楊偉博， 袁慎芳， 邱 雷， 陳 健(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016)

疲勞裂紋是當(dāng)前飛行器的主要損傷形式之一，實(shí)現(xiàn)疲勞裂紋的擴(kuò)展預(yù)測(cè)，對(duì)飛行器延壽，提升飛行安全、降低維護(hù)成本具有重要意義。然而結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，具有非線性非高斯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)特性，它包含各種不確定因素，如材料參數(shù)的變化、環(huán)境參數(shù)的變化、測(cè)試數(shù)據(jù)的分散性、建模的局限性等，如何克服此類不確定性的因素的影響，實(shí)現(xiàn)疲勞裂紋這類非線性非高斯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)，一直是學(xué)者們研究的重點(diǎn)。

目前，可用于實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展的壽命預(yù)測(cè)方法的主要有失效物理(Physic of Failure, PoF)方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)(Data-Driven)方法和融合(Hybrid)算法[1-3]。其中，融合算法意在融合前兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，使壽命預(yù)測(cè)算法具備更低的計(jì)算消耗和復(fù)雜度、需要更少的實(shí)驗(yàn)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)，因此具備更好的發(fā)展前景。而作為融合算法的一種，基于粒子濾波(Particle Filter, PF)[4]的疲勞裂紋壽命預(yù)測(cè)方法結(jié)合了Paris規(guī)則的裂紋擴(kuò)展規(guī)律，有限元建模和粒子濾波算法，與其他兩種方法相比，其建模相對(duì)較容易，并不需要大量的實(shí)驗(yàn)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)，且與Lamb波主動(dòng)監(jiān)測(cè)方法相結(jié)合，可實(shí)現(xiàn)在線預(yù)測(cè)，因此更適合于工程應(yīng)用。

近年來(lái)，Orchard等[5-6]利用粒子濾波算法，建立了一種裂紋擴(kuò)展在線預(yù)測(cè)系統(tǒng)，對(duì)UH-60行星齒輪進(jìn)行了壽命預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果相比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波等方法具有更高的預(yù)測(cè)精度，且能實(shí)時(shí)修正監(jiān)測(cè)過(guò)程中的預(yù)測(cè)誤差，但觀測(cè)方程采用應(yīng)變作為監(jiān)測(cè)手段，觀測(cè)方程的精度還有進(jìn)一步的提高空間；Cadini等[7-8]結(jié)合文獻(xiàn)中的仿真數(shù)據(jù)，利用粒子濾波算法實(shí)現(xiàn)了疲勞裂紋擴(kuò)展的預(yù)測(cè)；袁慎芳等[9]以Paris規(guī)則作為狀態(tài)方程，以Lamb波主動(dòng)健康監(jiān)測(cè)的在線監(jiān)測(cè)技術(shù)建立觀測(cè)方程，利用標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法實(shí)現(xiàn)了中心裂紋鋁板上的裂紋擴(kuò)展在線預(yù)測(cè)，有效地消除了裂紋擴(kuò)展參數(shù)及觀測(cè)手段等多種不確定性的影響，獲得了較高的預(yù)測(cè)精度。

從上述粒子濾波的裂紋損傷預(yù)測(cè)研究可以看出，目前相關(guān)領(lǐng)域的研究都是基于最簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法利用仿真數(shù)據(jù)或在簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)中開展的。然而由于采用了次優(yōu)估計(jì)[10]，其預(yù)測(cè)結(jié)果并未考慮當(dāng)前觀測(cè)更新的影響，因而依賴于建模的精確性。當(dāng)模型誤差較大時(shí)，將有大量粒子處于低相似區(qū)中而在重采樣時(shí)被浪費(fèi)，從而加劇了粒子多樣性匱乏現(xiàn)象，即原有粒子群中很多粒子由于預(yù)測(cè)偏差大而權(quán)值太小沒有“后代”，而少數(shù)幾個(gè)權(quán)值較高的粒子則有很多相同的“后代”，重采樣以后的粒子群由大量重復(fù)的粒子構(gòu)成，使粒子群失去了多樣性，粒子多樣性匱乏現(xiàn)象的加劇，將導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度下降。

