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        三維Minkowski空間中的對(duì)偶直紋面

        2018-04-03 01:20:41魏斯寧
        關(guān)鍵詞:腰線錐面切線

        黃 杰,魏斯寧,陳 亮

        (東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

        很多學(xué)者對(duì)三維Minkowski空間中的直紋面進(jìn)行了研究.[1-4]由類光直母線生成的直紋面因其特殊性,引起了幾何學(xué)家的興趣.文獻(xiàn)[5]討論了三維Minkowski空間中具有類光直母線直紋面的性質(zhì);文獻(xiàn)[6]給出了三維Minkowski空間中具有類光直母線的直紋面分類.

        本文主要從對(duì)偶的角度研究了三維Minkowski空間中具有類光直母線的直紋面.

        1 三維Minkowski空間中的基本概念

        〈x,y〉=x1y1+x2y2-x3y3,

        x×y=(x2y3-x3y2,x3y1-x1y3,-x1y2+x2y1).

        〈a×b,c×d〉=-(〈a,c〉〈b,d〉-〈a,d〉〈b,c〉).

        三維Minkowski空間中的直紋面記為X(u,v)=a(u)+vb(u),稱a(u)為直紋面的導(dǎo)線,b(u)為直紋面的母線.特別地,如果b(u)為常向量,則稱直紋面X為柱面;如果a(u)為常向量,則稱直紋面X為錐面;如果a′(u)‖b(u),則稱直紋面X為a的切線面.柱面、錐面與切線面為可展直紋面,否則X為非可展直紋面.

        稱:γ為錐曲線,{α(s),β(s),γ(s)}為錐Frenet標(biāo)架,κ(s)為錐曲率.

        其中:a′(u)=α(u),β(u)=b(u)×α(u),〈β(u),β(u)〉=1,μ是常數(shù),λ(u)≠0.則稱X(u,v)是B-scroll直紋面.

        2 主要結(jié)論及證明

        證明因?yàn)閎(u)∈Q2,則有錐Frenet標(biāo)架{α(u),β(u),b(u)}.由腰線的定義,如果導(dǎo)線a(u)是直紋面X(u,v)的腰線,那么〈a′(u),b′(u)〉=0,從而〈a′(u),β(u)〉=0.又因?yàn)椤碼′(u),α′(u)〉=〈a′(u),κ(u)β(u)〉=0,所以a(u)也是直紋面X1(u,v)=a(u)+vα(u)的腰線.

        (1) 當(dāng)λ≠0,μ≠0時(shí),X(u,v)與X1(u,v)都是非退化、非可展的直紋面.

        (2) 當(dāng)λ≠0,μ=0時(shí),X(u,v)是非退化、非可展的直紋面,特別地當(dāng)λ=1時(shí),X(u,v)為B-scroll直紋面;X1(u,v)是a(u)的類光切線面.

        (3) 當(dāng)λ=0,μ≠0時(shí),X(u,v)是a(u)的類光切線面;X1(u,v)是非退化、非可展的直紋面,特別地當(dāng)μ=1時(shí),X1(u,v)為B-scroll直紋面.

        (4) 當(dāng)λ=0,μ=0時(shí),X(u,v)與X1(u,v)都是錐面.

        證明直接計(jì)算可得

        以X(u,v)為例,當(dāng)λ≠0,μ≠0時(shí),因?yàn)镈≠0,所以X(u,v)為非退化直紋面.又因?yàn)?a′(u),b(u),b′(u))=(λ(u)α(u)+μ(u)b(u),b(u),β(u))≠0,所以X(u,v)為非可展曲面.當(dāng)λ=1,μ≠0時(shí),a′(u)=α(u),由B-scroll定義知X(u,v)為B-scroll直紋面.當(dāng)λ=0,μ≠0時(shí),D=0.又因?yàn)閍′(u)=μ(u)b(u),所以a′(u)‖b(u),X(u,v)是a(u)的類光切線面.當(dāng)λ=0,μ=0時(shí),因?yàn)閍′(u)=0,a(u)為常向量,所以X(u,v)是錐面.同理上述結(jié)論對(duì)X1(u,v)也成立.

