☉江蘇南京育英第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 吳丹丹

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中提出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練.”［1］對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，不僅可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，教會(huì)學(xué)生如何思考，更有利于學(xué)生自信心的建立和良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成.培養(yǎng)和提高學(xué)生的解題能力，也是廣大一線教師的不懈追求.如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力成為教師教學(xué)的重點(diǎn).下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗趯W(xué)生解題能力培養(yǎng)方面的一些策略.

一、關(guān)注整體教學(xué)，激活學(xué)生聯(lián)想

學(xué)生能否順利解題，關(guān)鍵在于學(xué)生能否通過(guò)審題，形成解題思路，而其實(shí)質(zhì)是學(xué)生審題時(shí)聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)有多少，這決定了學(xué)生能否解出這道題，或者能否找到最優(yōu)解法.解題當(dāng)從追求自然生長(zhǎng)的最近聯(lián)想開(kāi)始.學(xué)生審題時(shí)所聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)就是學(xué)生的最近聯(lián)想，最近聯(lián)想越豐富，學(xué)生解題就越迅速，解法就越直接.因此，對(duì)教材有整體性的把握，從主線上幫助學(xué)生建構(gòu)最近聯(lián)想，比較容易幫助學(xué)生在解題時(shí)找到思路，快速尋求到有效信息，從而形成解題思路.

案例1：筆者在教學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第二章軸對(duì)稱圖形的復(fù)習(xí)課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，形成了如圖1所示的整體性框架，學(xué)生在審題時(shí)就可以圍繞這樣的框架進(jìn)行聯(lián)想解題.

從框架中可以看到的聯(lián)想有如下4條：①線段垂直平分線的聯(lián)想有3個(gè)點(diǎn)；②角平分線的聯(lián)想有3個(gè)點(diǎn)；③等腰三角形哪兩邊相等的分類，這在綜合題中常常出現(xiàn)；④等腰三角形的頂角大小，導(dǎo)致形狀不同，從而產(chǎn)生問(wèn)題的多解性.后面又對(duì)三角形中的三條特殊線段的性質(zhì)做了一些聯(lián)想和總結(jié).通過(guò)這種整體性的學(xué)習(xí)，可建立豐富的最近聯(lián)想，使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系更清楚，可以有效提高解題效率，有助于學(xué)生快速找到最近聯(lián)想，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)形成解題思路.

二、挖掘教材內(nèi)涵，構(gòu)建基本模型

羅增儒教授曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》中提到：“當(dāng)知識(shí)鏈的某一個(gè)環(huán)節(jié)受到刺激時(shí)，整條知識(shí)鏈就會(huì)活躍起來(lái).有意識(shí)積累知識(shí)鏈，是優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的一個(gè)途徑，也是開(kāi)拓解題思路的一個(gè)源泉，腦子里的知識(shí)鏈越多、越長(zhǎng)，解題的思路與念頭也就越廣、越快.”［2］認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，科學(xué)的建立知識(shí)組塊，是將零散的知識(shí)通過(guò)分類、比較、聯(lián)系等方法進(jìn)行元認(rèn)知，壓縮成更密集的組塊，簡(jiǎn)縮思維形式，加速思維進(jìn)程.這就要求教師在教學(xué)的過(guò)程中注意引導(dǎo)學(xué)生積累基本模型.如何建立知識(shí)組塊，構(gòu)建基本圖形呢？簡(jiǎn)單告知學(xué)生有哪些基本模型，學(xué)生往往印象不深刻，或者在解題過(guò)程中使用不熟練，不能恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造基本模型.教師可以通過(guò)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生自己建構(gòu)基本模型，有了自主建構(gòu)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才能有效地將模型內(nèi)化為己有，在解題時(shí)適時(shí)構(gòu)造，靈活應(yīng)用.

