左　熹,王婷婷,王炳輝,蘇　慧

(1.金陵科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，江蘇 南京 211169；2.南京工業(yè)大學(xué) 巖土工程研究所，江蘇 南京 210009；3.江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0　引　言

地震波傳播過程中會在地下隧道結(jié)構(gòu)表面產(chǎn)生反射和散射，并引起動應(yīng)力集中，使得隧道結(jié)構(gòu)的受力和變形等都會受到明顯的影響。對于地下隧道對地震波的散射問題，可采用數(shù)值法和解析法進(jìn)行求解。數(shù)值法的顯著特點(diǎn)是可適用于任意形狀隧道。C. C. MEI等[1]采用邊界元法對圓形孔洞在飽和多孔介質(zhì)中產(chǎn)生的波散射問題進(jìn)行了研究；G. P. KOURETZIS等[2]對P波作用下的無筋混凝土襯砌的波動反應(yīng)進(jìn)行了研究，并采用有限元分析法進(jìn)行了驗(yàn)證。H. ALIELAHI等[3]運(yùn)用邊界元法分析了土層中隧洞襯砌受垂直入射SV波與P波的地震響應(yīng)。解析法在分析問題本質(zhì)方面有著數(shù)值法不可替代的作用，而且解析法還可用來檢驗(yàn)數(shù)值法的精度。國內(nèi)外許多學(xué)家對彈性波散射對圓形襯砌的解析解及相關(guān)問題已經(jīng)進(jìn)行了研究。Y. H. PAO等[4]運(yùn)用波函數(shù)方法得出了彈性介質(zhì)中圓形襯砌對波散射問題的解析解，C. P. YI等[5]運(yùn)用波函數(shù)展開法，建立了圓形襯砌隧道的邊界模型，研究了隧道結(jié)構(gòu)在平面P波作用下的界面效應(yīng)。齊輝等[6]利用復(fù)變函數(shù)和Green函數(shù)法研究了無限半空間中雙相介質(zhì)界面附近圓形襯砌對SH波的散射與動應(yīng)力集中問題。C. P. ZHOU等[7]采用復(fù)變函數(shù)分析了雙孔洞的波散射與應(yīng)力集中問題。

當(dāng)隧道結(jié)構(gòu)埋設(shè)于可液化的飽和土體之中，由于可液化土體是一種飽和兩相介質(zhì)，動力過程中兩相介質(zhì)相互耦合，故其動力響應(yīng)較之理想彈性介質(zhì)要復(fù)雜得多。M. A. BIOT最早建立了飽和土的波動理論，并進(jìn)行了飽和土體彈性半空間的波動分析[8]，此后，國內(nèi)外許多專家基于M. A. BIOT提出的飽和介質(zhì)波動理論對飽和介質(zhì)中孔洞(洞室)或襯砌對彈性波的散射和動應(yīng)力集中問題進(jìn)行研究，周香蓮等[9]在Biot波動理論的基礎(chǔ)上，采用復(fù)變函數(shù)法研究了平面P波的散射和動應(yīng)力集中以及對深埋圓形襯砌的影響；徐平等[10]采用修正的Biot模型，研究了入射平面P波在飽和土中不透水的圓柱殼體上的散射問題。G. B. LIU等[11]基于Biot波動理論研究飽和土體中半封閉圓形襯砌邊界處徑向位移隨入射頻率的變化規(guī)律。

由于液化后土體的力學(xué)特性與固體有顯著差異，并表現(xiàn)出低抗剪性、高流動性等流體性質(zhì)[12]，因此，基于流體的觀點(diǎn)來研究液化土體問題是一種新穎的研究思路。筆者將液化后土體視為黏性流體，從黏性流體的運(yùn)動方程和連續(xù)性方程導(dǎo)出波動方程，并且證明了液化土體的波動損耗，結(jié)合復(fù)變函數(shù)法推導(dǎo)出隧道結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，求解出半無限空間中波動位移場和應(yīng)力場，并研究了隧道結(jié)構(gòu)動應(yīng)力集中的分布特點(diǎn)。

1　液化土體的波動方程

由于液化土體具有非牛頓流體的特性，因此，液化土體的運(yùn)動方程可采用黏性流體的運(yùn)動方程，其阻滯剪切變形的粘滯效應(yīng)可用動力黏度η來描述，運(yùn)動方程如下[13]：