解決上述問(wèn)題的方法之一是增加粒子個(gè)數(shù)，然而這將影響計(jì)算效率。另一種方法是結(jié)合當(dāng)前觀測(cè)更新選擇重要性函數(shù)。本文提出基于輔助粒子濾波(Auxiliary Particle Filter, APF)[11-12]的裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)方法，通過(guò)Pairs規(guī)則建立狀態(tài)方程，以基于壓電主動(dòng)Lamb波在線監(jiān)測(cè)方法作為觀測(cè)方程，構(gòu)建描述孔邊裂紋擴(kuò)展的狀態(tài)空間模型。最后，基于孔邊裂紋的APF與PF壽命預(yù)測(cè)結(jié)果表明，APF算法充分結(jié)合裂紋在線觀測(cè)值，使重采樣后的粒子向似然函數(shù)的高值區(qū)移動(dòng)，提高了先驗(yàn)估計(jì)與似然函數(shù)之間重疊性，能有效緩解多樣性匱乏現(xiàn)象，克服PF算法過(guò)于依賴模型的缺點(diǎn)，具備更高的預(yù)測(cè)精度。

1 粒子濾波理論

結(jié)構(gòu)疲勞裂紋擴(kuò)展是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，它存在諸多的不確定性，其數(shù)學(xué)描述可用狀態(tài)空間模型來(lái)表征。狀態(tài)空間模型包含狀態(tài)方程和觀測(cè)方程

(1)

式中:xt表示t時(shí)刻裂紋狀態(tài)值；f(·)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，表征t時(shí)刻裂紋向t+1時(shí)刻擴(kuò)展的規(guī)律；zt+1表示t+1時(shí)刻的觀測(cè)值，此處指通過(guò)健康監(jiān)測(cè)手段所獲取的損傷特征參數(shù)；g(·)為系統(tǒng)的觀測(cè)方程；ωt為t時(shí)刻的過(guò)程噪聲，用于表征結(jié)構(gòu)上的各種不確定影響因素；υt為t時(shí)刻的觀測(cè)噪聲，用于表征健康監(jiān)測(cè)手段的不確定性監(jiān)測(cè)誤差。

粒子濾波具備平滑、濾波和預(yù)測(cè)的功能，在裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)，是根據(jù)0到t時(shí)刻的裂紋狀態(tài)值和1到t時(shí)刻的裂紋觀測(cè)值，結(jié)合狀態(tài)空間模型和t+1時(shí)刻的最新觀測(cè)值，去預(yù)測(cè)t+1時(shí)刻及其以后的裂紋狀態(tài)值，最后再根據(jù)裂紋參數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)是否可以使用，確定結(jié)構(gòu)的壽命。上述過(guò)程實(shí)質(zhì)是通過(guò)Bayes估計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展過(guò)程的無(wú)偏估計(jì)

(2)

式中狀態(tài)值x的上標(biāo)“^”表征后驗(yàn)估計(jì)，右上標(biāo)“-”表征先驗(yàn)估計(jì)，p(xt+1|z1:t+1)表征觀測(cè)值為z1,z2,…zt+1時(shí)，出現(xiàn)狀態(tài)值xt+1的概率密度函數(shù)，由于它是通過(guò)t+1時(shí)刻的觀測(cè)值z(mì)t+1修正的，因此常稱為后驗(yàn)概率密度函數(shù)。p(x0:t+1|z1:t+1)為p(xt+1|z1:t+1)的邊緣概率密度。

假設(shè)裂紋擴(kuò)展?jié)M足一階Markov過(guò)程，則后驗(yàn)概率密度函數(shù)p(xt+1|z1:t+1)可通過(guò)Bayes估計(jì)迭代計(jì)算獲得

(3)

