胡澤炎

【摘要】不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，它綜合利用了許多數(shù)學(xué)知識.函數(shù)的凹凸性對于不等式的證明起到了重要作用，本文將分析函數(shù)凹凸性在解題過程中的一些技巧.

【關(guān)鍵詞】凹凸性；不等式；技巧

一、引 言

高中數(shù)學(xué)一個(gè)重要內(nèi)容就是不等式，這部分內(nèi)容的綜合性強(qiáng)，難度大[1].我們知道，反映客觀事物的基本數(shù)量的關(guān)系式可以用等式關(guān)系和不等式關(guān)系進(jìn)行表示，而相對于等式關(guān)系，不等式描述了事物在數(shù)量關(guān)系上的大小，是表示了關(guān)于實(shí)際生活中的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，如何建立不等關(guān)系，以及利用不等關(guān)系來解決現(xiàn)實(shí)問題，是高中以及將來在大學(xué)的學(xué)習(xí)會經(jīng)常遇到的問題之一，所以高中的學(xué)習(xí)中學(xué)生要不斷地積累不等式的基本內(nèi)容和解題技巧.在解決這些問題時(shí)，通常需要綜合利用函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等相關(guān)知識.不等式能很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想和方法，這些思想方法包括轉(zhuǎn)換變量、數(shù)形結(jié)合、分類討論，而這些思想剛好是高中數(shù)學(xué)里最重要的思想，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué).本文將以高考中常遇到的相關(guān)題型為例，探討不等式解題的基本技巧和方法，為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供一些幫助.

二、凹凸性的證明技巧

解不等式的過程就是應(yīng)用不等式的一些性質(zhì)對不等式做等價(jià)轉(zhuǎn)換的過程，證明不等式時(shí)，需要應(yīng)用不等式性質(zhì)和一些重要的不等式對不等式做同解變形或放縮到合適的位置，再應(yīng)用其他知識做綜合考查.我們要注意，在解題過程中要善于對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成解不等式或不等式證明來解決，這充分體現(xiàn)了在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不等式的工具性特點(diǎn).下面是一些高考數(shù)學(xué)中最常遇到的不等式：基本不等式、柯西不等式、絕對值不等式（或三角不等式）、排序不等式等.另外，在很多時(shí)候，還會利用函數(shù)的凹凸性去求解或者證明不等式.下面給出函數(shù)凹凸性的定義，在一些教材和參考書里，函數(shù)的凹凸性也被定義為上凸和下凸，本文采用上凸和下凸的定義，因此，這從圖形更好地去理解.

三、小 結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，對函數(shù)的凹凸性可以逐漸掌握，層層遞進(jìn)，在不同階段掌握不同的解題方法，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容有一個(gè)拓展和加深，同時(shí)也可以讓學(xué)生從簡單的對圖形的認(rèn)識，上升到理論上的解決問題的能力，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)思想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]葉立軍.初等數(shù)學(xué)研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[2]鄭立飛，吳養(yǎng)會，王潔.一道積分題的四種證明方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2017（3）：4-5.