■北京市第十二中學(xué)高中部　高慧明

■北京市教育學(xué)院豐臺(tái)分院　張 琦

本刊特邀欄目專家簡(jiǎn)介:

高慧明 首屆全國(guó)十佳班主任,全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師,國(guó)家教育部課程改革“全國(guó)先進(jìn)工作者”,全國(guó)著名高考數(shù)學(xué)命題與考試研究專家,國(guó)家教育部“國(guó)培計(jì)劃”全國(guó)中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長(zhǎng)培訓(xùn)特邀主講專家,受邀在全國(guó)各地做有關(guān)高考科學(xué)備考、班級(jí)管理等多場(chǎng)專題報(bào)告?，F(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué)高中部。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)》(2016)在《選修Ⅰ課程》中《一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用》這一章明確要求同學(xué)們要“收集對(duì)微積分的創(chuàng)立和發(fā)展起重大作用的有關(guān)資料,包括一些重要?dú)v史人物(牛頓、萊布尼茨、柯西、魏爾斯特拉斯等)和事件,采取獨(dú)立的方式或者小組合作的方式,完成一篇有關(guān)微積分創(chuàng)立與發(fā)展的研究報(bào)告”。

微積分基本可以看作初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的分水嶺,它充分體現(xiàn)了人類抽象思維的魅力和強(qiáng)大。那么接下來(lái)我們就來(lái)看看微積分的發(fā)展簡(jiǎn)史吧。

一、微積分思想的萌芽

有人曾指出,自然科學(xué)史上以令人驚嘆的創(chuàng)造性方式工作的三大科學(xué)巨匠是古希臘的阿基米德(Archimedes)、17世紀(jì)英國(guó)的牛頓(Newton)和20世紀(jì)德國(guó)的愛(ài)因斯坦(Einstein)。根據(jù)1906年重新發(fā)現(xiàn)的阿基米德羊皮卷古抄本,早在公元前200多年,阿基米德就已經(jīng)將積分想法廣泛應(yīng)用于處理圖形的面積、物體體積等問(wèn)題。我們可以認(rèn)為阿基米德已經(jīng)掌握了我們后世稱之為積分學(xué)的精髓。

我們來(lái)看看阿基米德如何使用“窮竭法”求拋物線面積的(《拋物線求積》命題24)。他的證明如下:

如圖1,C是弓形ACB的頂點(diǎn),以△ABC的兩邊AC和BC為新的底截弓形,得頂點(diǎn)D和E,阿基米德在引理中從幾何上證明了新增的面積為△ABC面積的。繼續(xù)使用AD,DC,CE,EB為新的底來(lái)截弓形,依此類推,阿基米德指出后一次新增面積是前一次新增面積an,來(lái)代表這些面積,其中最大面積a1等于m(S△ABC)。隨著n的增大,多邊形面積將越來(lái)越接近弓形的面積。阿基米德經(jīng)過(guò)巧妙的代,其中Sn表示前n項(xiàng)面積的和,也即弓形的內(nèi)接多邊形的面積。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)處理,阿基米德算得弓形面積等于

圖1

在上述使用“窮竭法”證明的過(guò)程中,阿基米德清楚地向我們展示了處理此類問(wèn)題的微積分思想,即先將不可求量拆成小的可求量(微分思想),再將這些小量累加求和(積分思想)。

二、微積分思想產(chǎn)生的時(shí)代背景

16、17世紀(jì),科學(xué)急速發(fā)展。此時(shí)初等數(shù)學(xué)已不能滿足社會(huì)的需要,在這一階段中,許多科學(xué)問(wèn)題亟待解決,這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái),大約有四種主要類型:第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的瞬時(shí)速度問(wèn)題;第二類是求曲線的切線的問(wèn)題;第三類是函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題;第四類是曲線圍成圖形的面積、曲面圍成幾何體的體積等問(wèn)題。

三、微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

一般認(rèn)為,英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。他們的功績(jī)主要在于:

1.把各種問(wèn)題的解法統(tǒng)一成一種方法,微分法和積分法;

2.有明確的計(jì)算微分法的步驟;