然而式(3)中在迭代過(guò)程中包含多重積分，一般情況下并無(wú)解析解，因此采用Monte Carlo仿真方法，從后驗(yàn)概率p(x0:t+1|z1:t+1)中抽取N個(gè)獨(dú)立同分布的樣本，當(dāng)N～+∞時(shí)，樣本的均值可逼近于數(shù)學(xué)期望，即

(4)

但在實(shí)際問(wèn)題中，往往很難從p(x0:t+1|z1:t+1)中進(jìn)行抽樣，因此引入了一個(gè)容易采樣的重要性函數(shù)q(x0:t+1|z1:t+1)，該參考分布已知且與p(x0:t+1|z1:t+1)同分布，則最終可將裂紋擴(kuò)展的無(wú)偏估計(jì)式(2)化簡(jiǎn)為

(5)

式中：

(6)

以上過(guò)程即為序貫重要性采樣(Sequential Importance Sampling, SIS)，最終通過(guò)裂紋先驗(yàn)估計(jì)與其權(quán)值的加權(quán)，可實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展過(guò)程的無(wú)偏估計(jì)。然而SIS算法存在嚴(yán)重的退化現(xiàn)象，因其最優(yōu)解q(xt+1|xt,z1:t+1)=p(xt+1|xt,z1:t+1)在實(shí)際問(wèn)題中常無(wú)法得到且對(duì)應(yīng)積分不易求解。為此，Gordon提出使用次優(yōu)解q(xt+1|xt,z1:t+1)=p(xt+1|xt)與重采樣相結(jié)合以解決退化問(wèn)題，即序貫重要性采樣重采樣 (Sequential Importance Resampling, SIR)，又稱粒子濾波算法。

2 輔助粒子濾波

SIR算法解決了退化問(wèn)題且抽樣簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，然而由于重要性函數(shù)使用了次優(yōu)解p(xt+1|xt)，對(duì)比最優(yōu)解p(xt+1|xt,z1:t+1)，次優(yōu)解忽略了觀測(cè)值z(mì)1:t+1的影響，更依賴于狀態(tài)方程xt+1=f(xt,ωt)的建模精度，因此SIR(PF)算法存在過(guò)于依賴模型的特點(diǎn)。當(dāng)重要性函數(shù)與真實(shí)分布非常接近時(shí)，SIR算法能達(dá)到很好的預(yù)測(cè)效果，但如果二者偏差較大，則預(yù)測(cè)效果將明顯下降，甚至導(dǎo)致預(yù)測(cè)失敗。

為克服上述缺陷，Pitty等提出了輔助粒子濾波算法，通過(guò)引入輔助變量l，將其與最新觀測(cè)值的聯(lián)合概率密度函數(shù)作為重要性函數(shù)，預(yù)先對(duì)原有粒子群進(jìn)行抽樣處理，使抽樣后的粒子群向真實(shí)分布的高似然區(qū)移動(dòng)，以此來(lái)克服算法過(guò)于依賴模型的缺點(diǎn)，提高預(yù)測(cè)精度。

假設(shè)t時(shí)刻p(xt|z1:t)已知，則t+1時(shí)刻的“經(jīng)驗(yàn)”后驗(yàn)概率分布為

(7)

定義結(jié)合了輔助變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)

(8)

(9)

(10)

(11)

對(duì)式(9)進(jìn)行邊緣概率積分可得

(12)

輔助粒子濾波算法執(zhí)行步驟如下：

3 疲勞裂紋擴(kuò)展的狀態(tài)空間模型

3.1 狀態(tài)方程的建立

金屬結(jié)構(gòu)裂紋的擴(kuò)展存在三個(gè)階段：萌生階段、穩(wěn)定擴(kuò)展階段和快速擴(kuò)展階段。其中萌生階段和快速擴(kuò)展階段的持續(xù)時(shí)間短，因此工程上進(jìn)行結(jié)構(gòu)壽命預(yù)測(cè)時(shí)，常采用穩(wěn)定擴(kuò)展階段，此階段又稱為Paris規(guī)則區(qū)，裂紋擴(kuò)展速率的Paris公式如式(13)所示

