李 暉， 孫 偉， 常永樂， 李 健(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

纖維增強復合材料及其結(jié)構(gòu)具有比強度高、比模量高、熱穩(wěn)定性好，還有一定的阻尼減振能力，因此被廣泛應用于航空、航天、汽車工業(yè)、船舶、體育器械與兵器工業(yè)等重要領(lǐng)域-2]。目前，工程實際中存在大量通過該類型材料制成的典型復合薄板結(jié)構(gòu)件，如太陽能帆板、航空發(fā)動機風扇葉片以及大型風力機葉片等[3-4]，隨著它們的結(jié)構(gòu)越來越復雜、工作環(huán)境越來越苛刻，其振動問題也越來越突出，由此引發(fā)的振動超標、磨損、疲勞失效等故障問題也越來越突出[5-8]。同時，其宏觀結(jié)構(gòu)還表現(xiàn)出隨外界激振幅度及頻率變化的阻尼特性(稱之為頻率依賴性和振幅依賴性)以及非線性的剛度特征(固有頻率也隨著振幅而改變)，這給傳統(tǒng)的以線性等效為主的振動測試方法帶來很大的挑戰(zhàn)，也增大了從理論角度建立其非線性解析模型的難度。

長期以來，人們在實驗研究纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)線性及非線性阻尼特性方面做了很多工作，已經(jīng)取得了階段性的研究成果。來自美國伊利諾伊大學的Schultz和空軍材料研究所的Tsai[9]在1968年首次對玻璃纖維/樹脂復合懸臂梁的阻尼特性進行了測試，在頻率范圍5～10 kHz內(nèi)，發(fā)現(xiàn)復合梁的阻尼具有頻率依賴性，即在不同的激振頻率下，復合梁結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出不同的阻尼值。經(jīng)過與金屬鋁懸臂梁相比較，研究發(fā)現(xiàn)纖維方向分別為0°、22.5°、45°和90°的復合懸臂梁的阻尼值一般為1%左右，是金屬懸臂梁阻尼值的5倍～30倍。Wolfenden等[10]基于Granato-Lucke理論，實驗研究了纖維/鋁基復合材料結(jié)構(gòu)阻尼隨應變幅值變化的非線性問題，研究表明短纖維材料結(jié)構(gòu)的應變振幅依賴性要明顯強于長纖維結(jié)構(gòu)，并且增大纖維直徑也有助于提高結(jié)構(gòu)的阻尼性能。Crane等[11]搭建了脈沖激勵實驗臺，對三類不同材料復合梁試件的損耗因子進行了測試，研究發(fā)現(xiàn)90°纖維復合梁的阻尼性能要優(yōu)于0°纖維復合梁。Kostopoulos等[12]對碳纖維/樹脂復合懸臂梁的阻尼參數(shù)也開展了實驗研究，在0～1 750 Hz頻率范圍內(nèi)，通過自由振動衰減法獲得了小振幅激勵情況下前4階固有頻率和阻尼參數(shù)，發(fā)現(xiàn)該類型復合材料結(jié)構(gòu)的阻尼與激振頻率存在非線性的依賴關(guān)系。Berthelot等[13]利用錘擊法獲得芳綸纖維和玻璃纖維兩種復合梁結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，并識別獲得了模態(tài)損耗因子等參數(shù)。Matter等[14]搭建了纖維增強復合薄板聲激振測試平臺，用揚聲器對復合薄板進行非接觸激勵，用激光位移傳感器測量振動響應，并在自由狀態(tài)下獲得了復合薄板的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型等參數(shù)。Iriondo等[15]同時對玻璃纖維/鋁基復合薄板和自增強聚丙烯(self-reinforced polypropylene)復合材料薄板的阻尼進行了表征測試，并通過半功率帶寬法獲得其阻尼參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)上述復合薄板的阻尼與激勵頻率密切相關(guān)，且通常會隨著激勵頻率的增加而增大。李瑞杰等[16]搭建了懸臂梁振動實驗臺，研究發(fā)現(xiàn)基體材料組分和纖維鋪設(shè)方向?qū)秃喜牧辖Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度和阻尼性能有重要影響。黎大志等[17]對碳/環(huán)氧樹脂復合梁結(jié)構(gòu)的阻尼測試方法進行研究，研究認為采用非接觸測振方式，且在自由邊界條件開展實驗，可能會獲得最佳的阻尼測試效果。李明俊等[18]借助動態(tài)熱機械分析儀考察了不同邊界條件下纖維增強復合梁結(jié)構(gòu)的阻尼性能。研究發(fā)現(xiàn)該類型復合材料結(jié)構(gòu)的內(nèi)耗都隨著結(jié)構(gòu)應變振幅的增加而減少，且結(jié)構(gòu)內(nèi)耗峰值所對應的溫度隨應變振幅的增加而向低溫方向移動。楊云昭等[19]對國產(chǎn)JHT300-3K和MT300-3K碳纖維梁結(jié)構(gòu)的阻尼特性也進行了測試，研究發(fā)現(xiàn)增大鋪層角度，損耗因子增大，且隨著振動頻率變化，在某一頻率下存在最大的損耗因子。Chen等[20]在簡支邊界條件下利用振動臺對碳纖維復合薄板結(jié)構(gòu)進行掃頻測試，通過對比在不同掃頻方向獲得的響應信號的頻譜及其發(fā)生跳躍現(xiàn)象對應的頻率，來判斷復合材料結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的硬式、軟式剛度非線性特征，初步確認了一套可行的非線性振動參數(shù)的實驗測試方法。

