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        斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種新求法*

        2018-03-30 06:39:52何郁波
        關(guān)鍵詞:冪級(jí)數(shù)那契數(shù)學(xué)系

        何郁波

        (懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 懷化 418008)

        1202年,意大利數(shù)學(xué)家Leonado Fibonacci提出了一個(gè)有趣的兔子問(wèn)題.某人在一處四周有圍墻的地方養(yǎng)了1對(duì)新出生的小兔,假定每對(duì)小兔出生后2個(gè)月就長(zhǎng)成大兔,而1對(duì)大兔每月生1對(duì)小兔,并且不考慮兔子死去的情況,那么,第n個(gè)月,兔子的總對(duì)數(shù)Fn稱(chēng)為斐波那契數(shù),F(xiàn)n構(gòu)成的數(shù)列{Fn}稱(chēng)為斐波那契數(shù)列,其遞推關(guān)系式為

        (1)

        斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法有很多[1-2].筆者擬利用冪級(jí)數(shù)法、行列式法、差分方程法和遞推關(guān)系式法,來(lái)推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        方法1(冪級(jí)數(shù)法) 以斐波那契數(shù)列{Fn}作為冪級(jí)數(shù)[3]的系數(shù)來(lái)構(gòu)造函數(shù)f(x),即令

        (2)

        利用(1)式,可得

        (3)

        (4)

        根據(jù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的唯一性,比較(2),(4)式,即得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為

        方法2(行列式法) 給定n階三對(duì)角行列式Dn[4],滿(mǎn)足

        (5)

        其中a,b為實(shí)數(shù).將行列式Dn按第1行展開(kāi),得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2,從而

        Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=…=bn-2(D2-aD1).

        (6)

        因?yàn)镈1=a+b,D2=a2+ab+b2,所以由(6)式可知Dn-aDn-1=bn,于是

        Dn=aDn-1+bn=a(aDn-2+bn-1)+bn=a2Dn-2+abn-1+bn=…=an-1D1+an-2b2+…+

        (7)

        在(5)式中令a+b=1,ab=-1,則有

        將Dn按第1行展開(kāi),得Dn=Dn-1+(-1)1+2(-1)Dn-2=Dn-1+Dn-2,n≥3.記D0=1,D1=1,顯然有Fn=Dn.

        方法4(公式法) 對(duì)于(1)式,假設(shè)存在常數(shù)α,β,使得

        Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2),

        (8)

        則α,β應(yīng)滿(mǎn)足α+β=1,αβ=-1,從而解得

        (9)

        由(8),(9)式可得

        Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2)=…=βn-2(F2-αF1).

        (10)

        將(9)式代入(10)式,得

        (11)

        (12)

        [1] 張新娟.斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(4):56-59.

        [2] 宋庭武.用特征方程推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,16(4):91-92.

        [3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001:47-63.

        [4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組,編.高等代數(shù)[M].王萼芳,石生明,修訂.4版.北京:高等教育出版社,2013:50-83.

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