蘭　杰, 袁宏杰, 夏　靜

(北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191)

0　引　言

故障樹(shù)分析作為極其重要的系統(tǒng)可靠性分析方法,已廣泛應(yīng)用于電子通信、醫(yī)療、能源、軍事和航空航天等領(lǐng)域。傳統(tǒng)靜態(tài)故障樹(shù)分析方法只重視部件間的與、或、表決等靜態(tài)特性,而忽略了部件間的優(yōu)先關(guān)系、順序關(guān)系、功能相關(guān)性等動(dòng)態(tài)失效特性,因此在分析具有動(dòng)態(tài)失效特征的系統(tǒng)可靠性時(shí)存在較大誤差[1]。為了彌補(bǔ)靜態(tài)故障樹(shù)分析方法在動(dòng)態(tài)特性上建模功能的不足,文獻(xiàn)[2]提出了動(dòng)態(tài)故障樹(shù)分析方法,以Markov理論為基礎(chǔ),建立了動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型。但Markov方法只適用于指數(shù)分布[3-4],而且存在狀態(tài)空間爆炸問(wèn)題,難以適用于大型動(dòng)態(tài)故障樹(shù)的分析。為避開(kāi)Markov模型來(lái)解決動(dòng)態(tài)故障樹(shù),文獻(xiàn)[5]提出了基于復(fù)合梯形積分的計(jì)算方法,但該方法仍然存在組合爆炸的問(wèn)題。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)技術(shù)(Bayesian networks, BN)因具有系統(tǒng)建模、推理和診斷的優(yōu)點(diǎn)[6-8],廣泛應(yīng)用于可靠性分析領(lǐng)域。2001年,文獻(xiàn)[9]提出了靜態(tài)故障樹(shù)轉(zhuǎn)化為BN的方法,并給出BN方法的實(shí)例。2005年,文獻(xiàn)[10-11]提出了基于BN解決動(dòng)態(tài)故障樹(shù)的方法,在建模和分析能力方面有著顯著優(yōu)勢(shì),有效地避免了狀態(tài)爆炸問(wèn)題。文獻(xiàn)[12-13]提出了動(dòng)態(tài)BN分析方法,并給出了優(yōu)先與門(mén)、溫備份門(mén)等動(dòng)態(tài)門(mén)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)BN的方法。2007年,為了克服靜態(tài)或均勻離散帶來(lái)的精度差、效率低等問(wèn)題,文獻(xiàn)[14]提出了動(dòng)態(tài)離散化的方法。2010年,文獻(xiàn)[15]提出了聯(lián)合動(dòng)態(tài)離散化算法和基于事件的BN建模的方法,來(lái)提高服從任何分布的復(fù)雜系統(tǒng)的計(jì)算精度,但計(jì)算和迭代過(guò)程復(fù)雜。

傳統(tǒng)的離散時(shí)間BN(discrete time Bayesian networks, DTBN)方法的計(jì)算時(shí)間、精度和效率受離散的時(shí)間分段n影響極大。針對(duì)此問(wèn)題,本文基于復(fù)合梯形積分方法[5],分析討論了傳統(tǒng)方法計(jì)算的誤差來(lái)源,并提出了新的動(dòng)態(tài)門(mén)轉(zhuǎn)化方法。與傳統(tǒng)方法和Markov方法相比,新的轉(zhuǎn)化方法補(bǔ)償了傳統(tǒng)方法的計(jì)算誤差,提高了結(jié)果的計(jì)算精度和計(jì)算效率,適用于服從各種常見(jiàn)分布的復(fù)雜系統(tǒng)。最后以某測(cè)量系統(tǒng)為例,建立了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)和BN,驗(yàn)證了改良方法的可行性和高效性。

1　DTBN

DTBN是一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖,主要包括兩部分:一部分是由有向邊和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò);另一部分是與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的條件概率表(conditional probability table, CPT)。

將動(dòng)態(tài)故障樹(shù)中每個(gè)基本事件、靜態(tài)或動(dòng)態(tài)邏輯門(mén)和頂事件,用單獨(dú)的BN節(jié)點(diǎn)來(lái)代替;用有向邊來(lái)代表兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在邏輯關(guān)系。如果節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)B之間有一條A指向B的有向邊,則節(jié)點(diǎn)A是B的父節(jié)點(diǎn),B是A的子節(jié)點(diǎn)。對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)Vi,擁有父節(jié)點(diǎn)pa(Vi),則:P(Vi|V1,V2,…,Vi-1)=P(Vi|pa(Vi))。