雖然人們對纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)開展了大量的實驗研究工作，但絕大多數(shù)是從線性測試角度出發(fā)來獲取阻尼結(jié)果，對具有振幅依賴的該類型復合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非線性阻尼特性開展實驗研究的相對較少，特別是從時域測試角度研究其非線性阻尼變化及其影響的文獻并不多見，因此關(guān)于其阻尼的測試研究還應進一步深入，以便可以科學地掌握其非線性振動的特點與行為。

本文利用了Hilbert變換適用領(lǐng)域廣、運算效率高、變換原理簡單的優(yōu)勢[21]，從時域信號分析與處理角度，提出了具有振幅依賴性的纖維增強復合薄板非線性阻尼的測試方法。首先，利用Hilbert變換技術(shù)，推導獲得了復合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非線性阻尼的表達式，明確了從時域測試角度獲取非線性阻尼參數(shù)的理論原理。然后，編寫了MATLAB算法，并用數(shù)值算例證明了該算法的正確性。最后，總結(jié)并概括出一套合理、規(guī)范的測試流程，并對TC500碳纖維/樹脂基復合薄板進行了實際測試。實踐證明，利用本文所提出的方法，可以有效獲得不同衰減時刻對應的阻尼參數(shù)，該方法可以用來定量評價不同激勵幅度及頻率下具有振幅依賴的復合材料結(jié)構(gòu)的非線性阻尼特性。

1 理論原理

由于從信號分析與處理角度來看，時域信號具有物理概念明晰、測試原理簡單、信號波形直觀等獨特優(yōu)勢，因此本文從時域測試角度出發(fā)，結(jié)合Hilbert變換技術(shù)來研究纖維增強復合薄板具有振幅依賴的非線性阻尼特性，以下詳細說明該方法的理論原理。

根據(jù)振動學原理，一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼特性決定了其振動能量消耗的快慢，假設(shè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)共振時(不論復合材料結(jié)構(gòu)還是單一材料結(jié)構(gòu))，當其各階模態(tài)互不耦合時，可以將其看作單自由度系統(tǒng)，并可通過自由振動衰減法來獲取其阻尼參數(shù)。即首先利用振動激勵設(shè)備，激發(fā)其達到某階共振狀態(tài)，然后在切斷激勵源后，研究其時域信號衰減的快慢程度，進而從時域測試角度來客觀評價其阻尼參數(shù)的大小。對于本文所研究的纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)，由于其剛度及阻尼參數(shù)均隨著系統(tǒng)的振幅而發(fā)生改變，因而對于這一衰減過程，可以認為其剛度及阻尼隨著衰減時間的變化而發(fā)生改變，這樣我們可將上述衰減過程用如下的單自由度方程來進行描述。

(1)

式中：m為纖維增強復合薄板的模態(tài)質(zhì)量；c(t)和k(t)則分別表纖維增強復合薄板的時變模態(tài)阻尼及剛度；q(t)為對應模態(tài)坐標的振動衰減響應。

下面，基于Hilbert變換技術(shù)，推導對纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)進行具有振幅依賴的非線性阻尼測試的理論原理。首先，通過測試，可以獲得某階固有頻率對應的共振狀態(tài)下的時域衰減信號q(t)，然后對其進行Hilbert變換，并將變換表達式表示為