教師應(yīng)創(chuàng)造性地理解和使用教材［3］.教師在教學(xué)過(guò)程中有效利用教材中典型習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，將課本中的零散知識(shí)有目的地組織整理，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并總結(jié)，給學(xué)生一個(gè)自我建構(gòu)基本模型的機(jī)會(huì)，發(fā)現(xiàn)基本模型中的不變量和基本關(guān)系，抓住基本模型的關(guān)鍵特征.這樣可以有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面是筆者在課堂中基于課本，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)基本模型的實(shí)例.

案例2：“小燕子模型”（如圖2）.

基本信息：

大三角形中：①公共角，②對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊-對(duì)應(yīng)短邊；

小三角形中：③對(duì)頂角，④對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊+對(duì)應(yīng)短邊（折線→直線）.

模型建構(gòu)：

1.蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課本P14練習(xí)題2.

已知：如圖2，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：△ABE≌△ACD.

課本選題用意：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中暗含公共角的信息.

2.蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課本P22練習(xí)題2.

已知：如圖3，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且∠B=∠C.求證：DB=EC.

課本選題用意：①利用公共角證明全等；②引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中線段的和差關(guān)系：全等三角形的對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊-對(duì)應(yīng)短邊.

3.蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課本P30題6.

如圖4，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BE、CD相交于點(diǎn)F. 如果BD=CE，∠B=∠C，試找出一對(duì)全等三角形，并證明.

課本選題用意：①利用隱含條件對(duì)頂角證全等：②線段的和差關(guān)系：全等三角形△BFD和△CFE的對(duì)應(yīng)邊BF=CF，DF=EF，得BE=CD，簡(jiǎn)稱“折線→直線”.

根據(jù)對(duì)上面三個(gè)小題的觀察和總結(jié)，學(xué)生可以輕松地發(fā)現(xiàn)這樣的圖形中，會(huì)有四個(gè)基本信息藏在其中：①大三角形中公共角相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③對(duì)頂角相等；④全等三角形對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊+對(duì)應(yīng)短邊相等（折線→直線）.為了方便稱呼，學(xué)生給這個(gè)基本模型起了個(gè)名字“小燕子模型”.

模型應(yīng)用：蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課本P36題10.

如圖5，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點(diǎn)O.如果AB=AC，那么圖中有幾對(duì)全等的直角三角形？試證明你的結(jié)論.

分析：此題出現(xiàn)在課本章節(jié)總復(fù)習(xí)的靈活運(yùn)用中，具有一定的難度，由于前面和學(xué)生一起總結(jié)了“小燕子模型”的基本信息，學(xué)生能夠輕松解決問(wèn)題，大大縮短了學(xué)生的思考時(shí)間.課堂中筆者又對(duì)此題做了適當(dāng)?shù)淖兪剑?/p>

變式1：圖形不變，若去掉所有的已知條件，只給出AD=AE，BD=EC，你能證出圖中所有的全等三角形嗎？

變式2：圖形不變，已知BD=EC，∠B=∠C，你能證出所有的全等三角形嗎？

學(xué)生在解決變式的過(guò)程中都顯得很輕松，還有學(xué)生甚至打斷我的變式，提出了一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)：只要給我們的條件能夠證出這些三角形中的任意一對(duì)全等，就可以證出其他的三角形全等.

與這個(gè)模型對(duì)應(yīng)的還有一個(gè)模型（如圖6），證法幾乎和小燕子模型一模一樣.模型的形成過(guò)程在這里不再贅述.學(xué)生根據(jù)其形狀把它稱為“貓耳朵模型”.

類似可以建立的模型還有很多，如八字形、飛鏢型、等平角模型（等腰、平行角、平分線模型）、公共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)型等，一個(gè)個(gè)基本模型就是一個(gè)個(gè)組織良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生自主建構(gòu)的基本模型越多，解題時(shí)聯(lián)想的知識(shí)結(jié)構(gòu)就越多，解題就越高效，解題能力自然得以提高.

