臧廷朋， 王鳳仁， 溫廣瑞,2， 張志芬(. 西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 智能儀器與監(jiān)測診斷研究所， 西安 70049; 2. 新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 烏魯木齊 830047)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)綜合反映了旋轉(zhuǎn)機(jī)械的動力特性，準(zhǔn)確的識別模態(tài)參數(shù)對旋轉(zhuǎn)機(jī)械的狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷有著重要意義[1]。隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械不斷朝著精密化、大型化、高速化發(fā)展，現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械工作轉(zhuǎn)速可能接近第二階臨界轉(zhuǎn)速，因此必須精確的識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，從而保障機(jī)組高效、平穩(wěn)持續(xù)運(yùn)行[2]。

工程實(shí)際中常用傳遞矩陣法和有限元法識別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)[3-5]，考慮到機(jī)組結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和機(jī)組相互之間關(guān)聯(lián)影響，建立準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型比較困難。同時(shí)上述兩種方法沒有考慮實(shí)際運(yùn)行工況下系統(tǒng)剛度、阻尼變化對模態(tài)參數(shù)的影響，模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果與真實(shí)值往往有較大差異[6]。另一方面，為了獲得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)需要施加人工激勵(lì)，對大型高速工業(yè)用轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加人工激勵(lì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，降低了模態(tài)參數(shù)識別的精度和效率。相對于廣泛應(yīng)用的頻域方法，模態(tài)參數(shù)時(shí)域識別方法直接使用不需要進(jìn)行時(shí)頻變換的時(shí)域信號進(jìn)行識別，避免了時(shí)頻變換導(dǎo)致的能量泄漏，同時(shí)不影響機(jī)組的連續(xù)正常運(yùn)行，因而模態(tài)參數(shù)的時(shí)域識別方法受到越來越多的關(guān)注[7-9]。鄭鋼鐵等[10]提出了一種基于時(shí)域振動參數(shù)識別理論的模態(tài)參數(shù)識別方法，該方法通過獲取振動響應(yīng)并結(jié)合系統(tǒng)先驗(yàn)知識，實(shí)現(xiàn)了模態(tài)參數(shù)的現(xiàn)場識別；宋志強(qiáng)[11]提出了基于遺傳算法的模態(tài)參數(shù)時(shí)域識別方法，在使用多信號分類確定系統(tǒng)階次的基礎(chǔ)上，利用遺傳算法尋優(yōu)獲得系統(tǒng)的自振頻率和阻尼比。目前基于運(yùn)行工況的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別尚缺少有效實(shí)用的方法。

本文針對運(yùn)行工況下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別問題，提出一種基于隨機(jī)子空間[12-15]和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庀嘟Y(jié)合的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法。該方法首先對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)進(jìn)行窄帶濾波，獲取轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)中各階自由衰減分量，然后借助于EMD降低模態(tài)混疊和其他信號成分的影響，最后利用SSI識別各階模態(tài)的固有頻率。該方法直接處理系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，完成保留了數(shù)據(jù)信息，同時(shí)避免了各階模態(tài)之間的相互影響，模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果更具有可靠性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/h2>

經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈁16-18]是一種基于數(shù)據(jù)本身特征把復(fù)雜的信號分解為有限個(gè)固有模式分量(IMF)的方法，可以自適應(yīng)處理非線性、非平穩(wěn)信號。其本質(zhì)是利用信號特征時(shí)間尺度來獲得信號的固有模式分量。EMD分解建立在三個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上：信號至少有兩個(gè)極值點(diǎn)(一個(gè)極大值和一個(gè)極小值)；特征時(shí)間尺度由極點(diǎn)之間的時(shí)間間隔定義；如果缺少極值點(diǎn)但有變形點(diǎn)，可通過微分獲得極值點(diǎn)。

EMD分解得到一個(gè)固有模式函數(shù)主要思想為，通過提取信號x(t)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，利用三次樣條得到上包絡(luò)和下包絡(luò)，獲取包絡(luò)均值為m(t)，用原始信號減去包絡(luò)均值得到h(t)；檢驗(yàn)h(t)是否為一個(gè)IMF分量，如果不是，令原信號是h(t)，重復(fù)上述過程直到找到第一個(gè)IMF分量c1(t)；將第一個(gè)IMF分量從x(t)分離出來作為新的數(shù)據(jù)，重復(fù)上面過程，可以得到一系列固有模式分量和一個(gè)殘余項(xiàng)。原始信號可以表示為

(1)

2 隨機(jī)子空間理論

2.1 隨機(jī)子空間模型

隨機(jī)子空間方法是一種適用于平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)條件下模態(tài)參數(shù)識別的時(shí)域方法。其模型是由結(jié)構(gòu)動力學(xué)MCK方程推導(dǎo)出來的，并假設(shè)噪聲信號是零均值的隨機(jī)平穩(wěn)噪聲。模型表達(dá)式為