3.證明了微分和積分互為逆運(yùn)算。

牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋,他的第一個(gè)微積分短評(píng)是于1669年在《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析學(xué)》里給出的。在這部專著里他運(yùn)用了無(wú)窮小量,并通過(guò)二項(xiàng)式定理擴(kuò)展了其適用性。在這篇論文中,牛頓運(yùn)用了一個(gè)無(wú)窮小矩形或者面積“瞬”的概念,并且發(fā)現(xiàn)了曲線的面積。在這本書里,牛頓介紹了他特有的符號(hào)和概念。牛頓把變化率稱為流數(shù),用字母上加點(diǎn)的“標(biāo)記字母”表示;他稱變化的量為流量。牛頓將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分,并證明了二者的互逆關(guān)系進(jìn)而將這兩類運(yùn)算逐步統(tǒng)一成一個(gè)整體。1687年牛頓發(fā)表了他的具有劃時(shí)代意義的科學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》,流數(shù)術(shù)(即微積分)是其三大發(fā)現(xiàn)之一。

相比于牛頓的工作,萊布尼茨的創(chuàng)造性工作的數(shù)學(xué)特征更加明顯。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發(fā)得到積分的概念。1684年萊布尼茨發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇正式的微積分文獻(xiàn)《一種求極限值和切線的新方法》。這篇文獻(xiàn)是他自1673年以來(lái)對(duì)微積分研究的概括與成果,其中敘述了微分學(xué)的基本原理,認(rèn)為函數(shù)的無(wú)限小增量是自變量無(wú)限小變化的結(jié)果,且把這個(gè)函數(shù)的增量叫作微分,用字母d表示,并得到廣泛使用。還給出了和、差、積、商及冪的微分法則。同時(shí)包括了微分法在求切線、極大值、極小值及拐點(diǎn)方面的應(yīng)用。兩年后,他又發(fā)表了一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不變量及其無(wú)限的分析》,其中首次使用積分符號(hào)“∫”,初步論述了積分問(wèn)題與微分求切線問(wèn)題是互逆問(wèn)題。這就是今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式(x)dx=F(b)-F(a),為我們勾畫了微積分學(xué)的基本雛形和發(fā)展藍(lán)圖。

牛頓建立微積分是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā),而萊布尼茨茨則從幾何學(xué)的角度去考慮,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),并有效地促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展,萊布尼茨第一個(gè)表達(dá)出微分和積分之間的互逆關(guān)系。將微分和積分統(tǒng)一起來(lái),是微積分理論得以建立的一個(gè)重要標(biāo)志。

四、微積分與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用范圍的廣泛性,微積分成為了解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。以求速度為例,瞬時(shí)速度是當(dāng)Δt趨向于零時(shí)的值。但是Δt是零,是很小的量,還是什么東西?這個(gè)無(wú)窮小量究竟是不是零?這引起了極大的爭(zhēng)論,引起了學(xué)界對(duì)微積分基礎(chǔ)的質(zhì)疑,從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

由于數(shù)學(xué)家成功地用微積分解決了許多實(shí)際問(wèn)題,因此有些人就對(duì)這些基礎(chǔ)問(wèn)題的討論不感興趣。如達(dá)朗貝爾(JeanleRond d'Alembert)就說(shuō),現(xiàn)在是“把房子蓋得更高些,而不是把基礎(chǔ)打得更加牢固”。

五、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的慷慨贈(zèng)與

微積分的嚴(yán)格化工作經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試,到19世紀(jì)初已開始顯現(xiàn)成效。對(duì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念,并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華,也是柯西對(duì)人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻(xiàn)。與此同時(shí),柯西還在此基礎(chǔ)上創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)的微積分理論。

柯西對(duì)定積分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作,他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運(yùn)算之前,強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理?？挛麝P(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《無(wú)窮小計(jì)算教程》(1823)以及《微分計(jì)算教程》(1829),它們以分析的嚴(yán)格化為目標(biāo),對(duì)微積分的一系列基本概念給出了明確的定義,在此基礎(chǔ)上,柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定義了級(jí)數(shù)的收斂性,研究了級(jí)數(shù)收斂的條件等,他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶嗽谖⒎e分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂,向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。