黃鴻輝

（福建省詔安第一中學(xué)，福建詔安 363500）

引 言

高中數(shù)學(xué)的深度和難度都是其他教學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程所不能比的，高中數(shù)學(xué)更注重知識與能力的全面提高，如果只注重學(xué)習(xí)課本知識而忽略了對學(xué)生綜合解題能力的鍛煉，就會造成無法準(zhǔn)確地理解和應(yīng)用高中數(shù)學(xué)知識為解決問題服務(wù)，這也將導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量下降。而在不斷的練習(xí)與鞏固的過程中，必然會產(chǎn)生許多做錯的題目。這些錯題的產(chǎn)生，可能是因?yàn)榇中拇笠?，也可能是因?yàn)橹R點(diǎn)掌握不足，對于高中數(shù)學(xué)而言，總結(jié)錯題無疑是一個系統(tǒng)化提升的過程，因而錯題具有的教育價值不可忽視。

一、高中數(shù)學(xué)對錯題進(jìn)行總結(jié)的重要性

高中數(shù)學(xué)知識性內(nèi)容多、內(nèi)容駁雜。僅就課本內(nèi)容而言，就出現(xiàn)了6本教材，涉及平面幾何、立體幾何、解析幾何、向量與代數(shù)等內(nèi)容，內(nèi)容之多，難度之大，跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)和研究的程度也超過此前任何一個時期，故而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會不斷出現(xiàn)各種各樣的錯誤，錯誤題目越積累越多，相關(guān)的整理、歸納、總結(jié)如不能及時跟進(jìn)，將會造成很大的知識漏洞[1]。這也意味著錯題總結(jié)具有如下的重要性：

1.明確出錯的原因，進(jìn)行總結(jié)提升

錯題的出現(xiàn)往往有很多的原因，一般性的錯誤和知識性的錯誤不可等量齊觀，其中更有一些因?yàn)楹鲆暫途o張而犯下的疏漏性問題。對錯題進(jìn)行總結(jié)就意味著要從更全面的角度對犯錯的地方進(jìn)行梳理，可以是重新演算或理解，也可以是記下相關(guān)的結(jié)論以供下次使用。錯題的總結(jié)在此處體現(xiàn)的是較為綜合的評估作用。一條普適的規(guī)律是犯過的錯誤往往會繼續(xù)犯，直到徹底理解錯誤的真實(shí)意義才有可能在之后的學(xué)習(xí)中規(guī)避。

2.起到習(xí)題集的作用，比習(xí)練新題更具復(fù)習(xí)意義

由于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容較多，日常的學(xué)習(xí)往往不能兼顧眾多的知識點(diǎn)，而考試尤其是高考，針對的是全面的知識體系，這就凸顯了不斷復(fù)習(xí)的重要性。在復(fù)習(xí)的過程中有很多學(xué)生因?yàn)閺?fù)習(xí)資料較多而顯得茫無頭緒，這時，由不斷總結(jié)錯題匯集而成的錯題集便成為一個很好的復(fù)習(xí)寶典。有價值的錯題往往是知識點(diǎn)較為綜合的難題和需要技巧和能力的應(yīng)用才能解答的題[2]。因而通過一道錯題便可以讀取到較多的知識性內(nèi)容，可以做到對照題目翻找書本中的相關(guān)概念，做到綜合的復(fù)習(xí)與提升。這對于高考復(fù)習(xí)和階段性總結(jié)提升頗為有用。

二、如何挖掘高中數(shù)學(xué)錯題中蘊(yùn)含的教育價值

1.對知識性內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，分析錯誤原因

下面是一道典型的三角函數(shù)與向量知識的綜合應(yīng)用題。這一實(shí)例是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題的代表，需要學(xué)生有較為綜合的數(shù)學(xué)邏輯和思維，能夠較好地理清知識點(diǎn)并進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算才能獲得正確求解。

例1.已知α、β、?為三個銳角，且α＝π-β-?.若向量與向量是共線向量。

三角函數(shù)在向量中的應(yīng)用常常是利用空間向量的相互關(guān)系，并將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，由此達(dá)到結(jié)合兩部分知識并進(jìn)行化簡問題最終得解的目標(biāo)。

