李龍澍，翁晴晴

(安徽大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，合肥 230601)(*通信作者電子郵箱ahuwqq@126.com)

0　引言

1997年，Storn等[1]提出了一種簡單且高效的差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法。該算法具有良好的收斂性及簡單易懂的特性，在解決全局優(yōu)化問題中受到越來越多研究者的青睞，被廣泛應(yīng)用于解決工程設(shè)計優(yōu)化[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]等問題。

但是，標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法需要設(shè)計者根據(jù)先驗知識提前設(shè)置縮放因子F和交叉概率Cr，在算法進(jìn)化過程中無法根據(jù)進(jìn)化方向和優(yōu)化問題的復(fù)雜性動態(tài)地改變控制參數(shù)的取值，致使在處理高維問題及多峰值問題時算法易陷入局部最優(yōu)而過早收斂[4-5]；另外在算法后期時，種群往往集中于最優(yōu)值附近，導(dǎo)致種群的多樣性減少，無法產(chǎn)生更好的個體。因此，許多研究者集中于差分進(jìn)化算法自適應(yīng)方面的研究[6-8]。其中，SaDE(Self-adaptive Differential Evolution)算法[9]首次實現(xiàn)動態(tài)調(diào)整縮放因子F及交叉概率Cr，其通過高斯分布動態(tài)地調(diào)整F和Cr的取值。另外一種是由Brest等[10]提出的自適應(yīng)參數(shù)差分進(jìn)化jDE(self-adapting control parameters in Differential Evolution)算法，利用均勻分布調(diào)整相關(guān)的控制參數(shù)，并采用啟發(fā)式規(guī)則為每一個體賦予不同的值。最經(jīng)典的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法是由Zhang等[11]提出的自適應(yīng)差分進(jìn)化JADE(Adaptive Differential Evolution with optional external archive)算法，其采用了一種全新的current-to-pbest/1變異策略，即在每一次迭代過程中，從100*p(p為概率)種群中隨機(jī)選取一個個體作為當(dāng)前最優(yōu)個體，并應(yīng)用于變異策略中；另外利用柯西分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布動態(tài)地更新F和Cr，提高了種群向最優(yōu)值聚攏的速度。Tanabe等[12]在JADE的基礎(chǔ)上提出了SHADE(Success-History based parameter Adaptation for Differential Evolution)算法，其利用每一代控制參數(shù)的平均值來引導(dǎo)控制參數(shù)動態(tài)調(diào)整，提高了算法的魯棒性，使得該算法運行更加穩(wěn)定。Yi等[13]在JADE的基礎(chǔ)上提出了pbest-JADE算法，該算法在100*p種群中使用輪盤賭的方式選擇最優(yōu)個體，進(jìn)一步提高了算法的收斂性和精確性。

以上研究主要集中于自適應(yīng)差分進(jìn)化算法的控制參數(shù)調(diào)整和變異策略的改進(jìn)，并沒有考慮到每代種群中單個個體的局部開發(fā)能力。研究表明在進(jìn)化算法迭代過程中引入機(jī)器學(xué)習(xí)能夠獲得更高的收斂精度和收斂速度[14]。這是因為機(jī)器學(xué)習(xí)通過對進(jìn)化算法迭代搜索過程中所存儲的搜索空間、問題特征和種群信息等大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，即在全局優(yōu)化過程中，通過特征提取等方式提取有用信息引導(dǎo)種群的搜索方向。許多應(yīng)用領(lǐng)域通過引入機(jī)器學(xué)習(xí)的進(jìn)化算法都使得收斂速度與問題收斂精度有所提高。

由Tizhoosh[15]提出的反向?qū)W習(xí)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法通過同時對當(dāng)前解集與其反向解集進(jìn)行適應(yīng)度評估，選擇更優(yōu)的解集，用以進(jìn)行下一迭代過程，以期提高算法整體搜索能力，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于各智能搜索算法，如差分進(jìn)化(DE)算法[16]、粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization， PSO)算法[17]、智能蜂群(Artificial Bee Colony， ABC)算法[18]等，以提高算法的收斂速度。 Rahnamayan等[19]首次提出了基于反向?qū)W習(xí)的差分進(jìn)化算法，在該算法中，采用基于反向?qū)W習(xí)的機(jī)制來初始化種群。之后越來越多的研究學(xué)者提出改進(jìn)后的基于反向?qū)W習(xí)的差分進(jìn)化算法。Omran等[20]結(jié)合反向?qū)W習(xí)、差分進(jìn)化算法并引入混沌搜索策略提出了CODEQ(Chaotic search, Opposition-based learning for Differential Evolution and Quantum mechanics)算法，較好地解決了種群易陷入局部最優(yōu)的問題。 Wang 等[21]改進(jìn)了基礎(chǔ)的反向?qū)W習(xí)的機(jī)制，提出了一種基于GOBL(Generalized Opposition-Based Learning)的差分進(jìn)化算法。實驗結(jié)果表明，以上改進(jìn)后的反向?qū)W習(xí)機(jī)制應(yīng)用于差分進(jìn)化算法中不僅提高了算法的尋優(yōu)能力，而且能夠保證在較短的時間內(nèi)收斂到最優(yōu)值附近。