(2)

進行Hilbert變換后，可以將變換后的信號與原始時域衰減信號進行合并，并獲得一組新的分析信號Q(t)，假設(shè)其表達式為

(3)

新的分析信號Q(t)的包絡(luò)線A(t)和瞬時相位ψ(t)可分別表示為

(4)

(5)

對瞬時相位ψ(t)求導數(shù)，則可獲得即時頻率ω(t)，即

ψ′(t)=ω(t)

(6)

對式(1)進行Hilbert變換，可以得到

(7)

需要說明的是，對式(1)進行Hilbert變換時，這里假設(shè)時變模態(tài)阻尼c(t)和時變剛度k(t)都是穩(wěn)定改變的，即在變換過程中，c(t)和k(t)都為常數(shù)，即

(8)

(9)

將式(7)兩端乘以虛數(shù)單位j后加到式(1)上，可得到用分析信號表達的運動方程，即

(10)

(11)

(12)

將式(11)和式(12)代入式(10)，整理后可獲得

(13)

令式(13)的實部和虛部都等于零，就可獲得復合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的具有振幅依賴的非線性剛度及阻尼的表達式

(14)

(15)

2 數(shù)值算例

本節(jié)用數(shù)值算例校驗所提出的時域測試方法的正確性，設(shè)復合材料結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時變剛度表達式為k(t)=1 000-100tN/m，阻尼的表達式分別c(t)=0.5+0.2tN·s/m，系統(tǒng)的質(zhì)量m=1 kg。

3 測試流程

根據(jù)上述的理論原理，經(jīng)過反復實驗，不斷總結(jié)，可參照如下的測試流程，從時域角度來獲取纖維增強復合薄板具有振幅依賴的非線性阻尼參數(shù)，共包含以下7個關(guān)鍵步驟。

(a)時域衰減信號(b)包絡(luò)線(c)即時頻率

圖1 復合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時域衰減信號以及Hilbert變換后獲得的衰減信號的包絡(luò)線和即時頻率

Fig.1 Time attenuation signal of composite structure system and its envelope and instant frequency obtained after Hilbert transform

圖2 阻尼辨識結(jié)果與設(shè)定值的時域曲線

(1) 固有頻率的理論計算

首先，可通過解析或有限元方法對維增強復合薄板結(jié)構(gòu)的固有頻率進行計算，初步掌握各階固有頻率所在頻段及其對應的模態(tài)振型的節(jié)點、節(jié)線的分布位置，以便在實驗中確定測試頻率范圍，掌握模態(tài)數(shù)量，建立測試模型，科學合理地布置測點。

(2) 確定測試所需的邊界條件

若在自由態(tài)測試，則需采用橡皮繩將被測薄板結(jié)構(gòu)懸掛，確?？梢杂行M自由邊界條件；若在約束態(tài)下測試，則需要開展“預實驗”，即通過力矩扳手來確定被測結(jié)構(gòu)對應夾具上夾緊螺栓的最大力矩值。應以統(tǒng)一規(guī)定的力矩，測試獲得前三階固有頻率，至少測試三次，直到各次測試結(jié)果相差不大為止(例如3～5 Hz)，確定為正式測試時所采納的邊界約束條件。若各次測試的頻率結(jié)果超過10 Hz，則還需進一步增大擰緊力矩，重復進行預實驗多次。同時，還需開展maxwell互異性實驗，排除約束邊界造成的非線性影響。

(3) 確定測試時響應點的位置

參照步驟(1)中獲得的固有頻率和振型結(jié)果，科學地確定測試時響應點的位置。實際測試時，由于纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)的振型節(jié)線復雜，且局部振型豐富，為了避免將響應點布置在結(jié)構(gòu)的節(jié)點或節(jié)線，應至少獲取3個響應點的振動數(shù)據(jù)，并通過比較后，來獲取最佳的響應點的位置。同時，為了減小阻尼參數(shù)的測試誤差，應通過非接觸測振的方式來獲取其響應信號。

(4) 記錄不同激勵幅度下某階固有頻率對應的共振狀態(tài)下的時域衰減信號

首先，通過掃頻激勵方法，獲取不同激勵幅度下纖維增強復合薄板的某階固有頻率(該固有頻率值受到激勵幅度的影響，會呈現(xiàn)一定程度的變化)。然后，按照激勵幅度依次增大的順序，利用穩(wěn)態(tài)激勵裝置(例如，電磁振動臺或激振器)激發(fā)其達到共振狀態(tài)，并在其穩(wěn)定一段時間后，停止激勵，最終記錄不同激勵幅度下某階固有頻率對應的共振狀態(tài)下的時域衰減的位移信號。

