☉江蘇省海門中學(xué) 王 娟

概率專題的內(nèi)容是歷年各地高考試題中必考的內(nèi)容，客觀題一般都會(huì)側(cè)重于計(jì)數(shù)原理、排列組合等概率問題的考查，而主觀題則會(huì)側(cè)重統(tǒng)計(jì)圖表等知識(shí)為主的綜合能力的考查，概率問題的試題在整個(gè)數(shù)學(xué)高考試卷中所占的比例是不容忽視的.

一、復(fù)習(xí)應(yīng)著眼于概念難點(diǎn)的突破

概率專題的復(fù)習(xí)跟其他任何專題一樣，都應(yīng)著眼于概念定義的回顧并夯實(shí)這一必要的基礎(chǔ)，學(xué)生對概念的表征只能停留在字面符號(hào)上是概率專題復(fù)習(xí)中比較常見的，由此常常導(dǎo)致學(xué)生在理解與應(yīng)用方面出現(xiàn)差錯(cuò).

1.基本事件等可能

拋硬幣、擲骰子等模型是建立在基本事件等可能基礎(chǔ)上的經(jīng)典的古典概型模型，學(xué)生面對這些貼近生活的古典概型模型一般都不會(huì)有太大的問題，但在幾何概型問題的理解中因?yàn)榛臼录倪x擇不當(dāng)往往會(huì)忽略一些判斷從而導(dǎo)致概率公式的盲目套用，最終產(chǎn)生錯(cuò)誤.例1就是一道比較容易出錯(cuò)的典型習(xí)題.

例1 如圖1，在等腰Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)為C，過C點(diǎn)在∠ACB內(nèi)作射線CM并使其與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率.

很多學(xué)生憑借已有經(jīng)驗(yàn)立馬得出M落在AB上的位置是等可能的，因此作出了這一答案.事實(shí)上，M落在AB上的位置是不等可能的，從題中條件可知，射線CM在∠ACB中是等可能分布的，基本事件為思考問題的角度得以確定，因此，應(yīng)在AB上截取AC′=AC，則∠ACC′=67.5°，所以滿足題設(shè)的概率為

圖1

2.條件概率和事件的獨(dú)立性

一般來說，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P（A）＞0，稱P（B|A）在事件A發(fā)生的條件之下事件B發(fā)生的條件概率.

學(xué)生對于條件概率的公式雖然一般都能背誦出來，但很多對其求解卻不得要領(lǐng)，究其原因，還是學(xué)生對于事件A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)的概率P（AB）比較難以理解.也有為數(shù)不少的學(xué)生在一些具體情境中會(huì)直接默認(rèn)為P（A）P（B），事實(shí)上，P（AB）=P（A）P（B）必須建立在事件A，B相互獨(dú)立的基礎(chǔ)之上，這正是學(xué)生在這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).

二、復(fù)習(xí)應(yīng)著眼于基本原理的策略運(yùn)用

概率的理解離不開計(jì)數(shù)問題的理解與解決，這其中所蘊(yùn)含的分類加法與分步乘法原則不僅僅是排列組合產(chǎn)生的源頭，而且還是復(fù)雜計(jì)數(shù)問題中最為基本的支干，此類問題的解決應(yīng)在兩個(gè)原理的指導(dǎo)下并憑借排列組合的工具來完成，枚舉法、捆綁法、插空法以及正反轉(zhuǎn)化等方法是此類問題解決中經(jīng)常用到的解題策略.

學(xué)生在高一、高二年級(jí)已經(jīng)初步掌握了計(jì)數(shù)中的一些基本策略和技能，因此，很多學(xué)生對簡單基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)問題往往會(huì)表露出比較輕視的態(tài)度，但面對一些比較復(fù)雜的概率問題往往又覺得難度甚大而束手無策，矛盾心理的產(chǎn)生使得解題變得更加困難.筆者在一些訪談與觀察之后發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在此類復(fù)雜問題的解決中一般都在分類討論上出現(xiàn)了差錯(cuò)，尤其面對一些限制條件較多的復(fù)雜題目，學(xué)生在解題著眼點(diǎn)的突破上往往比較混亂，分類依據(jù)的探尋也就更加有難度了，即使有的學(xué)生能夠進(jìn)行分類研究，但也會(huì)缺乏應(yīng)有的判斷，下述例2是筆者曾經(jīng)在課堂教學(xué)中引用的反饋練習(xí).

例2 某城市在城市廣場即將建造的一個(gè)花圃的形狀，花圃分成了如圖2所示的6個(gè)區(qū)域，上級(jí)要求在該花圃中栽種4種不同的花，每個(gè)區(qū)域栽種一種但相鄰區(qū)域栽種的花不能相同，不同的栽種方法一共有多少種呢？

圖2

分析：這是根據(jù)四色原理改編的一個(gè)問題，解題首先要明確的是題中所給出的限制條件，根據(jù)圖中所給出的區(qū)域結(jié)構(gòu)特征以及四種花必須種全這一條件可以推斷出區(qū)域1內(nèi)的花必須跟其他所有區(qū)域都不相同，因此，區(qū)域2、3、4、5、6內(nèi)必須栽種3種不同的花才能符合題意要求.大多數(shù)學(xué)生對這些推斷一般都是能夠理解的，但將3種不同的花種入剩下的5個(gè)區(qū)域內(nèi)應(yīng)該如何分配對于學(xué)生來說卻是很困難的.事實(shí)上，面對接下來的問題，如果能夠列表并采取枚舉法來進(jìn)行配湊與排除進(jìn)行解題也就比較清楚明了了.

