陳斌

解三角形時(shí)往往會(huì)遇到求邊、角或代數(shù)式的取值范圍（或最值）問(wèn)題，解決這類問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)是自然的，只要關(guān)注核心概念，就能悟出求解此類問(wèn)題之道。

本部分的核心概念當(dāng)屬“三角形”，它的內(nèi)涵包含邊邊、角角和邊角關(guān)系，重要定理是內(nèi)角和定理、正弦定理和余弦定理。它的外延已經(jīng)豐富到了任意三角形。“三角形”的概念對(duì)本部分起著統(tǒng)領(lǐng)和主導(dǎo)作用。

例1.已知△ABC中，B=60°，AC=■求AB+2BC的最大值.

分析：本題只要關(guān)注到核心概念之邊角關(guān)系，若根據(jù)正弦定理，則把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而利用三角函數(shù)求最值即可；若根據(jù)余弦定理，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了直線與曲線的關(guān)系問(wèn)題，相切時(shí)取最值。

簡(jiǎn)解一：因?yàn)椤?■=■=K，而■=2，

則AB=2sinC，BC=2sinA，

故AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（■-A）+4sinA

=5sinA+■cosA=2■sin（A+φ），φ∈（0，2π）

又A∈（0，■）

故AB+2BC的最大值為2■.

簡(jiǎn)解二：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，由余弦定理的推論cosB=■，所以a2+c2-ac=b2=3，設(shè)c+2a=m，代入上式并整理得7a2-5am+m2-3=0，Δ=84-3m2≥0故m≤2■

當(dāng)m=2■時(shí)，此時(shí)a=■，c=■符合題意，

因此最大值為2■.

例2.在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且B=2A，求■的取值范圍.

分析：本題的核心概念仍然是三角形的邊角關(guān)系，解題思路還是根據(jù)正弦定理，把關(guān)于邊的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，從而求三角函數(shù)的值域；但是，本題的另一個(gè)核心概念是“銳角三角形”，只有關(guān)注到它，才能正確確定出函數(shù)的定義域。

簡(jiǎn)解：在銳角△ABC中，∵B<■ ∴A=■<■

∵A+B=π-C>■ ∴3A>■ ∴A>■

∴■

由正弦定理得：■=■=■=2cosA

∴2cos■<2cosA<2cos■ ∴■<■<■

綜上所述，■的取值范圍為（■，■）.

例3.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，求x的取值范圍.

分析：本題的核心概念是“三角形有兩個(gè)解”，由此確定出函數(shù)的定義域即可.

簡(jiǎn)解：∵■=■=2■ ∴a=2■sinA

因?yàn)锳有兩個(gè)值，所以a>b，故A>45°

∵A+C=135° ∴45°

又若A=90°也是一解，所以■

所以x的取值范圍是（■，2■）.

例4.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2，若f（2）=0，求角C的取值范圍。

分析：本題的核心概念仍然是邊角關(guān)系，但轉(zhuǎn)化的方向是由邊到角，具體方法是由余弦定理和均值不等式可得cosC的范圍，再通過(guò)解三角不等式得角C的取值范圍。

簡(jiǎn)解：因?yàn)閒（2）=0，所以4a2-2（a2-b2）-4c2=0，即a2+b2-2c2=0

由余弦定理，得cosC=■=■，

所以cosC=■≥■=■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

所以cosC≥■，而角C是銳角，又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在（0，■）上單調(diào)遞減，所以角C的取值范圍（0，■].

例5.已知鈍角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，其最大內(nèi)角不超過(guò)120°，求a的取值范圍.

分析：本題易錯(cuò)，原因是容易忽視核心概念三角形之邊邊關(guān)系。事實(shí)上，若三角形的三邊長(zhǎng)均含有參數(shù)，一定要考慮構(gòu)成三角形的邊邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三邊.

簡(jiǎn)解：因?yàn)殁g角三角形的三邊分別是a，a+1，a+2，且其最大內(nèi)角不超過(guò)120°

a+（a+1）>a+20>■≥-■ ∴解得■≤a<3

故a的取值范圍是（■，3].

例6.在平行四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，求AB的取值范圍.

分析：本題給出的條件是四邊形，但核心概念仍然是三角形及其邊角關(guān)系，考慮到AD是可以變化的，作出圖形，平移AD，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合于點(diǎn)E時(shí)，AB最長(zhǎng)，當(dāng)AD與CF重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置時(shí)AB的長(zhǎng)，即可求出AB的范圍。

簡(jiǎn)解：如圖所示，

∠A=∠B=∠C=75°，所以∠D=135°，又BC=2，

所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，由正弦定理可得■=■，解得AB=■-■，

所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，由正弦定理可得■=■，解得AB=■+■，

因?yàn)锳BCD為四邊形，所以AB的取值范圍為（■-■，■+■）.

？誗編輯 郭小琴