(5) 計算纖維增強復合薄板的模態(tài)質(zhì)量

由于實際測試中，復合薄板多處于一端約束、一端自由的懸臂狀態(tài)，下面以懸臂復合薄板為例，給出計算纖維增強復合薄板的模態(tài)質(zhì)量的方法。首先，可通過雙向梁函數(shù)法將懸臂復合薄板的振型函數(shù)W表示為如下形式

(16)

式中:Aij(i=1,2,…,α，j=1,2,…,β)是與激勵幅度有關(guān)的待定系數(shù);Xi(x)表示沿著x方向時一端固定，一端自由梁的第i階模態(tài)函數(shù);Yi(y)表示沿著y方向時兩端自由梁的第j階模態(tài)函數(shù);p，q為各自模態(tài)所考慮的最大階次，利用該振型函數(shù)可獲得薄板任一位置的模態(tài)質(zhì)量m(x,y)，其表達式為

m(x,y)=?sρHW2(x,y)dxdy

(17)

式中:S為復合薄板的面積;ρ為其密度;H為薄板的厚度。

(6) 對各階時域衰減信號進行EMD分解

由于Hilbert變換需要信號在任意時刻具有單一頻率成分，而測試獲得的信號在某一時刻并不能完全保證處于單一頻率，因而需要對原始信號進行EMD分解，以排除背景噪聲及其它干擾因素的影響。此外，對測試獲得的原始信號進行EMD分解，也有助于判斷測試獲得衰減信號是否為共振衰減響應，這樣有利用提高后續(xù)步驟中Hilbert變換的變換精度。

(7) 進行Hilbert變換并獲得具有振幅依賴的非線性阻尼參數(shù)

在通過步驟(6)獲得了維增強復合薄板的各階時域衰減信號后，分別對其進行Hilbert變換處理，進一步利用式(4)和式(6)來獲得各階時域衰減信號的包絡(luò)線A(t)和即時頻率ω(t)，然后將其代入到式(15)，則可獲得被測復合薄板的時變阻尼參數(shù)c(t)。最后，根據(jù)下式，將其轉(zhuǎn)換成為常用的模態(tài)阻尼比ζ(t)。

(18)

4 測試實例

下面以TC500碳纖維/樹脂基復合薄板為研究對象，如圖3所示，對其非線性阻尼進行測試。該類型復合薄板為對稱正交鋪設(shè)，即[(0/90)s/0/(90/0)s]，共有21層，每個鋪層具有相同的厚度和纖維體積分數(shù)，其纖維縱向彈性模量E1=136 GPa，橫向彈性模量E2=7.92 GPa，剪切模量G12=3.39 GPa，泊松比v12=0.32，質(zhì)量為251 g，密度為1 780 kg/m3。通過圖3所示的夾具來將其夾緊，用以模擬懸臂約束邊界條件，夾持長度為30 mm，夾持后復合薄板的長、寬、厚尺寸為200 mm×130 mm×2.36 mm。

首先，搭建了復合薄板振動測試系統(tǒng)，其連接示意圖見圖3，主要包括激光測振儀、數(shù)據(jù)采集設(shè)備、筆記本工作站以及由電磁激振器、功率放大器以及振動轉(zhuǎn)化底座、激振平臺構(gòu)成的振動激勵系統(tǒng)，表1給出了相關(guān)儀器的具體型號。其中，數(shù)據(jù)采集設(shè)備可發(fā)出激勵信號，并通過功率放大器將信號放大，進而控制電磁激振器實現(xiàn)振動激勵。電磁激振器的振動能量將作用在振動轉(zhuǎn)化底座上，并通過激振平臺以基礎(chǔ)激勵的形式傳遞給復合薄板結(jié)構(gòu)，然后通過反饋測點位置的加速度傳感器對激勵幅度進行有效控制。