每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有其相關(guān)的條件概率表CPT。由BN的條件獨(dú)立性可知,每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的CPT可以由P(Vi|pa(Vi))得到,它描述了節(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系。

把整個(gè)任務(wù)工作時(shí)間[0,t]分成n個(gè)均勻的區(qū)間,每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為Δ=t/n,整個(gè)任務(wù)時(shí)間被劃分n+1個(gè)部分:[0,Δ],[Δ,2Δ],[2Δ,3Δ], …，[(n-1)Δ,nΔ],[nΔ,+∞]。設(shè)節(jié)點(diǎn)E=[(x-1)Δ,xΔ],則節(jié)點(diǎn)E在[(x-1)Δ,xΔ]區(qū)間內(nèi)失效,或稱節(jié)點(diǎn)E處于狀態(tài)x。若頂事件ET失效,則必然發(fā)生在這(n+1)個(gè)時(shí)間區(qū)間中。頂事件ET在任務(wù)時(shí)間[0,T]內(nèi)失效的概率為

2　動(dòng)態(tài)故障樹(shù)轉(zhuǎn)化的誤差分析與補(bǔ)償

2.1　優(yōu)先與門(mén)轉(zhuǎn)化分析

2.1.1傳統(tǒng)的優(yōu)先與門(mén)轉(zhuǎn)化方法

優(yōu)先與門(mén)有兩個(gè)輸入事件,當(dāng)且僅當(dāng)A失效,然后B失效,其輸出C才會(huì)失效。優(yōu)先與門(mén)的輸入可以是基本事件,也可以是一個(gè)動(dòng)態(tài)故障樹(shù)的子樹(shù)。優(yōu)先門(mén)向DTBN的轉(zhuǎn)化圖如圖1所示。

圖1　優(yōu)先與門(mén)轉(zhuǎn)化為DTBN

將[0,t]分為n段,每段區(qū)間為Δ=t/n,則當(dāng)A的概率密度為fA(t)時(shí),A在狀態(tài)x的失效概率為

(1)

式中,A可以服從任何概率分布。

不妨設(shè)A的失效概率服從指數(shù)分布,失效率為λa,則概率密度f(wàn)A(t)=λae-λat。B的失效概率也服從指數(shù)分布,失效率為λb,概率密度f(wàn)B(t)=λbe-λbt?？傻肁、B在狀態(tài)x下的失效概率為

(2)

Pb,x=P(B=[(x-1)Δ,xΔ])=(eλbΔ-1)e-λbxΔ

(3)

當(dāng)A、B在時(shí)間段[T,∞)內(nèi)失效,即A、B位于n+1狀態(tài)下的失效概率為

(4)

(5)

由優(yōu)先與門(mén)性質(zhì)可知,當(dāng)且僅當(dāng)A失效,然后B失效,其輸出C才會(huì)失效。傳統(tǒng)的貝葉斯轉(zhuǎn)化方法設(shè)定:如果節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B在同一個(gè)時(shí)間區(qū)間[(x-1)Δ,xΔ]內(nèi)失效,即A、B同時(shí)處于狀態(tài)x時(shí),節(jié)點(diǎn)C的失效概率直接為0，或者為1[16]。

若將A、B、C的工作時(shí)間[0,T]分為n段,則A的CPT為1×(n+1)行列的表,B的CPT為1×(n+1)行列的表,C的CPT為(n+1)×(n+1)×(n+1)的表。節(jié)點(diǎn)C的條件概率分布式為

(6)

當(dāng)A、B中有任一個(gè)節(jié)點(diǎn)位于n+1狀態(tài),即在時(shí)間區(qū)間[T,∞)內(nèi)失效,C節(jié)點(diǎn)在時(shí)間區(qū)間[T,∞)內(nèi)失效的條件概率為1。

對(duì)單一優(yōu)先門(mén),若只需求得節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)時(shí)間[0,T]的失效概率和可靠度時(shí),可簡(jiǎn)化C的CPT的規(guī)模,設(shè)定節(jié)點(diǎn)A、B工作時(shí)間[0,∞)分為n+1段,節(jié)點(diǎn)C的時(shí)間區(qū)間分為[0,T]、[T,∞)兩段。此時(shí)節(jié)點(diǎn)C的CPT為2×(n+1)×(n+1)的表,規(guī)模大幅度變小,且計(jì)算結(jié)果與第3.1節(jié)方法的結(jié)果一樣。節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]失效,則條件概率表分布式為