(2)

式中:A為狀態(tài)矩陣;C為輸出矩陣;wk為零均值過程噪聲;vk為零均值測量噪聲;xk為狀態(tài)向量;yk為輸出的測量值。

2.2 隨機(jī)子空間原理

SSI方法的思想是把將來輸入的行空間投影到過去輸入的行空間上，然后利用投影的結(jié)果預(yù)測未來。根據(jù)傳感器輸出，將輸出信號構(gòu)建出Hankel矩陣

(3)

式(3)是由N個(gè)采樣數(shù)據(jù)構(gòu)成的，N=2i+j-1。其中p表示“過去”的數(shù)據(jù)，f表示“未來”的數(shù)據(jù)，要求j>>i。

對Hankele矩陣QR分解

(4)

由空間投影性質(zhì)可以進(jìn)行正交投影

(5)

式中：?表示偽逆。經(jīng)過QR分解可以使得數(shù)據(jù)量極大的縮減，有利于程序運(yùn)行。

對投影矩陣SVD分解

(6)

式中：U1∈Rli×n；S1∈Rn×n；V1∈Rj×n，系統(tǒng)的階次由S1的秩來確定。

對投影矩陣進(jìn)行卡爾曼狀態(tài)濾波

(7)

由式(6)和式(7)，可令

(8)

(9)

正交投影矩陣還可以定義為

(10)

(11)

類似上面的推理，可以得到

(12)

將卡爾曼狀態(tài)濾波與輸出代入系統(tǒng)狀態(tài)方程

(13)

式中：Yi,i表示只有一個(gè)行塊的輸出矩陣。

由于干擾與狀態(tài)不相關(guān)，可以采用最小二乘法來計(jì)算矩陣的漸近無偏估計(jì)

(14)

在確定系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣之后，對系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A進(jìn)行特征值分解，求其特征值λi。離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特征值關(guān)系為

(15)

則信號的頻率為

(16)

3 基于SSI和EMD的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別

運(yùn)行工況下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其振動激勵(lì)包括不平衡等自身激勵(lì)以及外部隨機(jī)環(huán)境激勵(lì)，前者會產(chǎn)生明顯的各階振蕩諧波，后者持續(xù)存在并激發(fā)產(chǎn)生振動響應(yīng)中的自由衰減分量?；赟SI和EMD的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別方法，側(cè)重于通過隨機(jī)環(huán)境激勵(lì)產(chǎn)生的微弱自由衰減分量中實(shí)時(shí)的識別系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。首先根據(jù)先驗(yàn)知識和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)設(shè)置濾波器參數(shù)，采用窄帶濾波方法提取轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)中的各階自由衰減分量，考慮到響應(yīng)信號中各階模態(tài)存在混疊的情況，利用EMD自適應(yīng)的進(jìn)一步提取更加精確的各階自由衰減分量信號，然后利用SSI求解系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的狀態(tài)矩陣和輸出矩陣得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。具體識別過程，如圖1所示。

圖1 模態(tài)參數(shù)識別流程圖

4 仿真分析

針對運(yùn)轉(zhuǎn)工況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的特點(diǎn)，將各階振蕩諧波表示為幅值與頻率固定的余弦信號。將各階次自由衰減分量表示為頻率固定、幅值按指數(shù)形式變化的余弦信號?？紤]到轉(zhuǎn)子運(yùn)行時(shí)需要遠(yuǎn)離各階臨界轉(zhuǎn)速，因而各階自由衰減分量的幅值應(yīng)遠(yuǎn)小于諧波的振動幅值。構(gòu)建如下的仿真信號

x(t)=30cos(2×π×50t+π/6)+

10cos(2×π×5t+π/8)+

0.1exp(-0.15t)cos(2×π×25t+π/4)+

0.05exp(-0.14t)cos(2×π×75t)

(17)

式中：第一項(xiàng)模擬一倍頻分量，一倍頻分量頻率為50 Hz；第二項(xiàng)模擬分倍頻分量，分倍頻分量頻率為5 Hz；第三項(xiàng)模擬系統(tǒng)一階模態(tài)自由衰減分量，頻率為25 Hz；第四項(xiàng)模擬系統(tǒng)二階模態(tài)自由衰減分量，頻率為75 Hz。添加方差為1的白噪聲，采樣頻率為1 kHz，采樣時(shí)間為2 s。仿真信號的時(shí)域波形如圖2所示。對仿真信號進(jìn)行窄帶濾波，并用EMD提取前兩階模態(tài)自由衰減分量，分別如圖3和圖4所示。