表1 測試儀器型號

測試時，首先將復合薄板通過夾具固定在激振平臺上，并通過力矩扳手擰緊夾具上的四個M12螺栓。接下來進行測點位置的確定，經(jīng)過反復測試對比，最終選取了距離復合板約束端150 mm，且距離上端自由邊20 mm、振動響應較強又不超出傳感器量程的A點為響應測點，并將夾具上的B點作為反饋傳感器測點，然后按照所提出的測試流程，首先通過力矩扳手，經(jīng)過“預實驗”準確確定了懸臂邊界對應的擰緊力矩值為50 Nm；然后，參考有限元方法獲得的計算結(jié)果，對纖維增強復合薄板開展掃頻測試，分別在1 g，2 g和4 g三個激勵幅度下獲得該類型復合薄板的各階固有頻率，結(jié)果如表2所示。接著，在上述固有頻率處激發(fā)其達到共振狀態(tài)，并通過激光測振儀獲取其時域衰減的位移信號。同時，對各階時域衰減信號進行EMD分解，以排除背景噪聲的干擾，圖4和圖5分別給出了1 g激勵幅度下，測試獲得的第6階共振衰減信號以及經(jīng)過EMD分解后獲得的相應結(jié)果，從中可以看出，通過EMD分解步驟，確實提高了衰減信號的信噪比。

表2不同激勵幅度下纖維增強復合薄板的前7階固有頻率

Tab.2Thefirst7naturalfrequenciesoffiber-reinforcedcompositethinplateunderdifferentexcitationamplitude

激勵幅度固有頻率/Hz1階2階3階4階5階6階7階1g48.8101.6310.8416.0505.2854.0966.82g47.098.8308.8414.2503.8848.2965.34g46.798.0306.0410.0500.2846.0961.6

圖4 1 g幅度下測試獲得的復合薄板第6階共振衰減信號

圖5 1 g幅度下經(jīng)過EMD分解后獲得的第6階共振衰減信號

最后，按照所提出的測試流程，計算纖維增強復合薄板的模態(tài)質(zhì)量并進行Hilbert變換處理操作，首先可獲得各階時域衰減信號的包絡(luò)線和即時頻率，然后通過式(15)、和式(18)來獲得被測復合薄板的具有振幅依賴性的非線性阻尼參數(shù)，圖6給出了1 g，2 g和4 g三個不同激勵幅度下通過時域測試方法獲得的第3階阻尼結(jié)果，圖7給出了1 g，2 g和4 g三個不同激勵幅度下通過時域測試方法獲得的第6階阻尼結(jié)果。需要說明的是，為避免偶然性因素的影響，上述時變阻尼結(jié)果均是在相同實驗條件下重復實驗三次，并經(jīng)過線性平均處理后獲得的。

從上述結(jié)果可以看出，隨著激勵幅度的增大，纖維增強復合薄板的阻尼呈現(xiàn)逐步增大的趨勢，這可能和纖維與基體材料相互作用的摩擦效應增大有關(guān)。另外，0～0.6 s時間范圍內(nèi)來看，該類型復合材料結(jié)構(gòu)阻尼隨著衰減時間的持續(xù)呈現(xiàn)加速增大的特點，后續(xù)有必要針對這種非線性現(xiàn)象，從理論上建立其非線性阻尼模型，進一步解釋其非線性變化的能量耗散機理。

(a)1g激勵幅度(b)2g激勵幅度(c)4g激勵幅度

圖6 不同激勵幅度下通過時域測試方法獲得的第3階阻尼比

圖7 不同激勵幅度下通過時域測試方法獲得的第6階阻尼比

Fig.7 Damping ratios obtained by time domain test method under different excitation levels at the sixth order

5 結(jié) 論

本文提出了纖維增強復合薄板具有振幅依賴的非線性阻尼參數(shù)的時域測試方法，該方法共包括7個關(guān)鍵步驟：① 固有頻率的理論計算；② 確定測試所需的邊界條件；③ 確定測試時響應測點的位置；④ 記錄不同激勵幅度下某階固有頻率對應的共振狀態(tài)下的時域衰減信號；⑤ 計算纖維增強復合薄板的模態(tài)質(zhì)量；⑥ 對各階時域衰減信號進行EMD分解；⑦ 進行Hilbert變換并獲得具有振幅依賴的非線性阻尼參數(shù)。

利用所提出的方法，獲得了TC500碳纖維/樹脂基復合薄板在不同衰減時刻對應的非線性阻尼比。實踐證明，該方法可以用來定量評價不同激勵幅度及頻率下纖維增強復合材料結(jié)構(gòu)的非線性阻尼特性，同時也有助于研究者從理論和實踐兩個層面揭示其非線性振動特點。

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