PT,x,y=P(C=[0,T]|

A=[(x-1)Δ,xΔ],B=[(y-1)Δ,yΔ])=

(7)

PT,x,n+1=P(C=[0,T]|A=

[(x-1)Δ,xΔ],B=[T,∞))=

PT,n+1,y=P(C=[0,T]|A=[T,∞),

B=[(y-1)Δ,yΔ])=

PT,n+1,n+1=P(C=[0,T]|A=[T,∞),

B=[T,∞))=0

(8)

節(jié)點(diǎn)C在時(shí)間區(qū)間[T,∞)失效,則條件概率表分布式為

P(C=[T,∞)|A=[(x-1)Δ,xΔ],

B=[(y-1)Δ,yΔ])=1-PT,x,y

(9)

節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]內(nèi)失效的條件概率表為如表1所示,同理也可得節(jié)點(diǎn)C在區(qū)間[T,∞)的CPT。

表1　優(yōu)先與門(mén)節(jié)點(diǎn)C的CPT

2.1.2誤差分析

在傳統(tǒng)的BN轉(zhuǎn)化方法下,優(yōu)先門(mén)輸出點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]的失效概率Pc為

(10)

由表1可得,式(10)可轉(zhuǎn)化為

(11)

設(shè)ta為A的失效點(diǎn),tb為B的失效點(diǎn),根據(jù)復(fù)合梯形積分方法可得優(yōu)先與門(mén)的輸出頂事件C在任務(wù)區(qū)間[0,T]的失效概率Pc1為

(12)

Pc1是優(yōu)先與門(mén)的頂事件的失效概率的真值,則傳統(tǒng)的BN轉(zhuǎn)化方法的計(jì)算結(jié)果的誤差ε1為ε1=|Pc-Pc1|。

其中可用將任務(wù)區(qū)間[0,T]分為n段的方法,對(duì)式(12)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,則

(13)

由式(11)和式(13)得

(14)

利用夾逼定理可得

(15)

當(dāng)n取值小時(shí),傳統(tǒng)貝葉斯轉(zhuǎn)化方法的誤差會(huì)很大;當(dāng)n→∞時(shí),誤差變小并趨近于0。驗(yàn)證了當(dāng)n取值越大時(shí)傳統(tǒng)貝葉斯轉(zhuǎn)化方法的精度越高,誤差越小,同時(shí)可知當(dāng)n越大時(shí),計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng),各個(gè)部件的CPT的規(guī)模變大。

2.1.3改良方法

根據(jù)前面得出的傳統(tǒng)方法的計(jì)算誤差和復(fù)合梯形積分方法,利用得到的誤差直接修正節(jié)點(diǎn)C的CPT,改良優(yōu)先與門(mén)的轉(zhuǎn)化方法。改良方法在動(dòng)態(tài)門(mén)中不存在重復(fù)事件的情況下完全補(bǔ)償?shù)袅擞?jì)算誤差,進(jìn)而減小了存在重復(fù)事件情形下的動(dòng)態(tài)門(mén)誤差。

設(shè)定如果節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B在同一個(gè)時(shí)間區(qū)間[(x-1)Δ,xΔ]內(nèi)失效時(shí),節(jié)點(diǎn)C的失效概率不直接為0,即

PT,x=

P(C=[0,T]|A=[(x-1)Δ,xΔ],B=[(x-1)Δ,xΔ])=

(16)

特別對(duì)于服從指數(shù)分布的系統(tǒng),即

(17)

則改良后節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]失效,條件概率表分布式為

PT,x,y=P(C=[0,T]|

A=[(x-1)Δ,xΔ],B=[(y-1)Δ,yΔ])=

(18)

改良節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]內(nèi)失效的條件概率表如表2所示。

表2　改良后的優(yōu)先與門(mén)節(jié)點(diǎn)C的CPT

對(duì)于動(dòng)態(tài)門(mén)中不存在重復(fù)事件的情況,改良后的轉(zhuǎn)化方法,在n值很小時(shí)能保證結(jié)果的正確性,即ε1=0。在動(dòng)態(tài)門(mén)中存在重復(fù)事件時(shí),會(huì)存在比傳統(tǒng)方法更加微小的誤差。