圖2 仿真信號時(shí)域波形

圖3 一階模態(tài)自由衰減分量

圖4 二階模態(tài)自由衰減分量

使用本文方法對提取的各階模態(tài)自由衰減分量進(jìn)行識別，結(jié)果如表1所示。通過對比，可以看出本方法可以很好的從模擬信號中提取出一階模態(tài)與二階模態(tài)固有頻率。

表1 模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

5 實(shí)驗(yàn)研究

在Bently RK4轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺上對本文提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)臺布置如圖5所示。設(shè)置采樣頻率為2 048 Hz，采樣時(shí)長為1 s，用DT9837B數(shù)采卡對轉(zhuǎn)子運(yùn)行工況下穩(wěn)定轉(zhuǎn)速過程進(jìn)行連續(xù)數(shù)據(jù)采集。有4個(gè)通道的數(shù)據(jù)，可以任意選取一組數(shù)據(jù)作為監(jiān)測數(shù)據(jù)，本文選用1_X(第一通道)通道的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證分析。

轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺的工作轉(zhuǎn)速為4 000 r/min，介于一階與二階臨界轉(zhuǎn)速之間。在求解系統(tǒng)各階模態(tài)參數(shù)時(shí)，首先通過濾波器濾波，提取各階自由衰減分量。提取一階衰減分量濾波器中心頻率為30 Hz，帶寬是60 Hz；提取二階衰減分量濾波器中心頻率為110 Hz，帶寬是50 Hz。由于模態(tài)混疊及其他信號成分對模態(tài)參數(shù)識別精度有較大影響，對濾波后的信號進(jìn)行EMD分解，選取第一個(gè)IMF分量進(jìn)行隨機(jī)子空間模態(tài)識別。濾波和EMD提取的一、二階自由衰減分量分別如圖6～圖9所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)臺結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 濾波后的一階自由衰減分量

圖7 EMD提取的一階自由衰減分量

圖8 濾波后的二階自由衰減分量

圖9 EMD提取的二階自由衰減分量

對EMD提取后的各階模態(tài)衰減分量信號用SSI進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，識別結(jié)果如表2所示。為了驗(yàn)證識別效果，通過一次起車過程獲取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前兩階臨界轉(zhuǎn)速，起車過程bode圖，如圖10所示。其中1點(diǎn)處轉(zhuǎn)速為1 966 r/min，對應(yīng)的頻率是32.77 Hz，2點(diǎn)處轉(zhuǎn)速為6 496 r/min，對應(yīng)頻率是108.27 Hz。通過對比，可以看出本方法求解的一階、二階固有頻率與系統(tǒng)實(shí)際的特性相吻合；同時(shí)，考慮到起車過程數(shù)據(jù)采集具有滯后性，識別的各階模態(tài)頻率小于起車過程臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的頻率。

表2 系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

為了分析起車升速過程中模態(tài)參數(shù)的變化規(guī)律，選取3 900 r/min至4 900 r/min之間11個(gè)不同轉(zhuǎn)速，對各個(gè)轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別，識別結(jié)果如表3和圖11所示。圖中，兩條曲線分別是一階模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化的情況和二階模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化的情況。從表3和圖11中可以看出，系統(tǒng)模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速變化會有輕微的波動，整體變化是隨著轉(zhuǎn)速的上升，一二階模態(tài)頻率有降低的趨勢。

圖10 Bode圖

轉(zhuǎn)速/(r·min-1)各階模態(tài)頻率/Hz一階二階390032.5512108.4917400031.1822107.7785410030.8316106.8193420031.3412107.5438430030.1422107.1453440032.5127106.9571450031.0994106.2167460031.7180107.1076470031.8012106.4699480030.8582105.5993490030.4812105.6045

圖11 模態(tài)參數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化趨勢

6 結(jié) 論

針對運(yùn)行工況下系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別問題，本文提出一種基于隨機(jī)子空間和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庀嘟Y(jié)合的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別的方法。仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)研究表明，該方法可以準(zhǔn)確識別系統(tǒng)一、二階模態(tài)參數(shù)。得出以下結(jié)論：

(1) EMD可以有效減少各階模態(tài)之間的混疊以及其他成分對模態(tài)參數(shù)識別的干擾，提高模態(tài)參數(shù)識別的精度。

(2) 該方法實(shí)施起來無需復(fù)雜設(shè)備也無需繁雜的計(jì)算，具有良好的抗噪性、通用性。

(3) 該方法直接處理系統(tǒng)運(yùn)行工況下的時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，完成保留了數(shù)據(jù)信息，同時(shí)不影響機(jī)組的正常運(yùn)行，模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果更具有可靠性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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