劉繼平, 吳向堯, 孟祥東, 張斯淇, 張曉茹, 劉 晗, 李 宏, 馬 季, 梁 禺

(1. 吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 四平 136000； 2. 吉林大學(xué) 物理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

目前, 關(guān)于光子局域化與光子波函數(shù)的關(guān)系已引起人們廣泛關(guān)注[1-4]. 文獻(xiàn)[5]研究表明, 光子局域化問題與光子位置算符密切相關(guān); 文獻(xiàn)[6-7]研究表明, 用Riemann-Silberstein(RS)矢量可描述光子波函數(shù); 文獻(xiàn)[8-9]研究表明, 在量子場(chǎng)論中,可用Klein-Gordon描述自旋為0的Boson標(biāo)量波動(dòng)方程; 文獻(xiàn)[10]研究表明, 用Proca方程描述自旋為1的Boson矢量波動(dòng)方程; 文獻(xiàn)[11]研究表明, 可用Dirac方程描述自旋為1/2的Fermion旋量波動(dòng)方程. 自Dirac發(fā)現(xiàn)自旋為1/2粒子的相對(duì)論波動(dòng)方程后, 利用Lorentz群理論研究旋量和矢量已取得較大進(jìn)展[12]. 在四維時(shí)空旋轉(zhuǎn)下, 旋量可更好地描述Lorentz不變性的概念[13-14]. 利用光子的旋量波動(dòng)方程, 可以研究光在真空和介質(zhì)中的量子特性[15-16]. 基于此, 本文提出自由和非自由光子的旋量波動(dòng)方程, 給出自旋算子、 自旋與空間波函數(shù)及光場(chǎng)的Lagrange密度. 由單光子自旋波函數(shù)得到兩光子或多光子自旋波函數(shù), 并給出多光子自旋糾纏態(tài).

1 自由光子旋量方程

Dirac方程描述的是自旋為1/2的粒子, Dirac通過分解Einstein色散關(guān)系方程, 得到了時(shí)間空間一階導(dǎo)數(shù)的旋量波動(dòng)方程, 將Einstein色散關(guān)系因子化為

(1)

從而

E-cα·p-m0c2β=0.

(2)

(3)

其中α和β為Dirac矩陣.

由Dirac的因子化方程, 可得自由光子的旋量波動(dòng)方程. 由于光子的靜質(zhì)量m0=0, 因此方程(2)可變?yōu)?/p>

E-cα·p=0,

(4)

由正則量子化方程, 可得光的旋量方程為

(5)

其中:H=-ic?α·為光子的Hamilton算符;ψ為光子的旋量波函數(shù). 對(duì)正則Lorentz群LP, 自旋為1光子的不可約表示為D10,D01,D1/2,1/2, 其對(duì)應(yīng)的維數(shù)分別為3,3,4. 選擇光子的旋量波函數(shù)作為三維不可約表示的基矢：

(6)

α矩陣可選為

(7)

顯然,α矩陣是厄米的,α+=α, 光子的Hamilton算符也是厄米的,H+=H. 方程(5)～(7)為自由光子的旋量波動(dòng)方程(自旋s=1, 靜質(zhì)量m0=0).

2 光子的自旋算符

下面證明方程(7)中α矩陣選取的合理性, 方程ψ可寫為

(8)

其中H=cp·α. 光子的軌道角動(dòng)量滿足

(9)

即

[L,H]=i?c(α×p).

(10)

式(10)表示光子的軌道角動(dòng)量不是守恒量, 由于自由光子的總角動(dòng)量應(yīng)守恒, 因此光子應(yīng)存在固有角動(dòng)量, 即自旋角動(dòng)量s, 光子的總角動(dòng)量J為

J=L+s,

(11)

其中J是守恒的, 即

[J,H]=0.

(12)

利用式(10)和式(12)可得

[s,H]=-[L,H]=-i?c(α×p),

(13)

即

[sx,H]=[sx,cα·p]=-i?c(α×p)x=i?c(αzpy-αypz),

(14)

從而

比較方程(15)兩邊可得

[sx,αx]=0, [sx,αy]=i?αz, [sx,αz]=-i?αy,

(16)

類似可得

利用式(16)和式(18)可計(jì)算光子自旋矩陣s, 先定義sx矩陣為

(19)

通過對(duì)易關(guān)系式(16), 計(jì)算可得

(20)

類似地, 由對(duì)易關(guān)系式(17)和式(18)可得

(21)

可證明光子的自旋矩陣sx,sy,sz的本征值均為±?, 如sx的本征值為

(22)

其特征值方程為

(23)

即

(a-λ1)[(a-λ1)2-?2]=0.

