李玉葉，石惠文，李旭超

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 計算機(jī)與信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 引言

自然界中有成千上萬的種群構(gòu)成了多彩的生態(tài)界，而生態(tài)系統(tǒng)是需要各個種群之間相互促進(jìn)相互制約從而發(fā)展繁衍生息的．然而，在種群之間相互作用的關(guān)系中，最為常見的捕食者和被捕食者之間的關(guān)系.著名的學(xué)者Volterra[1]建立了食餌-捕食者模型，其形式如下：

其中，t是時間，x(t),y(t)分別代表食餌和捕食者的在時刻的數(shù)量，r是被捕食者即食餌單獨生長生存時的相對增長率，a是表示捕食者捕食被捕食者的效率，d是捕食者無食物情況下的死亡概率，b是被捕食者對捕食者的提供食物的能力.

隨著種群動力學(xué)不斷深入的探究，發(fā)現(xiàn)捕食者獲取食物以后，需要一個消化、妊娠的時期，捕食者種群的數(shù)量才會發(fā)生變化，所以在研究種群動力學(xué)模型時大多數(shù)學(xué)者考慮了時滯[2-7]，時滯常微分方程相比于普通的常微分方程所描述的動力學(xué)行為更加豐富和復(fù)雜，也可以更全面及準(zhǔn)確地反映現(xiàn)實種群的實際現(xiàn)象.因此研究帶有時滯的捕食-食餌模型的動力學(xué)性質(zhì)的影響具有重要的意義[8-11].

本文主要通過在簡單的食餌-捕食者模型上增加種群自身的時滯,作用時滯τ后，分別得到一個具有單時滯和雙時滯的進(jìn)而食餌-捕食者模型，研究零平衡點的線性化系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程根的分布情況，得出零平衡點的穩(wěn)定性和發(fā)生Hopf分岔的條件.

2 單時滯的食餌-捕食模型

對于食餌-捕食者模型，考慮時滯τ建立單時滯食餌-捕食者模型，形式如下：

于是設(shè) τ＞0 為系統(tǒng)時滯．設(shè) r＞0、a＞0、b＞0、d＞.系統(tǒng)(2.1)的平衡點是滿足以下的條件：

由(2.2)式知系統(tǒng)(2.1)中的平衡點有兩個，分別為P(0,0)，

在平衡點P(0,0)處，對系統(tǒng)(2.1)進(jìn)行線性化，可得線性系統(tǒng)

線性化系統(tǒng)(2.3)對應(yīng)的特征方程為

其中 p=d-r,q=-rd. 當(dāng)滿足 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 時，方程(2.4)當(dāng)中q=-rd＜0，所以由平衡點的定性理論可得系統(tǒng)在處為鞍點，不穩(wěn)定.

線性化系統(tǒng)對應(yīng)的擬特征方程有

引理2.1如果τ＞0，那么系統(tǒng)(2.1)的平衡點是非漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證 當(dāng) τ=0 時，由于 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 所以系統(tǒng)(2.5)中的q=rd.根據(jù)Routh-Hurwitz定理可知，方程(2.5)的λ的系數(shù)p為零.所以當(dāng) τ=0時，系統(tǒng)(2.1)的平衡點是非漸進(jìn)穩(wěn)定的.

討論 τ＞0 的情況，設(shè) λ=iω(ω＞0,ω∈C)作為方程(2.5)的純虛根，那么虛部 ω 是符合 -ω2+q(cosωτ-isinωτ)=0.根據(jù)復(fù)數(shù)相等可以得到

對于方程(2.6)有如下結(jié)論

引理2.2方程(2.6)至少有一個正實根

證 使 u=ω2，則方程(2.6)化為

設(shè)f(u)=u2-q2能轉(zhuǎn)化為,易知 f(0)=-q2＜0,于是參考函數(shù)的零點存在定理，最少得有一個正的實數(shù)u0∈(0,+∞)，能使f(u0)=0.所以可得(2.7)最少有一個正的實根.因為u=ω2，于是方程(2.6)至少有一個正的實根．

設(shè) ω0為(2.6)一個正的實根，那么(2.5)就會有一個 iω0.再經(jīng)過可以得

將ω=ω0代入方程(2.8)，則時滯τ的值可得因此(ω0,τk)是方程(2.5)的解，即當(dāng)時滯 τ=τk時，λ=±iω0是方程(2.5)的一對共軛純虛根．

假如 τ0=min{τk}，那么 τ=τ0是讓(2.5)出現(xiàn)純虛根 λ=±iω0的情況下τ的一個最小的數(shù)值.所以提出引理3.

引理 2.3若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0，τ=τ0，那么方程(2.5)有一對純虛根 λ=±iω0.