因此，本文在已有JADE算法的基礎(chǔ)上，提出一種增強(qiáng)型反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)差分進(jìn)化(Opposition-based Learning of Adaptive Differential Evolution， OL-ADE)算法，通過反向精英學(xué)習(xí)，增加種群的局部搜索能力，獲取更加精確的最優(yōu)個體；同時，采用高斯分布隨機(jī)性提高單個個體的開發(fā)能力；提高了種群的多樣性，避免算法進(jìn)入早熟，從而實現(xiàn)整體上平衡全局與局部的搜索能力。為了驗證本文OL-ADE算法的性能，采用CEC(Congress on Evolutionary Computation)2014中的6個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗，實驗結(jié)果表明OL-ADE算法具有較高的精確性、收斂性和可靠性。

1　基礎(chǔ)概念

1.1　差分進(jìn)化算法

按照進(jìn)化過程中控制參數(shù)能否根據(jù)當(dāng)前種群進(jìn)化信息進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，可將差分進(jìn)化算法分為普通差分進(jìn)化算法和適應(yīng)性差分進(jìn)化算法。差分進(jìn)化算法屬于貪婪性進(jìn)化算法，其主要有三個操作，即變異、交叉和選擇；算法利用種群中多個個體的差異性作為個體的擾動量，使得算法在跳躍距離和搜索方向上具有自適應(yīng)性。在標(biāo)準(zhǔn)及其改進(jìn)的差分進(jìn)化算法中，變異操作對種群的進(jìn)化方向起著決定性作用。因而現(xiàn)有的改進(jìn)方法都是在原有變異策略基礎(chǔ)上加入新的選擇或評判標(biāo)準(zhǔn)，以期提高算法整體性能。以下列舉了應(yīng)用較廣泛的適應(yīng)性差分進(jìn)化算法的幾種變異策略[13]：

DE/best/1:

vi(t)=xbest(t)+Fi(xr1(t)-xr2(t))

(1)

DE/current-to-best/1:

vi(t)=xi(t)+Fi(xbest(t)-xr1(t))+

Fi(xr1(t)-xr2(t))

(2)

DE/current-to-pbest/1:

vi(t)=xi(t)+Fi(xpbest(t)-xr1(t))+

Fi(xr1(t)-xr2(t))

(3)

其中：Fi為適應(yīng)性差分進(jìn)化算法中隨迭代次數(shù)增加而動態(tài)調(diào)整的縮放因子，取值范圍為(0,1)；xr1(t)、xr2(t)和xr3(t)是從當(dāng)前代數(shù)種群集合{1,2,…,NP}{i}中隨機(jī)選擇的互不相同的個體；xpbest(t)為當(dāng)前種群中最優(yōu)個體；NP表示種群規(guī)模大小。

1.2　反向?qū)W習(xí)

Tizhoosh[15]提出的反向?qū)W習(xí)是用于機(jī)器學(xué)習(xí)的一種優(yōu)化策略，即在算法每一次迭代時，同時檢測這些當(dāng)前解的所有反向解，并從當(dāng)前解集合與反向解集合中選擇更利于算法進(jìn)化的解，從而減少算法的盲目性。隨著反向?qū)W習(xí)的發(fā)展，越來越多的研究學(xué)者開始關(guān)注這一機(jī)器學(xué)習(xí)算法，并在改進(jìn)反向?qū)W習(xí)方法的工作中取得了較好的成果。以下對基本反向?qū)W習(xí)及幾種改進(jìn)的反向?qū)W習(xí)作簡單介紹。相關(guān)概念定義如下：

(4)