表1

根據(jù)學(xué)生在這部分內(nèi)容中學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行分析，學(xué)生一旦掌握插空、捆綁等比較有技巧的策略后卻往往不易遺忘，在具體問題的解決與實(shí)施中也一樣如此，這是比較奇怪的.枚舉法這一最為基礎(chǔ)的方法在簡單的運(yùn)用中一般會(huì)受到學(xué)生的輕視，在復(fù)雜問題的運(yùn)用中卻又常常令學(xué)生望而卻步，這種矛盾的局面與學(xué)生心理在枚舉法的運(yùn)用中是比較常見的.比如，枚舉法在換座位、n位數(shù)排列等常見問題的解決中是分類討論時(shí)必須經(jīng)歷的，教師在教學(xué)中首先應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的重視態(tài)度并引導(dǎo)學(xué)生在解題中嚴(yán)謹(jǐn)操作，使得問題能夠得到不重不遺的分類研究與解決.

三、復(fù)習(xí)應(yīng)著眼于模型的正確提取

考查超幾何分布與二項(xiàng)分布之間聯(lián)系與區(qū)別的主觀題在歷年高考試題中并不少見，筆者在復(fù)習(xí)教學(xué)中曾經(jīng)為學(xué)生提供了以下一個(gè)反饋練習(xí).

例3 某食品廠檢查一條自動(dòng)包裝流水線生產(chǎn)情況時(shí)隨機(jī)抽取了40件產(chǎn)品并分別進(jìn)行了稱重，產(chǎn)品重量（單位：克）的分組區(qū)間如下：（490，495］，（495，500］，…，（510，515］，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制如圖3所示的樣本頻率分布直方圖.

圖3

（1）根據(jù)頻率分布直方圖對重量超過505克的產(chǎn)品個(gè)數(shù)進(jìn)行求解.

（2）在40件產(chǎn)品中任意抽取2件并設(shè)重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為ε，求ε的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（3）如果在這條流水線上任意抽取5件產(chǎn)品，求正好有3件產(chǎn)品的重量超過505克的概率.

分析：學(xué)生在這道二項(xiàng)分布與超幾何分布融合的習(xí)題中很好地解決了第（1）、（2）小題，但在第（3）小題中卻出現(xiàn)了兩種答案，且兩種答案在人數(shù)上勢均力敵.

解答2：設(shè)超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為X，則X～B（5，0.3），則所求概率P（X=2）=（0.3）（20.7）3=0.3087（.這一解答約占54%）

學(xué)生的困惑主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①兩個(gè)分布應(yīng)該怎樣進(jìn)行正確的區(qū)分呢？②分布不同，但為何最后的答案卻又如此接近呢？

筆者以為困惑①的解決應(yīng)該著眼于兩者本質(zhì)區(qū)別特征的揭示.

二項(xiàng)分布與超幾何分布的抽象形式分別是“有放回”和“不放回”，前者可以看成為獨(dú)立重復(fù)的，每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果且各結(jié)果在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率穩(wěn)定.后者則表現(xiàn)為產(chǎn)品總數(shù)是有限的.超幾何分布與二項(xiàng)分布在抽樣形式“不放回”變成“有放回”時(shí)是可以轉(zhuǎn)變的.

困惑②的解決則應(yīng)該著眼于二者概率計(jì)算公式的證明.事實(shí)上，二者的概率在總數(shù)N很大時(shí)甚至可以相等.這一證明過程并沒有必要一定要向?qū)W生展示，但教師應(yīng)該聯(lián)系實(shí)際并作出通俗的解釋.一般說來，抽樣計(jì)算的概率在有放回與不放回時(shí)結(jié)果應(yīng)該是不一樣的，而且其結(jié)果在總體樣本容量比較小時(shí)會(huì)展現(xiàn)出巨大的落差，但抽取的樣本數(shù)因?yàn)榭傮w樣本容量特別大的緣故對總體的影響不會(huì)產(chǎn)生很大的影響，超幾何分布此時(shí)轉(zhuǎn)變成了二項(xiàng)分布且在概率上表現(xiàn)為相等.因此，教師在教學(xué)中還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對“放回”、“獨(dú)立”、“總量很大”等關(guān)鍵詞進(jìn)行重點(diǎn)關(guān)注，使學(xué)生能夠在準(zhǔn)確提取相關(guān)分布模型的前提下進(jìn)行問題的解決.

概率問題在近年來的高考試題中越來越呈現(xiàn)出其廣闊的背景，越來越多的其他知識(shí)也交匯到了概率問題中，融合不等式、算法、數(shù)列、平面向量、立體幾何等諸多知識(shí)的交匯題在高考試題中屢見不鮮，不過，這些背景不斷得到創(chuàng)新的試題所要考查的重點(diǎn)始終沒有改變，不管其中知識(shí)綜合的轉(zhuǎn)化與遷移是如何發(fā)生與發(fā)展的，學(xué)生只要能夠抓住問題的本質(zhì)并結(jié)合自己牢固的知識(shí)基礎(chǔ)就一定能夠以不變應(yīng)萬變.J