(13)

式中：a為表征裂紋長(zhǎng)度；Nf為疲勞載荷周期數(shù)，C與m為材料參數(shù)，ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子幅，可通過(guò)有限元離線計(jì)算獲得，此處采用奇異單元法計(jì)算獲得。

假設(shè)兩次擴(kuò)展之間的時(shí)間間隔ΔNf足夠小，則根據(jù)Paris規(guī)則可建立如式(14)所示的狀態(tài)方程，其中為使過(guò)程噪聲包含更大的預(yù)測(cè)空間，狀態(tài)噪聲采用加性的零均值高斯白噪聲[13]，而非相乘的對(duì)數(shù)正態(tài)分布噪聲。

at+1=at+Ct(ΔK)mΔNf+ω(t)

(14)

式中:at+1為t+1時(shí)刻的裂紋長(zhǎng)度；Ct為t時(shí)刻的材料及環(huán)境相關(guān)的參數(shù)，針對(duì)特定的試件，C0可通過(guò)實(shí)驗(yàn)或查找數(shù)據(jù)庫(kù)獲得，此處采用實(shí)驗(yàn)手段，并結(jié)合曲先強(qiáng)驗(yàn)證所總結(jié)材料參數(shù)分布假設(shè)[14]，令lgC0～N(-14.307 5, 0.174 0)，m取值為4.038 3，用于初始化狀態(tài)方程的不確定性；ω(t)～N(0,0.5)為高斯白噪聲，用于表征狀態(tài)方程預(yù)測(cè)過(guò)程中的不確定性。

式(14)存在兩個(gè)不確定分布Ct與ω(t)，它們分別分于初始化表征Paris規(guī)則的不確定性以及預(yù)測(cè)過(guò)程中的不確定性，二者的結(jié)合充分考慮了疲勞裂紋擴(kuò)展的隨機(jī)因素，提升了狀態(tài)方程的魯棒性。

3.2 觀測(cè)方程的建立

觀測(cè)方程在裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)中的意義是將裂紋擴(kuò)展尺寸與觀測(cè)手段的某種特征關(guān)聯(lián)起來(lái)，定量地描述裂紋擴(kuò)展與觀測(cè)手段之間的規(guī)律。Lamb波主動(dòng)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)具有對(duì)小損傷敏感的特性，因此目前已被廣泛應(yīng)用于裂紋擴(kuò)展的監(jiān)測(cè)中[15-17]。該方法通過(guò)監(jiān)測(cè)裂紋擴(kuò)展時(shí)結(jié)構(gòu)中傳播的Lamb波的變化，量化分析裂紋尺寸與Lamb波響應(yīng)信號(hào)間的規(guī)律，如圖1所示為L(zhǎng)amb波響應(yīng)信號(hào)隨裂紋尺寸的變化。

圖1 響應(yīng)信號(hào)隨裂紋尺寸的變化

由圖1可知，金屬疲勞裂紋擴(kuò)展對(duì)Lamb波信號(hào)傳播的影響主要表現(xiàn)為相位及幅值的變化，對(duì)應(yīng)后續(xù)所開展的孔邊裂紋驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，主要為裂紋尖端的擴(kuò)展所導(dǎo)致的Lamb波直達(dá)波相位延遲及幅值衰減現(xiàn)象。其中相位延遲現(xiàn)象在本實(shí)驗(yàn)中占主導(dǎo)地位，因此根據(jù)無(wú)損檢測(cè)中飛行時(shí)間(Time of Fight)的概念，定義如式(15)所示的時(shí)間延遲損傷因子，用于表征結(jié)構(gòu)損傷程度與相位延遲之間的關(guān)系。

(15)