        (1) 當(dāng)κ(u)=μ(u)時(shí),K1=H1;

        (3)X(u,v)與X1(u,v)沿著腰線a(u)的測(cè)地曲率互為相反數(shù);

        (4) 當(dāng)λ,μ為常數(shù)時(shí),腰線a(u)是X(u,v)與X1(u,v)的測(cè)地線.

        證明由文獻(xiàn)[6]知X(u,v)的高斯曲率與平均曲率分別為

        同理知X1(u,v)的高斯曲率與平均曲率分別為

        故結(jié)論(1)和(2)得證.

        此外,直接計(jì)算可得

        當(dāng)λ,μ為常數(shù)時(shí),因?yàn)檠刂鴄(u)的測(cè)地曲率κg=0,所以a(u)是X(u,v)的測(cè)地線.同理可知a(u)也是X1(u,v)的測(cè)地線.

        (1)X(u,v)與X1(u,v)的pitch函數(shù)δ(u),δ1(u)不能同時(shí)為零;

        (2)X(u,v)與X1(u,v)不能同為B-scroll直紋面.

        證明因?yàn)閎(u)∈Q2,那么有錐Frenet標(biāo)架{α(u),β(u),b(u)}.由pitch函數(shù)定義知

        δ(u)=-a′(u)·α(u),δ1(u)=-a′(u)·b(u).

        根據(jù)文獻(xiàn)[8]定理3.2可知:δ(u)=0的充要條件為X(u,v)是腰線a(u)的副法向量面,即b(u)是a(u)的副法向量;δ1(u)=0的充要條件為X1(u,v)是腰線a(u)的副法向量面,即α(u)是a(u)的副法向量.結(jié)論矛盾,因此δ(u)和δ1(u)不能同時(shí)為0.此外,由文獻(xiàn)[8]定理3.3知X(u,v)與X1(u,v)不能同為B-scroll直紋面.

        證明由null-scroll直紋面的定義,〈a′(u),a′(u)〉=0,〈b(u),b(u)〉=0,〈a′(u),b(u)〉=1.又因?yàn)閄1(u,v)是X(u,v)的對(duì)偶直紋面,〈α(u),b(u)〉=1,從而α(u)‖a′(u).因此X1(u,v)不是null-scroll直紋面,而是a(u)的切線面.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]姜揚(yáng),裴東河.三維Minkowski空間中非類光曲線的從切可展曲面的奇點(diǎn)分類[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,39(1):22-27.

        [2]劉錦蘭.三維Minkowski空間中非可展直紋面的分類[D].大連:大連理工大學(xué),2008.

        [3]劉作棟,姜淼鑫,陳亮.3維Minkowski空間中的特殊直紋面[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,47(2):1-4.

        [4]王志剛,呂永震,裴東河,等.三維Minkowski空間中的特殊曲線和可展曲面[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,40(2):1-6.

        [5]LIU HUILI.Ruled surfaces with lightlike ruling in 3-Minkowski space[J].Journal of Geometry and Physics,2009,59(1):74-78.

        [6]LIU HUILI.Characterizations of ruled surfaces with lightlike ruling in Minkowski 3-space[J].Results in Mathematics,2009,56:357-368.

        [7]LIU HUILI.Curves in the lightlike cone[J].Contributions to Algebra and Geometry,2004,45(1):291-303.

        [8]GRAVES LARRY K.Codimension one isometric immersions between Lorentz spaces[J].Trans Amer Math Soc,1979,252:367-392.

        [9]LIU HUILI,YUAN YUAN.Pitch functions of ruled surfaces and B-scrolls in Minkowski 3-space[J].Journal of Geometry and Physics,2012,62(1):47-52.

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