徐幼專，周后卿

(1.邵陽廣播電視大學，湖南 邵陽 422000；2.邵陽學院 理學院，湖南 邵陽 422000)

圖的能量來源于理論化學.20世紀 70年代,著名數學化學家I.Gutman[1]提出了簡單圖的能量的概念，將能量定義為圖的特征值的絕對值之和.化學家在研究共軛的碳氫化合物的性質時,發(fā)現(xiàn)總π電能與共軛的碳氫化合物形成時所釋放的能量密切相關，而且它過去常常被用來計算共軛烴的共振能量,所得結果和其他較為先進的方法所得到的結果一樣好.于是,我們經常會用計算物質的 總π-電子能量來得到它的能量.在理論化學中,六角系統(tǒng)作為苯環(huán)的自然表示是一個很重要的圖類,它的總π-電子能量是其化學構造和其穩(wěn)定性的一個橋梁,并且在許多領域都有廣泛應用.因此對其拓撲性質中總π-電子能量的研究,不但在理論上而且在實際中也具有重要意義.

π電能的計算最終歸結為其分子圖的所有特征值的絕對值之和[2-4].圖的能量與圖的特征值有關，即與圖譜有關，圖的譜理論與Huckel分子軌道理論之間存在明確的對應關系,如圖的譜對應于分子能級,特征向量對應于分子軌道等等.圖的能量問題實際上是矩陣(鄰接矩陣，拉普拉斯矩陣，距離矩陣等等)的特征值問題，而特征值問題是矩陣理論的一個主要研究對象[5,6]，許多科學與工程問題最終都轉化成特征值問題來解決.因此，依據矩陣理論來研究圖的能量是一個常用的研究方法.循環(huán)圖是一類重要的圖，它具有結構穩(wěn)定的特點，許多化學分子式就是具有6個頂點的循環(huán)圖的復制粘合疊加.

1　有關能量下界的一些結論

McCLELLAND[10]利用頂點、邊和行列式，證明了下列結論：

如果G是一個具有n頂點m條邊，鄰接矩陣為A的簡單圖，則G的能量滿足

對于二部圖，GUTMAN[11]改寫了上述下界，獲得了下列結果：

CAPOROSSI[12]等人發(fā)現(xiàn)了一個簡單的下界，只與邊有關，他們證明了

DAS[13]等人改進了文獻[10]的下界，他們推出了下列結論：

等式成立當且僅當G與完全圖Kn同構.

利用矩陣特征值，F(xiàn)ATH-TABAR[14]等人給出了下界：

MILOVANOVIC[15]等人獲得了下列結果：

DAS[16]等人在此基礎上有所改良，若|λ1|≥|λ2|≥…≥|λk|(kn)，他們證明了

本文研究循環(huán)圖能量的下界.

2　有關循環(huán)圖的背景

一個圖G稱為循環(huán)圖,如果它的鄰接矩陣是一個循環(huán)矩陣,它是循環(huán)群上的Cayley 圖.

設循環(huán)圖G(n,S)的鄰接矩陣為

由于A是實對稱矩陣，因此A的特征值為實數.從而在(1)式中有

所以,循環(huán)圖的特征值為

假設S={n1,n2,…,np}，ni∈{1,2,…,n-1},則G(n,S)是一個度為p的正則圖,因此在c0,c1,…,cn-1中，只有p個元素等于1，其余的均為0.顯然c0=0,從而有

(2.1)

其中,n1,n2,…,np分別表示它們在矩陣中所處的列數.

3　定理及證明

下面，我們證明本文的定理.

定理1若G(n,S)是一個具有n個頂點的3-循環(huán)圖(即3度循環(huán)圖)，則

證明假設G(n,S)是一個具有n個頂點，m條邊的3度循環(huán)圖.由3n=2m可知，n一定為偶數，S的形式一定為S={a,n/2,n-a}(1a

所以，

則 1)當n為偶數時，

2)當n為奇數時，

證明假設G(n,S)是一個具有n個頂點，m條邊的4度循環(huán)圖.由4n=2m可知，n可為偶數也可為奇數.由(2.1)可知，此時的循環(huán)圖的特征值為

顯然λ0=4.于是，我們可推出該循環(huán)圖的能量

1)當n為偶數時，

從而推出

2)當n為奇數時，

所以，

例如，取n=20,S={2,6,14,18}時,對于循環(huán)圖G(20,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={42,18,-18,-42}.所求能量為E(G(20,S))=32.

用定理2來求，則有

顯然成立.

若取n=13,S={1,2,11，12}時，對于循環(huán)圖G(13,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={4,2.907 02,0.426 92,-0.170 92,-1.256 02,-1.700 82,-2.206 22}.所求能量為E(G(13,S))=21.335 6.

再利用定理2來求，

定理3若G(n,S)是一個頂點為n的r-循環(huán)圖,S={n1,n2,…,nr}，1n1<…

2)當r為偶數時，

證明1)若r為奇數,顯然頂點數n必為偶數,則有

n1+nr=…=n(r-1)/2+n(r+3)/2=2n(r+1)/2=n

由(2.1)式有

于是，得到循環(huán)圖的能量為

2)若r為偶數,n可為偶數也可為奇數.因為n1+nr=…=nr/2+n(r+2)/2=n，

從而，推出循環(huán)圖的能量為

于是，定理得到證明.

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