式中:T為裂紋擴(kuò)展過(guò)程中直達(dá)波的飛行時(shí)間;T0為健康狀態(tài)下直達(dá)波的飛行時(shí)間。實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備初期，先通過(guò)幾組實(shí)驗(yàn)獲得DI與裂紋觀測(cè)值，再通過(guò)多項(xiàng)式擬合，建立損傷因子與裂紋擴(kuò)展之間的觀測(cè)方程

DIt+1=g(at+1)+υ(t)

(16)

聯(lián)立狀態(tài)方程與觀測(cè)方程，描述疲勞裂紋擴(kuò)展的狀態(tài)空間模型如式(17)所示

(17)

4 疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)的輔助粒子濾波實(shí)現(xiàn)

基于式(17)所建立的狀態(tài)空間模型，為解決PF過(guò)于依賴模型的缺點(diǎn)，緩解多樣性匱乏現(xiàn)象，將APF算法應(yīng)用于裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)中。裂紋擴(kuò)展的輔助粒子濾波實(shí)現(xiàn)流程如下，流程圖如圖2所示。

步驟1 初始化。由Lamb波在線監(jiān)測(cè)獲得裂紋的萌生尺寸初始化裂紋狀態(tài)值a0及其對(duì)應(yīng)循環(huán)周期數(shù)t0；由n組重復(fù)性疲勞實(shí)驗(yàn)通過(guò)割線法初始化材料參數(shù)C0與m的分布；初始化過(guò)程噪聲ω(t)和觀測(cè)噪聲υ(t)分布；將a0和C0代入狀態(tài)方程中，初始化裂紋預(yù)測(cè)粒子群{a0}N，權(quán)值{w0}N=1/N；

(18)

(19)

注：t與t+1的時(shí)間間隔為ΔNf。

圖2 APF預(yù)測(cè)流程圖

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選用孔邊裂紋試驗(yàn)件，結(jié)合狀態(tài)空間模型，對(duì)輔助粒子濾波改進(jìn)算法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。試件如圖3所示，尺寸為240 mm×100 mm×2 mm，材料為L(zhǎng)Y12鋁合金，共計(jì)6件，編號(hào)為T1-T6，傳感器對(duì)稱分布于裂紋兩側(cè)，間距80 mm，孔邊預(yù)制3 mm裂紋。實(shí)驗(yàn)加載設(shè)備采用MTS810，試件T1先進(jìn)行靜載破壞實(shí)驗(yàn)，確定所能承受的最大拉力為45 kN，在此基礎(chǔ)上，試件T2-T5采用正弦載荷等幅譜進(jìn)行疲勞實(shí)驗(yàn)，載荷峰值為15 kN，應(yīng)力比為0.1，載荷頻率為10 Hz。疲勞實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，裂紋長(zhǎng)度每增加2 mm，即保持載荷至5 kN，采集Lamb波響應(yīng)信號(hào)，并記錄循環(huán)周期數(shù)，監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采用南京航空航天大學(xué)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)與預(yù)測(cè)研究中心自主研發(fā)的PHM掃查系統(tǒng)[18-19]，激勵(lì)頻率為290 kHz，采樣率為10 MHz。

DI=-6.234×10-5a3+4.854×10-3a2-

4.069×10-2a+9.231×10-2+υ(t)

(20)

作為驗(yàn)證的T6試件，其裂紋擴(kuò)展過(guò)程如表1所示，圖4所示為T2-T5的觀測(cè)方程擬合曲線與T6實(shí)驗(yàn)損傷因子的對(duì)比，可見T6的實(shí)驗(yàn)值均落于擬合曲線的95%的置信區(qū)間內(nèi)，其最大誤差為0.144 3，驗(yàn)證了觀測(cè)手段與觀測(cè)擬合方程的正確性。