(1)

式中：ρ為液化土體的密度；ν為液化土體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度向量；P為液化土體流動壓力。

假設(shè)地震動作用下場地液化變形過程中產(chǎn)生的瞬時(shí)變形為簡諧波形式，其位移振幅為a，圓頻率為ω，則土質(zhì)點(diǎn)速度為aω，從而?ν/?t最大值的數(shù)量級為aω2，而(ν)ν的數(shù)量級為a2ω2k=a2ω3/V，其中k為波數(shù)，V為波速。由條件(ν)ν??ν/?t可得出aω?V。因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于截止波動的變形條件，可將式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

設(shè)液化土體的初始靜壓力為P0，余壓為p，即

p=P-P0

(3)

假設(shè)液化土體的初始密度為ρ，則壓力為P時(shí)的流體密度ρ′為

ρ′=ρ(1+δ)

(4)

式中：δ為流體的相對密度變化，表征為

(5)

由于靜壓力的空間變化是可以忽略的，因此由式(2)、(3)、(5)可得到土體液化的運(yùn)動方程：

(6)

此外，液化土體也應(yīng)該滿足連續(xù)性方程，即

(7)

根據(jù)式(4)并忽略二級小量，可將式(7)轉(zhuǎn)換為

(8)

由式(6)、式(8)可得出液化土體的波動方程：

(9)

可采用位移向量u表示波動方程，令

(10)

則方程(9)化為

(11)

采用勢函數(shù)φ和φ來描述質(zhì)點(diǎn)位移u[14]，得：

u=φ+×φ，且·φ=0

(12)

把式(12)代入式(11)，對等號左右兩邊求散度以及求旋度，可得到用勢函數(shù)φ和φ表示的波動方程：

(13)

可以看出，由于動力黏度η的影響，式(13)表征為有損耗的波動方程。

2　平面P波作用下液化場地中隧道結(jié)構(gòu)的波場分析

2.1　控制方程

當(dāng)入射P波傳播到隧道結(jié)構(gòu)表面時(shí)，由于不同介質(zhì)對波傳播的影響，在隧道表面產(chǎn)生反射P波和反射轉(zhuǎn)換SV波，同時(shí)會產(chǎn)生散射P波和散射轉(zhuǎn)換SV波。將液化時(shí)刻的土體運(yùn)動視為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，可忽略時(shí)間t的影響，根據(jù)液化土體的波動方程，基于Helmholtz方程，隧道結(jié)構(gòu)在P波作用下應(yīng)分別滿足：

(14)

(15)

位移場在復(fù)平面可表示為

(16)

位移場的極坐標(biāo)形式可表示為：

(17)

式中：θ為極徑r與水平軸的夾角。

應(yīng)力場的極坐標(biāo)形式為

(18)

(19)

(20)

2.2　隧道結(jié)構(gòu)周圍半無限空間的波場

2.2.1波場的勢函數(shù)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

入射P波在隧道結(jié)構(gòu)表面產(chǎn)生的散射P波和散射SV波的勢函數(shù)為

(26)

(27)

入射P波在半空間自由表面激發(fā)的散射P波和散射轉(zhuǎn)換SV波的勢函數(shù)為

(28)

(29)

2.2.2隧道結(jié)構(gòu)周圍半無限空間中波動位移場

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

2.2.3半空間中的波動應(yīng)力場

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

2.3　邊界條件

根據(jù)液化土體與隧道結(jié)構(gòu)之間分界面位移和應(yīng)力的連續(xù)條件，可將入射P波所產(chǎn)生的總波場位移代入位移和應(yīng)力場中，可得出待定系數(shù)的邊界條件：

(42)

其中：

(43)

式中：下標(biāo)1、2分別代表地下結(jié)構(gòu)和地下結(jié)構(gòu)周圍的半空間介質(zhì)區(qū)域；R為隧道結(jié)構(gòu)半徑。

