☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 顧曉莉

在生活、生產(chǎn)等方面的實(shí)際應(yīng)用問題中，其研究的兩個(gè)變量可能呈現(xiàn)諸如反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)等非線性關(guān)系，解決這個(gè)問題時(shí)，關(guān)鍵是如何確定函數(shù)f（x）或g（x）的具體形式，需要針對(duì)具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過散點(diǎn)圖和有關(guān)函數(shù)曲線知識(shí)，選取一個(gè)或幾個(gè)合適的函數(shù)，然后通過觀察變換數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)等確定一個(gè)合適的函數(shù)形式，達(dá)到非線性回歸關(guān)系轉(zhuǎn)化的目的.

一、非線性回歸分析的基本步驟

非線性回歸問題往往沒有相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式，需要通過我們的經(jīng)驗(yàn)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.根據(jù)已知相關(guān)的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，把圖形所對(duì)應(yīng)的曲線與已經(jīng)學(xué)過的各種基本初等函數(shù)（反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的圖像作一比較，挑選一種與所作出的這些散點(diǎn)比較吻合的函數(shù)，通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸來分析，使之得以解決.其一般的解題基本步驟如下：

二、非線性回歸分析的應(yīng)用

1.擬合函數(shù)的直接應(yīng)用

例1 某個(gè)電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，此后電壓U隨著時(shí)間t的變化的規(guī)律可以用公式U=Aebt（b＜0）來表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t（s）時(shí)的電壓U（V）如下表：

t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 10075 55 40 30 20 15 10 10 5 5

試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程.（提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題）

分析：結(jié)合題目條件，根據(jù)已知擬合函數(shù)，先對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，通過解決線性回歸方程后再加以轉(zhuǎn)化.

解析：對(duì)U=Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得lnU=lnA+bt.

令y=lnU，a=lnA，x=t，則y=a+bx，y與x的數(shù)據(jù)如下表：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6

根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖1所示，從圖中可以看出，y與x具有較好的線性關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得≈3.045，由公式計(jì)算得

圖1

因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為U?=e-0.313t·e4.61.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解決非線性相關(guān)問題，可以通過相應(yīng)的初等函數(shù)模型加以轉(zhuǎn)化，建立與線性函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其目的是對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題加以合理與正確的統(tǒng)計(jì)處理與數(shù)據(jù)分析.

（1）高職院校仍然沿用傳統(tǒng)講授式教學(xué)，由于高數(shù)課程的困難，很難構(gòu)建討論式、學(xué)生活動(dòng)式、探究式、發(fā)現(xiàn)式課程體系。微積分難度較高，本科學(xué)生尚且望而生畏，清華大學(xué)的學(xué)生甚至都存在不感興趣的情況，更不用說高職院校的學(xué)生了。（2）應(yīng)試教育的評(píng)價(jià)方式讓專業(yè)課程難以建立，高職高數(shù)課時(shí)相對(duì)知識(shí)體系較少，學(xué)生為了通過考試只能硬背題型，照葫蘆畫瓢，既不能宏觀理解，也不能應(yīng)用，在畢業(yè)以后也很少應(yīng)用到高數(shù)。（3）教材脫離專業(yè)，枯燥繁瑣，傳統(tǒng)高數(shù)教材的特點(diǎn)就是虛，沒有服從專業(yè)的內(nèi)在需求，過度緊張的教學(xué)和功利化的傾向，加上學(xué)而不用，造成了高數(shù)學(xué)習(xí)的焦慮。

2.擬合函數(shù)的選取應(yīng)用

例2 在一次抽樣調(diào)查中，測(cè)得相關(guān)樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表所示：

x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1

試建立變量y與x之間的回歸方程.

分析：先作出兩個(gè)相關(guān)變量y與x之間的散點(diǎn)圖，根據(jù)所作的散點(diǎn)圖的變化規(guī)律，選取恰當(dāng)?shù)臐M足其規(guī)律的擬合函數(shù)，通過求解線性回歸方程，最后再轉(zhuǎn)化為與之相應(yīng)的非線性回歸方程.

解析：根據(jù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，作出相關(guān)變量y與x的散點(diǎn)圖，如圖2所示，

由圖中散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)可知，變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系.

t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1

作出變量y與t所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖3，如圖所示：

圖3

點(diǎn)評(píng)：解決非線性相關(guān)問題的關(guān)鍵是函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化問題，其實(shí)質(zhì)是建立對(duì)應(yīng)函數(shù)與線性函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而達(dá)到合理科學(xué)分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的目的.

3.擬合函數(shù)的綜合應(yīng)用

例3 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表所示：

身高x（cm） 體重y（kg） 身高x（cm） 體重y（kg）60 6.13 120 20.92 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

（1）試建立體重y與身高x之間的回歸方程；

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm、體重為82kg的在校男生體重是否正常？

分析：（1）先通過散點(diǎn)圖來確定樣本分布的指數(shù)函數(shù)，再通過換元，把這個(gè)指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)函數(shù)進(jìn)行求解；（2）根據(jù)（1）所求的回歸方程，結(jié)合對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)加以判斷與應(yīng)用.

解析：（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖4所示：

圖4

由圖可看出，樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y=c1ec2x的周圍，于是可令z=lny，那么有：

x z x z 60 1.81 120 3.04 70 2.07 130 3.29 80 2.30 140 3.44 90 2.50 150 3.66 100 2.71 160 3.86 110 2.86 170 4.01

作出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖5所示：

圖5

由散點(diǎn)圖可知，z與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，

（2）當(dāng)x=175時(shí)，預(yù)測(cè)平均體重y?=e0.0197×175+0.6927≈66.22，由于66.22×1.2≈79.47＜82，則該男生體重偏胖.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用散點(diǎn)圖判斷回歸方程的方法，求非線性回歸方程以及利用回歸方程進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)的能力與方法.利用表中的數(shù)據(jù)以及回歸分析的方法求出回歸方程，然后代入數(shù)值進(jìn)行分析與預(yù)測(cè).

對(duì)于解決一些非線性相關(guān)問題，其主要的解決方式就是通過建立與之相關(guān)的初等函數(shù)模型，利用初等函數(shù)模型加以轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到非線性相關(guān)問題與線性函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)方法、統(tǒng)計(jì)思維方式來解決與之相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題，達(dá)到合理的統(tǒng)計(jì)處理與數(shù)據(jù)分析，真正做到通過數(shù)學(xué)來服務(wù)實(shí)際生活.J