(12)

(13)

適應度函數為：

(14)

若P為單位載荷，相當于κ=1，則上式可以簡化為：

(15)

根據剛度優(yōu)化過程中的變量參數設置，定義適應度函數初始參數值以及各變量的取值范圍，利用Matlab遺傳算法工具箱求解器進行求解。由剛度優(yōu)化過程合成得到的單個柔順關節(jié)如圖4a所示，由圖可知，該單個柔順關節(jié)扭轉角為零。通過設置兩個彎-扭梁之間不相交這一約束條件，可以在剛度優(yōu)化過程中避免減小誤差，兩個彎-扭梁之間的偏移量設置為1mm?；趦?yōu)化設計變量，對合成的柔順并聯機構進行3D模型的建立，如圖4b。得到柔順并聯機構的柔順矩陣Cs，則剛度優(yōu)化過程可以表示為下式：

(16)

(a)單個柔順關節(jié) (b)柔順并聯機構圖4 剛度優(yōu)化結構

2.2 動力學優(yōu)化及仿真

根據本文提出的柔順并聯機構機構優(yōu)化方法對其進行動力學優(yōu)化，從而得到多自由度柔順并聯機構的質量分布優(yōu)化結構。機構的目標固有頻率為100Hz，同樣利用Matlab遺傳算法工具箱求解器進行多目標動態(tài)優(yōu)化。圖5a為最終得到的柔順并聯機構3D模型，利用ANASY有限元仿真軟件對其進行動力學仿真得到的一階共振模態(tài)，其結果符合目標值100Hz，如圖5b。動力學優(yōu)化得到的柔順矩陣Cd為：

(17)

根據柔順矩陣得到剛度比為：

(18)

(a)柔順并聯機構3D模型 (b)仿真分析一階模態(tài) 圖5 柔順并聯機構

根據式(17)和(18)可知，由于柔順矩陣對角線元素相對于非對角線元素大，綜合的多自由度柔順并聯機構具有良好的運動解耦能力。同時剛度比較大，對應該機構具有較大的工作空間。ANASY數值仿真過程中屈服強度設置為503MPa，工作空間能夠達到8°×8°×5.5mm，其中，相較于優(yōu)化前的柔順并聯機構，對其進行剛度優(yōu)化和動力學優(yōu)化后的柔順并聯機構中彎-扭梁的扭轉角度提高了60%，機構伸長量增加了10%，因此，相比目標工作空間有較大的提升。因此，基于梁機構優(yōu)化方法得到的3自由度柔順并聯機構不僅僅能夠得到較好的剛度，而且還能保持較高運動解耦能力的同時獲得較大的工作空間。

3 結論

本文提出針對多自由度柔順并聯機構剛度優(yōu)化和動力學特性優(yōu)化的新的結構優(yōu)化方法，包括剛度優(yōu)化與動力學優(yōu)化兩個過程，稱為梁結構優(yōu)化方法。該柔順并聯機構主要由移動平臺和3個柔順關節(jié)空間組成。柔順關節(jié)空間中，每個柔順關節(jié)通過一組相互對稱的彎-扭梁進行鉸接。剛度優(yōu)化過程中對彎-扭梁結構的參數進行優(yōu)化，同時對剛度矩陣每個元素單位進行統(tǒng)一，動力學優(yōu)化的目的是在保持最佳剛度的同時獲得所需要的結構動態(tài)特性。為了驗證該方法的有效性，綜合3自由度柔順并聯機構(θx-θy-Z)并利用Matlab遺傳算法求解器和ANASY有限元仿真軟件對其進行計算以及仿真分析。計算結果和仿真結果顯示，優(yōu)化得到的3自由度柔順并聯機構不僅能夠實現較大的工作空間8°×8°×5.5mm，而且其移動剛度比和轉動剛度比分別大于200和4000。

本文提出的柔順并聯機構優(yōu)化方法不僅僅局限于3自由度的柔順機構的優(yōu)化過程，同時也為合成更高自由度柔順并聯機構提供了基礎，如5自由度以及6自由度。另外，合成柔順并聯機構的新方法也將用于探索3D打印技術實現復雜幾何形狀的制備等問題。

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(編輯李秀敏)