綜合分析上題可知，學(xué)生的易錯點(diǎn)在于三角函數(shù)運(yùn)算公式識記不清、對向量共線等概念把握不準(zhǔn)確進(jìn)而造成錯解。通過對這一錯題的分析相當(dāng)于同時總結(jié)了三角函數(shù)、向量、三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用方面的問題。學(xué)生通過錯解分析錯誤原因，更好地突出了錯題具有的教育意義[3]。

2.對能力性內(nèi)容進(jìn)行分析研究，啟迪類似問題的解法

例2．已知函數(shù)f(x)=X2+xsinx+cosx

（1）若曲線y=f(x)在點(diǎn)(m,f(m))處與直線y=n相切，求m與n的值。

（2）若曲線y=f(x)與直線y=n有兩個不同的交點(diǎn)，求n的取值范圍。

解：（1）由基本求導(dǎo)法則：f’(x)=2x+xcosx.

又由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(m,f(m))處的切線為y=n.

所以f'(m)=0，f(m)=n。故有2a+acosa=0，a2+asina+cosa=n.聯(lián)立兩式，解得m=0,n=1.

（2）由2+cosx＞0,故當(dāng)x＞0時，f’(x)＞0，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).

當(dāng)x＜0時，f’(x)＜0，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)。

當(dāng)x＜0時，f(x)取得最小值f(0)=1。此時n的取值范圍為正無窮大。

導(dǎo)數(shù)和三角函數(shù)的結(jié)合應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)知識體系中就表現(xiàn)為這樣典型的兩個方面，從基本的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，到通過導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性及取值范圍以及進(jìn)行函數(shù)表達(dá)式的求解。而三角函數(shù)的一些特殊性質(zhì)，比如周期性、值域等基本的特性在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解問題時會使問題更多維化和思想化，較為考驗(yàn)學(xué)生的綜合能力。

以上例題的綜合性也較大，出現(xiàn)了分類討論及求解混合方程與待定系數(shù)求解等多個方面的知識點(diǎn)。學(xué)生在解題的過程中需要知道基本的求導(dǎo)法則，同時根據(jù)題目給定的條件進(jìn)行靈活變通，對類似題目的錯題進(jìn)行總結(jié)，能夠明確考查能力型題目的命題方向和特點(diǎn)，經(jīng)常研究這類題目是拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為高分進(jìn)階的重要法寶。

結(jié) 語

綜上所述，錯題的良性利用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的重要實(shí)現(xiàn)途徑，通過合理地利用錯題并挖掘錯題中蘊(yùn)含的教育價值，對于更好地促進(jìn)高中生的學(xué)習(xí)，完善錯題中知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)具有重要意義。同時，通過本文的分析也可看出，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多，教學(xué)過程中知識性內(nèi)容較多，而課下學(xué)生自主的能力鍛煉便顯得十分重要，通過積極地整理和應(yīng)用數(shù)學(xué)錯題，能使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中的漏洞，對知識點(diǎn)進(jìn)行重新梳理和分析，明確自己的易錯點(diǎn)和相應(yīng)的知識點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而做到對不同數(shù)學(xué)知識的良好掌握，更加凸顯數(shù)學(xué)錯題的教育價值，使得數(shù)學(xué)錯題的真正意義得以體現(xiàn)，為學(xué)生的知識學(xué)習(xí)和能力提升作出貢獻(xiàn)。

[1]盛曉燕．巧用數(shù)學(xué)錯題資源提高課堂教學(xué)效果[J/OL]．華夏教師，2016，(S2)：65(2016-08-09)． http：//kns．cnki．net/kcms/detail/10．1045．G4．20160809．1053．104．html．DOI：10．16704/j．cnki．hxjs．2016．s2．052．

[2]陳婷婷．例談數(shù)學(xué)錯題分析中學(xué)生知識內(nèi)化的策略[J]．小學(xué)教學(xué)參考，2015，(08)：66-67．

[3]許春輝．?dāng)?shù)學(xué)“錯題本”在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用研究[J]．開封教育學(xué)院學(xué)報，2014，34(10)：231-232．