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本，良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這甚至比知識(shí)的廣泛更為重要……把你記憶里的知識(shí)安放得有條不紊只會(huì)對(duì)你有更多的幫助.”［1］

三、鍛煉畫(huà)圖能力，獲取直觀猜想

圖形是數(shù)學(xué)表述的重要語(yǔ)言和方式，它可以較為直觀地反映一些抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系和特征.解題過(guò)程，起于觀察，經(jīng)歷思考，成于方法.沒(méi)有準(zhǔn)確的圖形，就難以從直觀上觀察出正確的結(jié)果.因此，能夠根據(jù)題目條件，正確畫(huà)出圖形，成為學(xué)生解題的必備能力.學(xué)生根據(jù)題意作圖的過(guò)程也是分析題目條件的審題過(guò)程，在畫(huà)圖中發(fā)現(xiàn)圖形中的不變量，理清變量之間的關(guān)系.畫(huà)出正確的圖形，有助于學(xué)生通過(guò)直觀得出正確的猜想，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手畫(huà)圖能力.

案例3：如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)Q為斜邊AB的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上（不與A、B重合），分別過(guò)A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是______，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是______；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明.

學(xué)生在做練習(xí)時(shí)曾遇到這樣一題，在完成第二小問(wèn)時(shí)，即便是猜，學(xué)生也沒(méi)能給出正確答案，而且完全沒(méi)有思路.筆者在講評(píng)時(shí)未作過(guò)多引導(dǎo)，只是要求學(xué)生按照題目條件要求，自己重新畫(huà)圖，再完成此題.結(jié)果反差很大，多數(shù)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立作圖并觀察，給出了正確的結(jié)論，一部分學(xué)生很快有了思路，并能夠順利解題.通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)，原題給的圖不符合圖形的基本特征，中點(diǎn)Q不是線段AB的中點(diǎn)，從而影響學(xué)生通過(guò)直觀猜想得出正確結(jié)論.此外，畫(huà)圖還可以啟發(fā)學(xué)生的思維，如果題干改為“當(dāng)點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB所在直線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)”，學(xué)生在根據(jù)題意畫(huà)圖的過(guò)程中，會(huì)為P點(diǎn)的位置感到困惑，不知該畫(huà)在何處，從而受到啟發(fā)，想到有分類討論的必要.可以看出，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫(huà)圖，從某種意義上說(shuō)可以防止漏解.

學(xué)生畫(huà)圖能力的培養(yǎng)不能一蹴而就，需要長(zhǎng)期一貫培養(yǎng).蘇科版教材的編寫(xiě)，具有螺旋上升式的特點(diǎn)，因而對(duì)學(xué)生的能力也要求螺旋上升.只有長(zhǎng)期一貫關(guān)注學(xué)生畫(huà)圖能力的培養(yǎng)，學(xué)生在解綜合題時(shí)才能如魚(yú)得水.在七年級(jí)時(shí)，教師在教學(xué)時(shí)要注重實(shí)際操作與實(shí)踐，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在操作中感受圖形的變化，形成直觀感受；在八年級(jí)學(xué)習(xí)幾何時(shí)，要讓學(xué)生把靜態(tài)的圖形，在腦海中作運(yùn)動(dòng)變換.可通過(guò)幾何畫(huà)板演示，再根據(jù)題意畫(huà)圖.隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生的畫(huà)圖能力也將逐步加強(qiáng).經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練，學(xué)生的解題能力在畫(huà)圖能力提升的同時(shí)得以提高.

筆者認(rèn)為，學(xué)生解題能力的差異，往往是因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維習(xí)慣和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之間存在差別.利用整體性教學(xué)方式完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富學(xué)生的最近聯(lián)想.訓(xùn)練學(xué)生熟練畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，可以增強(qiáng)學(xué)生的審題能力和直觀想象能力.構(gòu)建一些基本圖形，了解其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，可以幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生解題能力的效果.當(dāng)然，提高數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)長(zhǎng)期、復(fù)雜的系統(tǒng)工程，它與學(xué)生的學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法等密切關(guān)，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)該把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題放在首要地位.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)有“法”，但又無(wú)“定法”，解決問(wèn)題也是這樣.［4］

1.［美］波利亞，著.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2006.

2.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

3.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.諶涵.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)［J］.數(shù)理化解題研究，2016（4）.W