文/廣州市第十三中學(xué) 周玉蓮

初中生升上高中時(shí)學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)普遍感覺(jué)難度比較大，而構(gòu)造正方體、充分利用正方體的性質(zhì)解決立體幾何的題目，是使學(xué)生更容易的理解立體幾何的基本概念和掌握立體幾何的基本方法。所以本文從利用正方體解決立體幾何各種題型方面來(lái)分析正方體對(duì)解決立體幾何問(wèn)題的作用，強(qiáng)調(diào)它是立體幾何教學(xué)的最佳突破口。

一、立體幾何教學(xué)現(xiàn)狀

初中的數(shù)學(xué)課文基本上以平面幾何內(nèi)容為主，只有初三有一點(diǎn)三視圖的內(nèi)容，而又不是考試重點(diǎn)，所以學(xué)生與老師在這個(gè)內(nèi)容上所花的時(shí)間不多。雖人教版新教材的立體幾何整體難度有所下降，但高中學(xué)生普遍仍覺(jué)得立體幾何難學(xué)，普通中學(xué)的學(xué)生就更加如此。正因?yàn)槿绱?，教師也覺(jué)得立體幾何難教。

1.為什么立體幾何難學(xué)——學(xué)科特點(diǎn)

依據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生訪談，立體幾何難學(xué)的原因，歸納起來(lái)有二點(diǎn)：一是立體幾何涉及的關(guān)系比較多（表現(xiàn)為概念多、定理多），這些關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化又很靈活，都對(duì)學(xué)生提出了較高的要求；二是立體幾何的直觀圖形不能（像平面幾何那樣）給學(xué)生提供全真的視覺(jué)信息（如兩條看似相交成銳角的直線其實(shí)是互相垂直的異面直線等），這種情況對(duì)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力都提出了較高要求?；谶@兩點(diǎn)原因，一道在老師看來(lái)絕對(duì)難度中等的題目，學(xué)生也覺(jué)得難做。那么，面對(duì)立體幾何多而雜的頭緒，靈活而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，我們從哪里去尋找立體幾何教學(xué)的突破口，從而提高立體幾何的教學(xué)效率呢？

2.怎樣提高立體幾何的教學(xué)效率——關(guān)鍵是抓“正方體”

（1）正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的空間圖形，同時(shí)它也是一個(gè)空間感很強(qiáng)的幾何圖形。借用它來(lái)教學(xué)立體幾何，學(xué)生心理上容易接受，從而畏難情緒也大為降低，同時(shí)也有助于學(xué)生思考和觀察空間問(wèn)題，降低思維難度。

（2）正方體能完美體現(xiàn)立體幾何核心知識(shí)。在正方體中能反映空間基本的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，而通過(guò)對(duì)正方體的截割，可以得到多樣的柱、臺(tái)、錐體。

（3）正方體是高考立體幾何命題的重要源泉之一。這點(diǎn)從歷年的高考試題可以得到驗(yàn)證，同時(shí)借助正方體可以產(chǎn)生新型的立體幾何題。

（4）正方體是探索解題思路的重要突破口。很多立體幾何問(wèn)題由于線面關(guān)系復(fù)雜或圖形不容易畫。借助正方體，把我們所要研究的問(wèn)題放置于更大的背景之中，可以從整體上更好地看清各部分之間的關(guān)系。

二、挖掘正方體教學(xué)潛能的具體做法

1.引導(dǎo)學(xué)生用“研究”的視覺(jué)重新“認(rèn)識(shí)”正方體，從而讓學(xué)生感悟立體幾何的核心知識(shí)。

（1）正方體有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，且滿足面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)–棱數(shù)=2。

（2）正方體的12條棱可以組成24對(duì)異面直線。

（3）正方體有13條對(duì)稱軸、9個(gè)對(duì)稱面。

（4）由正方體的頂點(diǎn)組成的三角形中，銳角三角形8個(gè)，直角三角形48個(gè)。

（5）正方體繞其對(duì)角線旋轉(zhuǎn)120°后，與原正方體位置重合。

（7）一個(gè)平面截正方體，其截面可以是：三角形 （銳角三角形的面積在a2之間）、正方形 （面積 a2）、 菱形 （面積在 a2～a2之間）、 矩形 （面積在 0～之間）、梯形、平行四邊形、五邊形、六邊形。

（8）棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線 （簡(jiǎn)稱正方體的三類線）分別組成什么角度？

（9）三類線與三類面 （底面、對(duì)角面、平面）間線面所成的角分別為多少度？ （注：底面是指正方體的底面或側(cè)面、由首尾相連的三條面對(duì)角線所確定的正方體的截面記為平面。）

（10） 三類面 （底面、 對(duì)角面、平面）間分別組成什么角度？

（11）正方體的三類線間，異面直線的距離各是多少？其中最典型的是兩相鄰側(cè)面對(duì)角線間的距離其求法又可以成為求異面直線的基本圖形和基本方法。

（12）有趣的是正方體包含正四面體和正八面體，借助正方體這個(gè) “模型”容易發(fā)現(xiàn)正四面體和正八面體的性質(zhì) （如正四面體的對(duì)棱互相垂直等）。

2.正方體上的點(diǎn)、線、面具有特殊的位置關(guān)系及線段的長(zhǎng)度關(guān)系。在很多立體幾何問(wèn)題中，如能構(gòu)造正方體，發(fā)揮正方體的模型作用，那么能使很多問(wèn)題簡(jiǎn)捷明快輕松獲解；很多立體幾何問(wèn)題由于線面關(guān)系復(fù)雜或圖形不易畫，盡管這些問(wèn)題與正方體無(wú)關(guān)，但是我們借用正方體作為“道具”，并利用它的特殊性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，仍會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)明清晰。

3.研究空間線面關(guān)系是立體幾何學(xué)習(xí)的核心，正方體含有豐富的線面關(guān)系，借助它可以編制許多“好”的立體幾何題。