在Rahnamayan等[22]于2007年提出的QODE(Quasi Oppositional Differential Evolution)算法中，對反向?qū)W習(xí)作出如下改進(jìn)：

(5)

Mi=(ai+bi)/2

(6)

其中rand(x,y)為在區(qū)間(x,y)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。數(shù)理邏輯證明，在黑盒優(yōu)化問題中，通過改進(jìn)后的QODE所求得的擬反向解更接近優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

Wang等[23]于2011年提出了GOBL策略，在反向求解的過程中通過引入權(quán)重來控制反向解的取值范圍：

(7)

其中k為(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

在Seif等[24]于2015年所發(fā)表的文章中引入了新的反向解集求解模式，如式(8)所示：

(8)

與式(8)所求反向解對應(yīng)的是根據(jù)原有解集通過均勻分布獲得與當(dāng)前反向解相對的反向解集，如式(9)所示，通過對三個解集的評估，選取其中最優(yōu)解。

(9)

2　OL-ADE算法

由于優(yōu)化問題復(fù)雜性各不相同，而同一問題在不同的進(jìn)化階段所需的變異策略和控制參數(shù)也應(yīng)有所改變。因此，如何在差分進(jìn)化算法進(jìn)化過程中動態(tài)調(diào)控控制參數(shù)取值一直是研究的創(chuàng)新點與熱點。由于JADE算法的變異策略是從100*p(p為概率)個種群中隨機(jī)選取一個個體作為xpbest取代當(dāng)前最優(yōu)個體用以變異操作，該策略豐富了種群多樣性也降低了差分進(jìn)化算法的收斂速度。而本文在JADE算法的基礎(chǔ)上提出一種基于反向?qū)W習(xí)的變異策略，對用于變異操作的個體定義了新的選擇標(biāo)準(zhǔn)，具體如下：

vi(t)=φi(t)+Fi(xopbest(t)-φi(t))+

Fi(xr1(t)-xr2(t))

(10)

其中：xopbest和φi由本文所述方式進(jìn)行選擇；xr1、xr2為隨機(jī)選擇的互不相同的個體；Fi使用JADE中的方式確定。

2.1　基于反向?qū)W習(xí)的最優(yōu)個體xopbest的選擇

在JADE中， 100*p個個體為精英種群，從中隨機(jī)選擇一個個體作為最優(yōu)個體。本文采用如下過程獲取最優(yōu)個體：

1)隨機(jī)取精英種群NP1={x1(t),x2(t),…,xN(t)}，xi(t)=(xi,1(t),xi,2(t),…，xi, j(t),…,xi,D(t))，其中N=100*p，i=1,2,…,N。

M=(x1+x2+…+xN)/N

(11)

(12)

其中：i=1,2,…,N,j=1,2,…D，N為精英種群中個體個數(shù)。充分利用精英種群中每一個體信息求取反向精英種群，這一策略提高了算法的探測能力，進(jìn)而增強(qiáng)算法的整體尋優(yōu)能力。

3)從NP1∪NPop中選擇適應(yīng)度值最好的個體xxbest，并計算xmean=(x1+x2+…+x2N)/2N，利用式(13)計算xopbest:

(13)

根據(jù)此方法求得xopbest能夠保證算法在更大的搜索空間內(nèi)搜尋最優(yōu)值，從而引導(dǎo)個體向最優(yōu)值進(jìn)化，提高算法的收斂速度。

2.2　φi 的選擇標(biāo)準(zhǔn)

許多改進(jìn)的智能優(yōu)化算法都繼承了原算法過早收斂的特性，差分進(jìn)化算法亦是如此。而本文根據(jù)反向?qū)W習(xí)機(jī)制確定的xopbest的選擇標(biāo)準(zhǔn)，雖然提高了算法的局部搜索能力，增加了最優(yōu)解的精確度，但在多峰值問題尋優(yōu)過程中，同其他差分進(jìn)化算法一樣，容易陷入局部最優(yōu)。為解決這一問題，本文在一定的概率下對用于變異階段的個體引入高斯分布隨機(jī)搜索，在每個個體搜索可行解的過程中進(jìn)行擾動，提高單個個體的開發(fā)能力，具體如下：

(14)