2.2　備份門(mén)轉(zhuǎn)化分析

根據(jù)備份件在儲(chǔ)備狀態(tài)時(shí)能量消耗的不同,在備份門(mén)可分為冷備份門(mén)(cold spare gate,CSP)、溫備份門(mén)(warm spare gate,WSP)和熱備份門(mén)(hot spare gate,HSP)。當(dāng)主件處于工作狀態(tài)時(shí),備份單元處于儲(chǔ)備狀態(tài);當(dāng)且僅當(dāng)主件失效后,備份單元才進(jìn)入工作狀態(tài)。對(duì)于冷備份門(mén),備份單元在進(jìn)入工作狀態(tài)前視為無(wú)能量耗損,即失效率為零。

2.2.1傳統(tǒng)的備份門(mén)轉(zhuǎn)化方法

由CSP性質(zhì)可知,當(dāng)且僅當(dāng)主件失效后,備份單元才進(jìn)入工作狀態(tài),備份單元在儲(chǔ)備狀態(tài)時(shí)失效率為零。CSP向DTBN轉(zhuǎn)化如圖2所示。

圖2　冷備份轉(zhuǎn)化為DTBN

當(dāng)x

Px,y=P(B=[(y-1)Δ,yΔ]|A=[(x-1)Δ,xΔ])=

(19)

對(duì)于服從指數(shù)分布的系統(tǒng),不妨設(shè)A的失效率為λa,B的失效率為λb,概率密度分別為:fA(t)=λae-λat,fB(t)=λbe-λbt,則

Px,n+1=P(B=[T,∞)|A=[(x-1)Δ,xΔ])=

(20)

B的條件概率分布式為

P(B=[(y-1)Δ,yΔ]|A=[(x-1)Δ,xΔ])=

(21)

P(B=[(y-1)Δ,yΔ]|A=[T,∞))=0

(22)

P(B=[T,∞)|A=[T,∞))=1

(23)

節(jié)點(diǎn)B的CPT如表3所示。

表3　備份門(mén)節(jié)點(diǎn)B的CPT

節(jié)點(diǎn)C的條件概率分布式為

P(C=[(z-1)Δ,zΔ]|B=[(y-1)Δ,yΔ])=

(24)

2.2.2誤差分析

在傳統(tǒng)轉(zhuǎn)化方法下,優(yōu)先門(mén)輸出點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]的失效概率Pc為

Pc=P(C=[0,T])=

(25)

由表3可知,式(25)可轉(zhuǎn)化為

(26)

設(shè)ta為A的失效點(diǎn),tb為B的失效點(diǎn),根據(jù)復(fù)合梯形積分方法可得冷備份門(mén)的節(jié)點(diǎn)C在任務(wù)區(qū)間[0,T]的失效概率Pc1為

(27)

則Pc1是CSP輸出的失效概率真值,傳統(tǒng)BN轉(zhuǎn)化方法的計(jì)算結(jié)果誤差ε2為

(28)

2.2.3改良方法

根據(jù)傳統(tǒng)方法的計(jì)算誤差和復(fù)合梯形積分方法,利用得到的誤差直接修正節(jié)點(diǎn)B的CPT,改良備份門(mén)的轉(zhuǎn)化方法。在以前方法的基礎(chǔ)上,額外設(shè)定當(dāng)x=y時(shí),B的條件概率為

Pxx=P(B=[(x-1)Δ,xΔ]|A=[(x-1)Δ,xΔ])=

(29)

特別地，對(duì)于服從指數(shù)分布的系統(tǒng)為

(30)

則改良后節(jié)點(diǎn)B在任務(wù)區(qū)間[0,T]的條件概率表分布式為

P(B=[(y-1)Δ,yΔ]|A=[(x-1)Δ,xΔ])=

(31)

對(duì)于備份門(mén)中不存在重復(fù)事件的情況下,改良后的轉(zhuǎn)化方法,在n值很小時(shí)能保證結(jié)果的正確性,即ε1=0。改良后的轉(zhuǎn)化方法比傳統(tǒng)方法擁有更高的計(jì)算精度。

3　實(shí)例分析

以某測(cè)量系統(tǒng)為例,驗(yàn)證改良方法的可行性和高效性。測(cè)量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型如圖3所示,其中M為密封膠,L、J是兩個(gè)關(guān)鍵電子元器件,D為紅外傳感器,E為接口,F為備用接口。

圖3　系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)