表1 疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程

圖4 T6實(shí)驗(yàn)損傷因子與觀測(cè)方程擬合曲線的對(duì)比

選取粒子數(shù)N為500，載荷循環(huán)迭代間隔ΔNf為40，分別利用PF與APF算法，在實(shí)時(shí)獲取T6試件的損傷因子更新時(shí)，實(shí)現(xiàn)T6試件的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)與疲勞壽命預(yù)測(cè)。APF與PF的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示，以預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為預(yù)測(cè)精度對(duì)比指標(biāo)，RMSE越小，則精度越高，從圖5中可以看出，APF的RMSE為0.438 5，低于PF的0.712 9，因此結(jié)合了最新Lamb波DI觀測(cè)值的APF具備比PF更優(yōu)秀的預(yù)測(cè)效果。

圖5 PF與APF的預(yù)測(cè)結(jié)果

剃除重采樣后的重復(fù)粒子(材料參數(shù)Ct)，對(duì)比APF與PF算法的粒子多樣性匱乏程度，以重采樣后具有不同數(shù)值的材料參數(shù)Ct粒子個(gè)數(shù)作為多樣性指標(biāo)，則APF與PF在迭代過(guò)程中粒子多樣性變化如圖6所示。

從圖 6可以看出，相比PF算法，APF算法的粒子多樣性匱乏現(xiàn)象得到了緩解，預(yù)測(cè)精度得到提升。此外，由于進(jìn)行了二次重采樣，運(yùn)算時(shí)間由0.276 1 s增至0.299 3 s(計(jì)算采用MATLAB R2013a的64位4G內(nèi)存Win7系統(tǒng)的筆記本電腦)，雖然增加了部分計(jì)算量，但預(yù)測(cè)精度獲得了提升，且這樣的計(jì)算消耗，對(duì)在線監(jiān)測(cè)的實(shí)現(xiàn)影響不大。

圖6 APF與PF多樣性的對(duì)比

將PF算法的中粒子數(shù)N由500增加至2 500，則APF與PF算法在不同粒子數(shù)下的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出，隨著粒子數(shù)的增加PF算法的預(yù)測(cè)精度增加，RMSE由0.712 9降至0.415 2，相比于粒子數(shù)為500的APF算法，其RMSE=0.438 5，PF算法的預(yù)測(cè)精度稍顯優(yōu)勢(shì)。然而PF算法由于粒子數(shù)的增加，運(yùn)算時(shí)間由0.276 1 s增至0.804 6 s。且若將此部分運(yùn)算消耗提供給APF算法，APF將獲得更高的預(yù)測(cè)精度，因此APF算法的壽命預(yù)測(cè)性能要優(yōu)于PF算法。

圖7 APF與PF不同粒子數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果

6 結(jié)論

APF算法結(jié)合了Lamb波主動(dòng)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)獲得的最新裂紋觀測(cè)值，克服了傳統(tǒng)PF算法過(guò)于依賴模型的特點(diǎn)，在孔邊裂紋結(jié)構(gòu)的壽命預(yù)測(cè)中，有效地緩解了多樣性匱乏現(xiàn)象，雖然算法計(jì)算時(shí)間存在小幅度的增加，但并不影響在線預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)，預(yù)測(cè)精度相比PF得到了整體提升，其RMSE由0.712 9降低至0.438 5，更適用于結(jié)合了Lamb波在線監(jiān)測(cè)的裂紋擴(kuò)展實(shí)時(shí)壽命預(yù)測(cè)。

[1] ZHANG H, KANG R, PECHT M. A hybrid prognostics and health management approach for condition-based maintenance[C]∥2009 IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management. Hongkong, China: IEEE, 2009.

[2] PECHT M, GU J. Physics-of-failure-based prognostics for electronic products[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2009, 31(3/4): 309-322.

[3] SHEPPARD J W, KAUFMAN M A, WILMER T J. IEEE standards for prognostics and health management[J]. Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2009, 24(9): 34-41.

[4] GORDON N J, SALMOND D J, SMITH A F M. Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation[J].IEE Proceedings F (Radar and Signal Processing). IET Digital Library, 1993, 140(2): 107-113.

