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        無限長直電流對共面圓電流的安培力

        2018-03-27 07:38:07鄒俊峻
        物理通報(bào) 2018年4期
        關(guān)鍵詞:半圓形安培力圓心

        鄒俊峻

        (長安大學(xué)汽車學(xué)院 陜西 西安 710064)

        文獻(xiàn)[1]中給出了過圓心的無限長直線電流對共面圓形電流的安培力的習(xí)題.文獻(xiàn)[2]中給出了d=0(過圓心)和d>R(不過圓心)兩種情況下,共面的無限長直線電流對圓形電流的安培力,但該題的習(xí)題解答[3]中關(guān)于數(shù)學(xué)積分的部分沒有寫出詳細(xì)過程,學(xué)生在求解這個(gè)積分時(shí)常常遇到困難.本文利用高等數(shù)學(xué)知識(shí),對d>R和d

        【題目】如圖1[2]所示,已知半徑為R的平面圓形線圈中載有電流I2,另一無限長直導(dǎo)線AB中載有電流I1,且平面圓形線圈與長直導(dǎo)線AB共面,求圓形電流所受作用力?

        圖1 d >R時(shí)圓形電流的安培力

        1 d >R時(shí)圓形電流所受安培力

        如圖1所示,建立直角坐標(biāo)系xOy,先分析右邊半圓形電流受到的安培力,在右邊半圓形電流的P點(diǎn)取電流元I2dl,由安培環(huán)路定理可得:長直電流I1在P點(diǎn)處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

        (1)

        方向垂直紙面向里.電流元I2dl所受安培力大小為

        (2)

        方向沿半徑向外.在x軸下方取Q點(diǎn),Q點(diǎn)與P點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,并在Q點(diǎn)取相同大小的電流元I2dl′,由對稱性可知電流元I2dl和I2dl′所受的安培力關(guān)于x軸對稱,其y軸分量相互抵消,x軸分量同向且等量.所以右半圓受到的安培力大小為

        (3)

        方向沿x軸正方向.

        同理可得:左邊半圓形電流受到的安培力大小為

        (4)

        方向沿x軸負(fù)方向.

        所以圓形電流所受安培力的大小為

        F=F1x-F2x=μ0I1I2-

        (5)

        (6)

        其分母有兩個(gè)一階零點(diǎn)

        (7)

        因此式(6)的積分為

        (8)

        同理可得式(5)中第二項(xiàng)積分為

        (9)

        將式(8)和式(9)代入式(5),得整個(gè)圓形電流所受安培力的大小為

        (10)

        式(10)中F<0,表示合力方向沿x軸負(fù)方向.此結(jié)果與文獻(xiàn)[1~3]是一致的,但本文給出了詳細(xì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程.

        2 d

        如圖2所示,先分析右邊半圓形電流受到的安培力,由式(1)~(3)可知右半圓受到的安培力大小為

        (11)

        方向沿x軸正方向.

        圖2 d

        由式(4)可得導(dǎo)線AB與y軸之間的兩段圓弧電流受到的安培力為

        (12)

        類似地,可得導(dǎo)線AB左邊圓弧電流受到的安培力大小為

        (13)

        方向沿x軸正方向.

        綜合式(12)和式(13)可得:左邊半圓所受安培力的大小為

        (14)

        所以整個(gè)圓形電流所受安培力的大小為

        (15)

        代入,則有

        (16)

        (17)

        同理可得

        (18)

        將式(17)、(18)代入式(15),可得整個(gè)圓形線圈所受安培力的大小為

        (19)

        式(19)中F>0,表示合力方向沿x軸正方向,且力F與導(dǎo)線AB位置d無關(guān),恒等于μ0I1I2,也等于無限長直線電流通過圓心時(shí)對圓形電流所施加的安培力[1~3].如圖2所示,當(dāng)直線電流從圓心位置向左移動(dòng)時(shí),d從0→R,F1x因d增大而減小,F2x因d增大而增大,但是F=F1x+F2x會(huì)保持不變,如表1所示,在表1中選取4個(gè)不同的值分別計(jì)算了F1x,F2x和F,結(jié)果表明:d增大時(shí)F1x會(huì)減小,F2x會(huì)增大,但F保持不變.

        表1 R=4 m時(shí)不同d值對應(yīng)的力

        注:表中, 力F1x,F2x,F的單位是μ0I1I2.

        3 結(jié)論

        綜上所述,本文求解了無限長直線電流對共面圓形電流的安培力. 利用恒定磁場的安培環(huán)路定理、安培定律和高等數(shù)學(xué)知識(shí),針對d>R和dR時(shí)安培力與d有關(guān),當(dāng)d

        1 吳百詩.大學(xué)物理(上冊)(第二次修訂本).西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.342~343

        2 程守洙,江之永.普通物理學(xué)(2)(第5版).北京:高等教育出版社,1998.274

        3 周遜選,黃伯堅(jiān).新編普通物理解題(修訂本).武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001.329~330

        4 四川大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第4冊)(第2版).北京:高等教育出版社,1985.107

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