3.1　指數(shù)分布情形

不妨設(shè)定所有的部件在工作狀態(tài)下都服從指數(shù)分布。設(shè)其分布參數(shù)為:λA=2×10-3h-1、λB=5×10-3h-1、λC=8×10-3h-1、λD=3×10-3h-1、λE=10-3h-1和λF=4×10-3h-1。將動(dòng)態(tài)故障樹(shù)轉(zhuǎn)化為BN,代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算。

使用Matlab軟件分別計(jì)算傳統(tǒng)DTBN方法和新的改良方法[17]。根據(jù)各個(gè)部件失效率的數(shù)量級(jí),不妨設(shè)定工作時(shí)間T=1 000 h,兩種方法的結(jié)果對(duì)比如表4所示。

表4　兩種方法的失效概率與耗時(shí)

由表4可知，當(dāng)n取值相同時(shí),兩種方法各個(gè)部件的CPT規(guī)模相同,改良方法的精度比傳統(tǒng)方法的精度更高,誤差更小。

對(duì)于所有部件服從指數(shù)分布的系統(tǒng),使用馬爾可夫方法計(jì)算得到系統(tǒng)的失效概率F(1 000)=0.557 203。可知改良方法可以有效并很快地得到系統(tǒng)的失效概率。在n很小時(shí),改良方法就能得到系統(tǒng)失效概率的數(shù)量級(jí)。

蒙特卡羅仿真方法適用于服從任何分布類型的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)分析,但其往往需要耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。運(yùn)用蒙特卡羅方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真的計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5　基于蒙特卡羅方法的系統(tǒng)失效概率與耗時(shí)

由表5可知，改良方法與蒙特卡羅方法相比,要得到同樣的精度,前者耗時(shí)更短。

當(dāng)n取值100時(shí),運(yùn)用馬爾可夫方法、傳統(tǒng)方法和改良方法得到系統(tǒng)可靠度如圖4所示。

圖4　基于3種方法的系統(tǒng)可靠度變化曲線

由圖4可知，改良方法和馬爾可夫方法的曲線誤差區(qū)別極小,基本相互重疊,說(shuō)明改良方法具有精度高、效率高等優(yōu)點(diǎn)。

3.2　非指數(shù)分布情形

當(dāng)部件L、E的失效分布服從兩參數(shù)威布爾分布時(shí),其分布參數(shù)分別為:mB=0.95、ηB=3×102h;mE=1.05、ηE=2×102h。部件M、J、D和F服從指數(shù)分布,λA=2×10-3h-1、λC=8×10-3h-1、λD=3×10-3h-1和λF=4×10-3h-1。使用Matlab軟件,將動(dòng)態(tài)故障樹(shù)轉(zhuǎn)化為BN,代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算。設(shè)定工作時(shí)間T=1 000 h,兩種方法的結(jié)果對(duì)比如表6所示。

表6　兩種方法的失效概率與耗時(shí)

對(duì)于部件服從非指數(shù)分布的情形,運(yùn)用蒙特卡羅方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真的計(jì)算結(jié)果如表7所示。

表7　基于蒙特卡羅方法的系統(tǒng)失效概率與耗時(shí)

由表7可知，改良方法與蒙特卡羅方法相比,要得到失效概率的數(shù)量級(jí),前者耗時(shí)更短。

4　結(jié)　論

分析計(jì)算了DTBN方法的計(jì)算誤差,驗(yàn)證了當(dāng)離散時(shí)間分段n的取值越大時(shí),動(dòng)態(tài)門(mén)的計(jì)算結(jié)果誤差越小,但同時(shí)計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng),節(jié)點(diǎn)CPT的規(guī)模變大。

針對(duì)傳統(tǒng)方法的誤差,提出改良方法補(bǔ)償?shù)袅藗鹘y(tǒng)方法的計(jì)算誤差。改良方法擁有更高的計(jì)算精度和計(jì)算效率,解決了DTBN方法的計(jì)算時(shí)間、精度和效率受離散時(shí)間分段n極大影響的問(wèn)題。在n很小時(shí),改良方法就能得到系統(tǒng)失效概率的數(shù)量級(jí)。

通過(guò)某測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)例分析,與馬爾可夫方法和蒙特卡羅仿真方法進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了改良方法的可行性。

改良方法繼承了DTBN方法的優(yōu)點(diǎn),補(bǔ)償了傳統(tǒng)方法的誤差,得到了更高的計(jì)算精度和計(jì)算效率。

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