設(shè)式(2.5)的特征根 λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，滿足 α(τk)=0，ω(τk)=ω0.下面給出橫截性條件．

引理 2.4若 f′(ω02)=2ω02＞0 則

證 對于方程(2.5)的兩邊對τ求導(dǎo)，可得

根據(jù)方程(2.5)得

將(2.10)式代入(2.9)式得

因為 λ(τk)=iω0，所以有

當(dāng) τ=τk時，方程(2.5)有一純虛根 iω0，代入方程(2.5)可得

因為 e-iω0τ=cosω0τ-isinω0τ，所以于是由(2.12)式可得 |-ω02|=|q|，即 ω02=q.根據(jù)(2.11)和(2.1)式可得

從而，在引理4和Hopf分岔理論的基礎(chǔ)上我們有如下定理.

定理 2.1若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 且 f′(ω02)＞0，那么

（2）當(dāng) τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(2.1)在平衡點處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán)．

3 雙時滯的食餌-捕食模型

對于食餌-捕食者模型，考慮時滯τ建立雙時滯食餌-捕食者模型，形式如下：

在平衡點P(0,0)處的線性化系統(tǒng)可得線性系統(tǒng)

當(dāng)滿足 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 時，方程 λ2+pλ+q=0 當(dāng)中 q=-rd＜0，所以由特征方程決定的平衡點和穩(wěn)定性表可得系統(tǒng)在P(0,0)處為鞍點，不穩(wěn)定.

引理3.1如果τ=0，則系統(tǒng)(3.1)的平衡點是非漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證 當(dāng) τ=0 時，由于 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 所以系統(tǒng)(3.2)中的q為q=rd＞0.根據(jù)Routh-Hurwitz定理可得，方程(3.2)的λ項系數(shù)p為0.所以當(dāng)τ=0時，系統(tǒng)(3.1)的平衡點不是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

討論 τ＞0 的情況，設(shè) λ=iω(ω＞0,ω∈C)作為方程(3.2)的純虛根，那么虛部 ω 是符合 -ω2+q(cosωτ-isinωτ)2=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相等我們得到

于是對于方程(3.3)有下列結(jié)論

引理3.2方程(3.3)至少有一個正實根

證 使 u=ω2，則方程(3.3)可化為 u2-q2=0.設(shè) f(u)=u2-q2可以轉(zhuǎn)化為易知于是參考函數(shù)的零點存在定理，最少得有一個正的實數(shù)u0∈(0,+∞)，能使f(u0)=0.所以可得u2-q2=0最少有一個正的實根.因為u=ω2，于是方程(3.3)至少有一個正的實根.

設(shè) ω0為(3.3)一個正的實根，那么(3.2)就會有一個 iω0.再經(jīng)過(2.11)可已得

將ω=ω0代入方程(3.4)，則時滯τ的值為因此(ω0,τk)是方程(3.2)的解，也就是說當(dāng)時滯 τ=τk時，λ=±iω0就是方程(3.2)的一對共軛純虛根.

假如 τ0=min{τk}，那么 τ=τ0是讓(3.2)出現(xiàn)純虛根 λ=±iω0的情況下τ的一個最小的數(shù)值.所以提出引理3.

引理 3.3若 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0，τ=τ0，則方程(3.2)有一對純虛根 λ=±iω0.

設(shè)式(3.2)的特征根 λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，滿足 α(τk)=0，ω(τk)=ω0.下面給出它的橫截性條件.

引理 3.4若 f′(ω02)=2ω02＞0,則

證 對方程(3.2)的兩邊對于τ求導(dǎo)，可得

根據(jù)方程(3.2)可得 qe-2λτ=-λ2,將其代入上式有

因為 λ(τk)=iω0，所以有

從而，在引理4和Hopf分岔理論的基礎(chǔ)上我們有如下定理.

定理 3.1如果 r＞0，a＞0，b＞0，d＞0 且 f′(ω02)＞0，那么

（1）當(dāng) τ＞0 時，系統(tǒng)(3.1)在平衡點是不穩(wěn)定的；

（2）當(dāng) τ=τk(k=0,1,2,…)時，系統(tǒng)(4.1)在平衡點處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán).

4 結(jié)論

本文討論了在食餌-捕食者模型里的單時滯系統(tǒng)(2.1)和雙時滯食餌-捕食者系統(tǒng) (3.1)在平衡點的穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性問題，通過分析兩個系統(tǒng)在平衡點處的線性化系統(tǒng)的所對應(yīng)的特征方程根的分布,得到系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性條件和Hopf分岔存在的條件.本研究豐富了時滯的捕食-食餌模型的動力學(xué)性質(zhì)，對生態(tài)維持系統(tǒng)的平衡有指導(dǎo)意義.

〔1〕D.D.Mooney,R.J.Swift.A course in mathematical modeling.The mathematicalassociation ofAmerica,1999.

〔2〕李德奎,連玉平.單時滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔分析[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(3):633-642.

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