2.3　改進(jìn)的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法

不同于現(xiàn)有的一些反向?qū)W習(xí)應(yīng)用于算法的種群初始化階段，本文將其應(yīng)用于差分進(jìn)化算法的選擇策略中，這樣減少了算法對大量冗余數(shù)據(jù)的計算量；且本文算法選擇自適應(yīng)的差分進(jìn)化算法，即將反向?qū)W習(xí)機(jī)制與自適應(yīng)機(jī)制中最優(yōu)個體的選擇相結(jié)合，選擇出更適用于變異策略的最優(yōu)個體。原有的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法用于變異策略的個體種群為NP1，而經(jīng)過反向?qū)W習(xí)機(jī)制后，形成的反向解集NPop可以加強(qiáng)算法對精英個體鄰域的探測，即將原有NP1與現(xiàn)有NPop相結(jié)合，反向精英個體也參與競爭，選擇當(dāng)前適應(yīng)度值最好的個體，并利用式(13)計算出xopbest。

圖1　個體間差異曲線Fig. 1　Individual difference curve

在差分進(jìn)化算法中，基于反向?qū)W習(xí)的xopbest的選擇不僅保證算法能在更大的搜索空間內(nèi)搜尋最優(yōu)值，而且還提高了算法的局部搜索能力，提高了算法的收斂速度。同時利用高斯分布進(jìn)行φi個體的選擇，豐富了種群多樣性，減輕了算法因應(yīng)用反向?qū)W習(xí)所帶來的過早收斂的壓力。φi與xopbest相結(jié)合，在增強(qiáng)種群局部搜索能力的同時，整體上平衡了全局搜索與局部尋優(yōu)的能力。自適應(yīng)控制參數(shù)的引入，能夠動態(tài)調(diào)整算法中的各個控制參數(shù)，減少人為設(shè)置參數(shù)的影響。OL-ADE偽代碼具體如算法1。

算法1Procedure of OL-ADE。

1)

Begin

2)

SetμCR=0.5;μF=0.5;p=0.05;c=0.1;

//μCR為交叉概率，μF為縮放因子，

//p為選擇精英種群的概率，c為常量

3)

Initial population {xi(0)|i=1,2,…,NP}

4)

Fort=1 toT

5)

SCR=?;SF=?;

//SCR和SF分別存放變異及

//交叉成功的后代個體所對應(yīng)的自適應(yīng)的μF和μCR

6)

Fori=1 toNP

7)

GenerateCRi=rand(μCR,0.1)，F(xiàn)i=rand(μF,0.1);

8)

Choosexopbestby formulate (13);

9)

Randomly choosexr1(t)≠xi(t) from current populationP;

10)

Randomly choosexr2(t)≠xi(t) andxr1(t)≠xr2(t) from current populationP;

11)

vi(t)=φi(t)+Fi(xopbest(t)-φi(t))+

Fi(xr1(t)-xr2(t))

12)

Generatejrand=rand(1,D)

13)

Forj=1 toD

14)

Ifj=jrandor rand(0,1)

15)

ui, j(t)=vi, j(t);

16)

Elseui, j(t)=xi, j(t);

17)

End for

18)

Iff(xi(t))≤f(ui(t))

19)

xi(t+1)=ui(t);CRi→SCR;Fi→SF;

20)

Elsexi(t+1)=xi(t)

21)

End for

22)

μCR=(1-c)·μCR+c·meanA(SCR);

//meanA(SCR)表示算術(shù)平均值

23)

μF=(1-c)·μF+c·meanL(SF);

//meanL(SF)表示Lehmer平均值

24)

t=t+1

25)

End for

26)

End

3　實驗分析

在對比實驗中，本文研究選擇了四個經(jīng)典的差分進(jìn)化算法包括DE、jDE、JADE和pbest-JADE進(jìn)行對比，其中JADE又分為存檔JADE(JADE with Archive)和不存檔JADE(JADE w/o Archive)。

3.1　實驗參數(shù)

為評估本文所提方法的性能，從CEC 2014上選擇如下6個基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行實驗：

為了保證實驗的公平性，實驗參數(shù)值設(shè)為文獻(xiàn)[13]建議的參數(shù)值，即μCR=0.5,μF=0.5;p=0.05;c=0.1；所有算法種群規(guī)模NP=100，維度D=30;另外，每個算法最大迭代次數(shù)為2 000；同時，為了減少實驗環(huán)境對實驗結(jié)果造成的誤差，每個算法獨立運行30次。所有實驗程序在Matlab R2010a版本下運行，PC環(huán)境為Windows操作系統(tǒng)Intel Core i3 CPU 2.0 GHz和4 GB內(nèi)存。

