摘要：筆者從“運動軌跡是線段”“運動軌跡是圓弧”兩大類型展開對“軌跡類”問題的探究，再依據(jù)其特點和性質(zhì)進行細化，歸納出“軌跡類”問題的一些特點和常用解法；同時提出了幾點對教學的思考，與同行共勉。

關(guān)鍵詞：軌跡；圓??；教學思考

“軌跡類”探究題一直是中考的一類熱點問題，同時也是難點問題。筆者所在的淮安市，在停歇數(shù)年后，今年的填空壓軸題又出現(xiàn)了這種“軌跡類”問題。筆者所在學校是市直屬重點學校，仍有大部分學生對這類題型感覺無從下手，可想而知，本題得分率是相當?shù)偷?。那么，如此看來，初中階段對“軌跡類”問題的研究就非常必要且迫切，筆者經(jīng)和同事們研究、探索，歸納出以下幾類“軌跡類”問題，歸納出了較為簡單易掌握的解題方法，與同行共勉，供學生參考。

一、 “線段類”軌跡

（2016·海模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E在邊AD上，且AE∶

ED=1∶3。動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止。過點E作EF⊥PE，交射線BC于點F，設(shè)M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為。

解：法一：如圖1所示：過點M作GH⊥AD。

∵AD∥CB，GH⊥AD，則GH⊥BC。

在△EGM和△FHM中，∠MGE=∠MHF=90°∠GME=∠FMHEM=MF

∴△EGM≌△FHM。∴MG=MH。

∴點M的軌跡是一條平行于BC的線段。

當點P與A重合時，BF1=AE=2，

當點P與點B重合時，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，

∴∠F2=∠EBF1?！摺螮F1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2。

∴BF1EF1=EF1F1F2，即：26=6F1F2，

∴F1F2=18，∵M1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2=12F1F2=9。

法二：建立如圖2所示平面直角坐標系。

過點F作FG⊥AD于點G，設(shè)AP=x，∵∠PEF=90°，

∴△APE∽△GEF，∴AEFG=APEG，即26=xEG。

∴EG=3x，則E（2，6），F(xiàn)（2+3x，0）。

∵M是EF中點，可得M（2+32x，3）。

∵M點縱坐標是常數(shù)3，

∴M點運動軌跡是平行于BC的線段。

∵0≤x≤6，則起點M1（2，3），終點M2（11，3）∴M點運動軌跡長為9。

【評析】本題主要考查的是點的軌跡問題，方法一主要從幾何的角度入手，涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，探究出動點經(jīng)過的路徑是解題的關(guān)鍵。方法二主要是從代數(shù)角度入手，建立平面直角坐標系，通過相似，探索出動點的坐標表示，從而發(fā)現(xiàn)動點的運動軌跡，再從變量的取值范圍得到軌跡長。

二、 “圓弧類”軌跡

（2016·淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是。

解：如上右圖，為了探究點P到邊AB的距離最小值，首先要找到點P的運動軌跡，由題意知在翻折過程中，點P到點F的距離始終等于2，所以，動點P的運動軌跡是以點F為圓心，2為半徑的圓弧，從而當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，利用△AFM∽△ABC，得到AFAB=FMBC，所以FE=165，而PF=2，故有PE=65。

【評析】此題表面上看起來是翻折問題，動點問題，其實解決問題的關(guān)鍵是得到頂點P的運動軌跡，再結(jié)合相似可解決問題。根據(jù)很多同學的錯誤想法，值得注意的是，雖然始終有∠FEP=90°，即點P也始終在以FE為直徑的圓上，但是E點是動點，F(xiàn)E始終在變，所以這樣考慮無法解決問題。

三、 對教學的幾點思考

（一） 善于歸納總結(jié)，提升思維高度

教師跳入題海，學生才能跳出題海。教師跳入題海的目的是什么呢，就是能把同類型的題目歸納總結(jié)，提煉出通法，同時還要會舉一反三，融會貫通。

（二） 重視學生“四基”，提高課堂品質(zhì)

2011年版《數(shù)學課程標準》提出了學生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。較之之前的課程要求，新增了基本思想和基本活動經(jīng)驗。為了體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，這就要求課堂教學中要善于引導學生歸納并體會數(shù)學中常用的思想方法。

（三） 培養(yǎng)學生“四能”，倡導合作創(chuàng)新

2011年版《數(shù)學課程標準》提出“體會數(shù)學知識之間……增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”這就要求教學設(shè)計環(huán)節(jié)中要有學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的平臺；教學探索環(huán)節(jié)中教師要退居二線，不可包辦、代辦，要突出學生的主體地位，引導學生要有自主思考，合作探究的數(shù)學活動意識。

作者簡介：

韓先麗，江蘇省淮安市，江蘇省淮陰中學新城校區(qū)。