孫 赫

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210000)

常微分方程邊值問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)和控制論中有非常廣泛的應(yīng)用.解決常微分方程邊值問題的有效方法是，找出該邊值問題的格林函數(shù)，然后將所考慮的常微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的積分方程，并證明該積分方程的解的存在性，進(jìn)而將積分方程的解的存在性問題歸結(jié)到一個(gè)算子的不動(dòng)點(diǎn)問題.筆者擬研究一類二階常微分方程在周期邊值條件下的格林函數(shù)，主要是利用常微分方程的通解來求解格林函數(shù).但隨著常微分方程階數(shù)的升高，利用常微分方程的通解來求解格林函數(shù)的方法比較復(fù)雜，因此，筆者還將討論高階常微分方程在不同邊值條件下的格林函數(shù)的求法.

1 一類二階常微分方程周期邊值問題的格林函數(shù)

考慮非線性二階常微分方程

-u″(t)+2ρu′(t)-ρ2u(t)=f(t,u(t),u′(t))ρ>0，t∈[0,T]

(1)

在周期邊值條件

u(0)=u(T)，u′(0)=u′(T)

(2)

下的格林函數(shù).

定理1若u(t)(u(t)∈C2[0,T])是二階常微分方程周期邊值問題(1)和(2)的解，則

其中

是問題(1)和(2)的格林函數(shù).

證明設(shè)u(t)(u(t)∈C2[0,T])是問題(1)和(2)的解.由常數(shù)變易法可知，方程(1)的通解[1]為

代入條件(2)，可得

將c1，c2代入u(t)，整理后有

其中

是問題(1)和(2)的格林函數(shù).

以上的證明中給出了格林函數(shù)的求法[2].

例1求非線性二階常微分方程邊值問題

(3)

的格林函數(shù).

解設(shè)u(t)(u(t)∈C2[0,T])是問題(3)的解，由常數(shù)變易法，可得

代入周期邊值條件u(0)=u(T)，u′(0)=u′(T),可得

將c1，c2代入u(t)，整理后有

其中

是問題(3)的格林函數(shù).

2 一類高階常微分方程邊值問題的格林函數(shù)

隨著階數(shù)的升高和邊值條件的不斷變化，利用常微分方程的通解來求解格林函數(shù)的方法比較復(fù)雜.下面來討論一類高階常微分方程在不同邊值條件下的格林函數(shù)的求解方法.

考慮如下非線性n階常微分方程邊值問題[3]在非共振情況下的解：

(4)

(5)

設(shè)

(6)

記

則有

若G(t,s)由(6)式所定義，則有

例2求邊值問題

(7)

的格林函數(shù).

解由題可知V1(u)=u(0)，V2(u)=u(1)，V3(u)=u′(0)-u′(1)，解得u?(t)-u″(t)-2u′(t)=0的基礎(chǔ)解系是u1(t)=1，u2(t)=e-t，u3(t)=e2t，相應(yīng)的Wronsky行列式是W(s)=-6es及

當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，有

綜上可得格林函數(shù)為

3 結(jié)語

利用常數(shù)變易法求得了一類二階常微分方程周期邊值問題的格林函數(shù)，并總結(jié)出一類高階常微分方程邊值問題的格林函數(shù)的求法，很好地揭示了格林函數(shù)的實(shí)質(zhì)，便于掌握格林函數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用.

[1] 宋 燕.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解公式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(3)：6-7.

[2] 胡秀林.二階微分方程邊值問題解的等價(jià)性及其格林函數(shù)[J].合肥學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，24(4)：7-9.

[3] 葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學(xué)出版社，2007:9-23.