3.2　收斂精度

本組實驗主要測試本文算法OL-ADE與其他五種算法在維度為30的情況下獨立運行30次所獲得的最優(yōu)解的平均值與方差。

表1中將每一個測試函數(shù)中結(jié)果最好的以粗體標(biāo)記，以方便辨識。從表1中可以看到，本文算法的每一測試函數(shù)適應(yīng)值均值與方差都比其他算法低，表明本文算法更加精確地趨于理論最優(yōu)值，且穩(wěn)定性較高。為進(jìn)一步分析實驗結(jié)果，表1還給出了每個算法的Friedman平均排名(Friedman Average Rank, FAR)[25]，可以發(fā)現(xiàn)本文算法表現(xiàn)最好。

圖2分別展示了在30維情況下這六種對比算法運行6個基準(zhǔn)測試函數(shù)找到最優(yōu)解的變化曲線，其中X軸表示算法的迭代次數(shù)，Y軸采用log坐標(biāo)表示函數(shù)的適應(yīng)值。從圖2可以看出，本文算法大部分函數(shù)的收斂速度要高于其他算法，而且收斂精度也略高于其他算法，主要原因取決于通過反向精英學(xué)習(xí)能夠獲得最優(yōu)當(dāng)前個體，快速引導(dǎo)算法向最優(yōu)值靠近。

圖2　測試函數(shù)收斂曲線(D=30)Fig.2　Convergence curve of test functions (D=30)

3.3　算法可靠性

為了驗證本文算法的可靠性，為每個測試函數(shù)的適應(yīng)值設(shè)置一個閾值，觀察算法達(dá)到閾值的成功率，其中，假定所有函數(shù)的閾值為1.0E-5。在表2中列出了每個測試函數(shù)到達(dá)閾值的平均迭代次數(shù)及成功率，其中NA表示在算法達(dá)到最大迭代次數(shù)時都沒有收斂到事先所設(shè)置的閾值。另外，為便于辨識，在表2中將每一個測試函數(shù)中最好的結(jié)果設(shè)置為粗體?？梢钥吹?，除了f5函數(shù)以外，本文OL-ADE都是最先達(dá)到預(yù)設(shè)收斂閾值，體現(xiàn)了OL-ADE算法具有較高的收斂速度。本文方法是通過豐富種群多樣性來提高收斂精度，而f5函數(shù)的可行解定義域較大，所以O(shè)L-ADE算法在進(jìn)化初期因在可行解定義域內(nèi)形成的種群豐富度大導(dǎo)致進(jìn)化初期算法收斂速度較慢，因此達(dá)到固定收斂閾值所需迭代次數(shù)較多。另外，本文提出的OL-ADE算法的成功率基本上都達(dá)到100%，從而表明OL-ADE算法更加可靠。

綜上所述，本文算法OL-ADE與DE、jDE、JADE with Archive、JADE w/o Archive 和pbest-JADE相比，在精確性、收斂速度和可靠性上表現(xiàn)更加優(yōu)越。

表1　測試函數(shù)的均值和方差(D=30)Tab. 1　Mean value and standard deviation for test functions (D=30)

表2　不同算法對各測試函數(shù)的平均迭代次數(shù)和成功率Tab. 2　Average number of iterations and success rate for test functions under different algorithms

4　結(jié)語

本文提出了一種基于反向?qū)W習(xí)自適應(yīng)差分進(jìn)化算法OL-ADE。該算法利用反向?qū)W習(xí)機(jī)制求取反向解集，提高了種群的局部搜索能力；同時在變異階段引入高斯分布，有效減輕了算法因使用反向?qū)W習(xí)引起的收斂過快而使得種群陷入局部最優(yōu)的負(fù)擔(dān)；另外，OL-ADE算法將反向?qū)W習(xí)與高斯分布相結(jié)合，在增強(qiáng)種群局部搜索能力的同時，整體上平衡了全局搜索與局部尋優(yōu)的能力。最后，本文使用CEC 2014中6個基準(zhǔn)測試函數(shù)對本文所提算法與其他差分進(jìn)化算法進(jìn)行仿真實驗，結(jié)果表明本文OL-ADE算法收斂更快、精度更高，即OL-ADE算法總體性能和可靠性較高。在下一步工作中，將在多目標(biāo)優(yōu)化問題中對增強(qiáng)型反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)算法在收斂性及可靠性方面作進(jìn)一步研究。

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