3　算例分析

根據(jù)場地液化過程中土體的不同液化狀態(tài)，分別采取不同的土體動力參數(shù)來研究隧道結(jié)構(gòu)在不同液化狀態(tài)時(shí)的動力響應(yīng)。根據(jù)土體的液化特性，取土體不同液化程度時(shí)的動力黏度η=10、102、103Pa·s，密度ρ=1 800 kg/m3，泊松比ν=0.3，剪切波速vs=200 m/s；隧道結(jié)構(gòu)的彈性模量E=3.0×104MPa，泊松比ν=0.3，地下隧道結(jié)構(gòu)外徑與內(nèi)徑之比a/b=1.2，地下結(jié)構(gòu)埋深比為h/b=2。假定入射P波以相同的圓頻率進(jìn)行傳播，略去時(shí)間因子，用入射波波數(shù)kp與地下隧道結(jié)構(gòu)外徑a組成的無量綱波數(shù)來表示空間上的頻率，即無量綱入射波波數(shù)kp=2πa/λ，其中λ為入射波的波長。

根據(jù)邊界條件，將波場中的勢函數(shù)代人式(17)～式(20)的應(yīng)力場中，可求得各待定系數(shù)，再由式(18)和式(19)得到隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向動應(yīng)力分布場，通過定義動應(yīng)力集中系數(shù)反映隧道結(jié)構(gòu)在地震波作用下所產(chǎn)生的徑向和環(huán)向動應(yīng)力集中程度[15]，公式如下：

(44)

(45)

圖1～圖5分別為P波0°、30°、45°、60°、90°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)在不同動力黏度液化土體中產(chǎn)生的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布。由圖1～圖5可以看出：P 波入射時(shí)隧道結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布隨入射角度不同而呈現(xiàn)出明顯差異。P波45°入射時(shí)環(huán)向應(yīng)力對稱分布于隧道結(jié)構(gòu)的兩側(cè)，徑向應(yīng)力斜向分布且與隧道結(jié)構(gòu)水平中軸線成30°角，并在端部出現(xiàn)較大的峰值點(diǎn)。P波垂直入射時(shí)隧道結(jié)構(gòu)的環(huán)向和徑向應(yīng)力峰值較大，并且應(yīng)力對稱分布于隧道結(jié)構(gòu)的兩側(cè)，環(huán)向應(yīng)力峰值位于結(jié)構(gòu)的上部和下部，徑向應(yīng)力峰值位于結(jié)構(gòu)腰部左右兩側(cè)。動力黏度對隧道結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力集中有明顯的影響，在P波0°、30°、45°、60°、90°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布均表現(xiàn)為隨動力黏度的變化而改變，動力黏度越小，應(yīng)力集中程度越高。

圖1　P波0°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布Fig. 1　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 0° incidence

圖2　P波30°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布Fig. 2　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 30° incidence

圖3　P波45°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布Fig. 3　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 45° incidence

圖4　P波60°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布Fig. 4　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 60° incidence

圖5　P波90°入射作用下隧道結(jié)構(gòu)的徑向和環(huán)向應(yīng)力集中分布Fig. 5　Stress concentration distribution of the tunnel structure in radial and circumferential direction under P-wave 90° incidence

4　結(jié)　論

將液化土體視為黏性流體，以波動理論為基礎(chǔ)，從黏性流體的運(yùn)動方程和連續(xù)性方程導(dǎo)出波動方程，結(jié)合復(fù)變函數(shù)法推導(dǎo)出隧道結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，并求解隧道結(jié)構(gòu)周圍半無限空間中波動位移場和應(yīng)力場，分析了隧道結(jié)構(gòu)在平面P波作用下所產(chǎn)生的徑向和環(huán)向動應(yīng)力集中程度，得出了以下結(jié)論：

1) 通過黏性流體的運(yùn)動方程可導(dǎo)出液化土體的波動方程，并證明了液化土體的波動方程的損耗與動力黏度有關(guān)。

2) 基于Helmholtz方程，根據(jù)液化土體的波動方程，可推導(dǎo)出入射P波傳播到隧道結(jié)構(gòu)表面時(shí)液化土體半無限空間中的波動位移場和應(yīng)力場。

3) P波入射時(shí)隧道結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中分布隨入射角度不同而呈現(xiàn)出明顯差異。動力黏度對隧道結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力集中有明顯的影響，隧道結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布隨動力黏度的變化而改變，動力黏度越小，應(yīng)力集中程度越高。

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