[5] ORCHARD M, VACHTSEVANOS G. A particle filtering approach for on-line failure prognosis in a planetary carrier plate[J]. International Journal of Fuzzy Logic and Intelligent Systems, 2007, 7(4): 221-227.

[6] ORCHARD M E, VACHTSEVANOS G J. A particle-filtering approach for on-line fault diagnosis and failure prognosis[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control, 2009, 31(3-4): 221-246.

[7] CADINI F, ZIO E, AVRAM D. Monte Carlo-based filtering for fatigue crack growth estimation[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2009, 24(3): 367-373.

[8] ZIO E, PALONI G. Particle filtering prognostic estimation of the remaining useful life of nonlinear components[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2011, 96(3): 403-409.

[9] 袁慎芳, 張華, 邱雷, 等．基于粒子濾波算法的疲勞裂紋擴(kuò)展預(yù)測(cè)方法[J]．航空學(xué)報(bào), 2013, 34(12): 2740-2747.

YUAN Shenfang, ZHANG Hua, QIU Lei, et al. A fatigue crack growth prediction method based on particle filter[J]. Acta Aeronautica et Astronautic Sinica, 2013, 34(12): 2740-2747.

[10] DOUCET A, GODSILL S, ANDRIEU C. On sequential Monte Carlo sampling methods for Bayesian filtering[J]. Statistics and Computing, 2000, 10(3): 197-208.

[11] PITT M K, SHEPHARD N. Filtering via simulation: auxiliary particle filters[J]. Journal of the American Statistical Association, 1999, 94(446): 590-599.

[12] PITT M K, SHEPHARD N. Auxiliary variable based particle filters[M]∥Sequential Monte Carlo Methods in Practice. New York: Springer, 2001: 273-293.

[13] SUN J, ZUO H, WANG W, et al. Prognostics uncertainty reduction by fusing on-line monitoring data based on a state-space-based degradation model[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 45(2): 396-407.

[14] 曲先強(qiáng), 馬永亮, 崔洪斌, 等．Paris 公式中材料參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性分析[C]//2008 全國(guó)MTS斷裂測(cè)試研討會(huì)論文集, 2008: 26-31.

[15] 曹俊, 袁慎芳, 蔡建, 等．疲勞裂紋擴(kuò)展的實(shí)時(shí)健康監(jiān)測(cè)[J]．壓電與聲光, 2008, 30(6): 776-778.

CAO Jun, YUAN Shenfang, CAI Jian, et al. Real-time structural health monitoring for fatigue crack growth[J]. Piezoelectrics and Acoustooptics, 2008, 30(6): 776-778.

[16] 袁慎芳, 邱雷, 王強(qiáng), 等．壓電-光纖綜合結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的研究及驗(yàn)證[J]．航空學(xué)報(bào), 2009, 30(2): 348-356.

YUAN Shenfang, QIU Lei, WANG Qiang, et al. Application research of a hybrid piezoelectric-optic fiber integrated structural health monitoring system[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(2): 348-356.

[17] 陸希,孟光,李富才．基于Lamb波的薄壁槽狀結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)研究[J]．振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(12):63-67.

LU Xi, MENG Guang, LI Fucai, et al. Lamb wave-based damage detection for a channel-like thin-wall structure[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(12):63-67.

[18] 邱雷, 袁慎芳．集成壓電健康監(jiān)測(cè)掃查系統(tǒng)的研制及其應(yīng)用[J]．壓電與聲光, 2008, 30(1): 39-41.

QIU Lei, YUAN Shenfang. Research and application of integrated health monitoring scanning system based on PZT sensor array[J]. Piezoelectrics & Acoustooptics, 2008,30(1): 39-41.

[19] QIU L, YUAN S F, WANG Q, et al. Design and experiment of PZT network-based structural health monitoring scanning system[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2009, 22(5): 505-512.

[20] DONG M, WANG N. Adaptive network-based fuzzy inference system with leave-one-out cross-validation approach for prediction of surface roughness[J]. Applied Mathematical Modelling, 2011, 35(3): 1024-1035.