(24)

為得到本征值λ1=±?, 令a=0. 由sy和sz的本征值方程可得b=c=0. 因此, 光子的自旋矩陣為

(25)

式(25)為描述光子自旋s=1的自旋矩陣, 其本征值為±?, 矩陣的平方為

(26)

比較式(7)和式(26)可得

sx=αx,sy=αy,sz=αz.

(27)

3 光子的螺旋性

螺旋性由在動(dòng)量方向自旋投影定義, 即

(28)

由

(29)

知α·p的本征值方程為

(30)

從而

(31)

即

λ(p2-λ2)=0,

(32)

本征值λ的解為

λ=±|p|,0.

(33)

因此光子螺旋度h為

h=+1,-1,0.

(34)

當(dāng)h=+1時(shí), 對(duì)應(yīng)橫向右手圓極化螺旋態(tài), 稱為右旋光子； 當(dāng)h=-1時(shí), 對(duì)應(yīng)橫向左手圓極化螺旋態(tài), 稱為左旋光子； 當(dāng)h=0時(shí), 為縱向極化態(tài), 由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知, 只存在橫向極化光子, 不存在縱向極化光子.

4 光子的幾率守恒方程

下面給出光子的幾率密度與幾率守恒方程, 式(5)的Hermitian共軛方程為

(35)

式(35)右乘ψ變?yōu)?/p>

(36)

式(35)左乘ψ+變?yōu)?/p>

(37)

式(37)與式(36)相減可得

(38)

即

(39)

從而光子的幾率守恒方程為

(40)

其中:ρ=ψ+ψ為光子的幾率密度;J=cψ+αψ為光子的幾率流密度.

5 自由光子的平面波解

自由光子的旋量方程為

(41)

其中:

(42)

(43)

其中

(44)

將式(43)和式(44)代入式(41)可得

cα·pu(p)=Eu(p),

(45)

即

(46)

展開式(46)可得

(47)

由u1,u2,u3的非零解條件可得

(48)

E的解為

E1=+c|p|,E2=-c|p|.

(49)

由式(47)可得

由式(50),(51)可得

(52)

則u(p)為

(53)

其中N為歸一化常數(shù). 將u(p)歸一化可得

歸一化常數(shù)

(55)

則

(56)

從而自由光子的平面波解為

(57)

6 光子的自旋波函數(shù)

由式(25),(26)可知s2與sx,sy,sz對(duì)易, 下面計(jì)算s2和sz共同的本征態(tài)為χμ, 本征方程為

其共同的本征值(χμ)T=(φ1,φ2,φ3), 式(59)可表示為

(60)

其非零解條件為

(61)

即

-μ(μ2-1)=0,

(62)

μ的解為

μ1=0,μ2=1,μ3=-1.

(63)

將μ=0代入式(60)可得

(64)

即

φ1=φ2=0,φ3≠0,

(65)

從而歸一化的自旋波函數(shù)為

(66)

將μ=1,-1代入式(61)分別可得到對(duì)應(yīng)的自旋波函數(shù)為

(67)

(68)

自旋波函數(shù)滿足的正交條件為

(69)

7 非自由光子的自旋波函數(shù)

下面給出非自由光子的旋量波動(dòng)方程. 非自由粒子的Einstein色散關(guān)系為

(70)

將式(70)的因子變?yōu)?/p>

(71)

由于光子的m0=0, 因此式(71)可變?yōu)?/p>

(E-V)2-c2p2=(E-V-cp·α)(E-V+cp·α)=0,

(72)

則

(E-V-cp·α)=0.

(73)

將式(73)正則量子化為

(74)

由于光在介質(zhì)中的勢(shì)能[14]為

V=?ω(1-n),

(75)

因此光在介質(zhì)中的旋量方程為

(76)

通過分離變量法

ψ(r,t)=ψ(r)f(t),

(77)

式(76)變?yōu)?/p>

[-ic?α·+?ω(1-n)]ψ(r)=Eψ(r),

(78)

其中E為光子的總能量. 式(76)和式(78)分別為含時(shí)和不含時(shí)光在介質(zhì)中的旋量波動(dòng)方程,n為介質(zhì)折射率, 因此由式(76)和式(78)可研究光在介質(zhì)中的量子特性.

綜上, 本文利用Einstein色散關(guān)系方程, 提出了自由和非自由光子的旋量波動(dòng)方程, 并給出了單個(gè)光子自旋算符與自旋波函數(shù). 通過計(jì)算光子的螺旋度, 證明存在左旋和右旋光子. 由單光子自旋波函數(shù)得到兩光子或多光子的自旋波函數(shù), 并給出了多光子自旋糾纏態(tài), 該糾纏態(tài)可進(jìn)一步應(yīng)用于量子信息和量子計(jì)算中.

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