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        光子的旋量波動方程

        2018-03-27 09:14:10劉繼平吳向堯孟祥東張斯淇張曉茹
        吉林大學學報(理學版) 2018年2期
        關(guān)鍵詞:旋量角動量色散

        劉繼平, 吳向堯, 孟祥東, 張斯淇, 張曉茹, 劉 晗, 李 宏, 馬 季, 梁 禺

        (1. 吉林師范大學 物理學院, 吉林 四平 136000; 2. 吉林大學 物理學院, 長春 130012)

        目前, 關(guān)于光子局域化與光子波函數(shù)的關(guān)系已引起人們廣泛關(guān)注[1-4]. 文獻[5]研究表明, 光子局域化問題與光子位置算符密切相關(guān); 文獻[6-7]研究表明, 用Riemann-Silberstein(RS)矢量可描述光子波函數(shù); 文獻[8-9]研究表明, 在量子場論中,可用Klein-Gordon描述自旋為0的Boson標量波動方程; 文獻[10]研究表明, 用Proca方程描述自旋為1的Boson矢量波動方程; 文獻[11]研究表明, 可用Dirac方程描述自旋為1/2的Fermion旋量波動方程. 自Dirac發(fā)現(xiàn)自旋為1/2粒子的相對論波動方程后, 利用Lorentz群理論研究旋量和矢量已取得較大進展[12]. 在四維時空旋轉(zhuǎn)下, 旋量可更好地描述Lorentz不變性的概念[13-14]. 利用光子的旋量波動方程, 可以研究光在真空和介質(zhì)中的量子特性[15-16]. 基于此, 本文提出自由和非自由光子的旋量波動方程, 給出自旋算子、 自旋與空間波函數(shù)及光場的Lagrange密度. 由單光子自旋波函數(shù)得到兩光子或多光子自旋波函數(shù), 并給出多光子自旋糾纏態(tài).

        1 自由光子旋量方程

        Dirac方程描述的是自旋為1/2的粒子, Dirac通過分解Einstein色散關(guān)系方程, 得到了時間空間一階導數(shù)的旋量波動方程, 將Einstein色散關(guān)系因子化為

        (1)

        從而

        E-cα·p-m0c2β=0.

        (2)

        (3)

        其中α和β為Dirac矩陣.

        由Dirac的因子化方程, 可得自由光子的旋量波動方程. 由于光子的靜質(zhì)量m0=0, 因此方程(2)可變?yōu)?/p>

        E-cα·p=0,

        (4)

        由正則量子化方程, 可得光的旋量方程為

        (5)

        其中:H=-ic?α·為光子的Hamilton算符;ψ為光子的旋量波函數(shù). 對正則Lorentz群LP, 自旋為1光子的不可約表示為D10,D01,D1/2,1/2, 其對應(yīng)的維數(shù)分別為3,3,4. 選擇光子的旋量波函數(shù)作為三維不可約表示的基矢:

        (6)

        α矩陣可選為

        (7)

        顯然,α矩陣是厄米的,α+=α, 光子的Hamilton算符也是厄米的,H+=H. 方程(5)~(7)為自由光子的旋量波動方程(自旋s=1, 靜質(zhì)量m0=0).

        2 光子的自旋算符

        下面證明方程(7)中α矩陣選取的合理性, 方程ψ可寫為

        (8)

        其中H=cp·α. 光子的軌道角動量滿足

        (9)

        [L,H]=i?c(α×p).

        (10)

        式(10)表示光子的軌道角動量不是守恒量, 由于自由光子的總角動量應(yīng)守恒, 因此光子應(yīng)存在固有角動量, 即自旋角動量s, 光子的總角動量J為

        J=L+s,

        (11)

        其中J是守恒的, 即

        [J,H]=0.

        (12)

        利用式(10)和式(12)可得

        [s,H]=-[L,H]=-i?c(α×p),

        (13)

        [sx,H]=[sx,cα·p]=-i?c(α×p)x=i?c(αzpy-αypz),

        (14)

        從而

        比較方程(15)兩邊可得

        [sx,αx]=0, [sx,αy]=i?αz, [sx,αz]=-i?αy,

        (16)

        類似可得

        利用式(16)和式(18)可計算光子自旋矩陣s, 先定義sx矩陣為

        (19)

        通過對易關(guān)系式(16), 計算可得

        (20)

        類似地, 由對易關(guān)系式(17)和式(18)可得

        (21)

        可證明光子的自旋矩陣sx,sy,sz的本征值均為±?, 如sx的本征值為

        (22)

        其特征值方程為

        (23)

        (a-λ1)[(a-λ1)2-?2]=0.

        (24)

        為得到本征值λ1=±?, 令a=0. 由sy和sz的本征值方程可得b=c=0. 因此, 光子的自旋矩陣為

        (25)

        式(25)為描述光子自旋s=1的自旋矩陣, 其本征值為±?, 矩陣的平方為

        (26)

        比較式(7)和式(26)可得

        sx=αx,sy=αy,sz=αz.

        (27)

        3 光子的螺旋性

        螺旋性由在動量方向自旋投影定義, 即

        (28)

        (29)

        知α·p的本征值方程為

        (30)

        從而

        (31)

        λ(p2-λ2)=0,

        (32)

        本征值λ的解為

        λ=±|p|,0.

        (33)

        因此光子螺旋度h為

        h=+1,-1,0.

        (34)

        當h=+1時, 對應(yīng)橫向右手圓極化螺旋態(tài), 稱為右旋光子; 當h=-1時, 對應(yīng)橫向左手圓極化螺旋態(tài), 稱為左旋光子; 當h=0時, 為縱向極化態(tài), 由實驗結(jié)果可知, 只存在橫向極化光子, 不存在縱向極化光子.

        4 光子的幾率守恒方程

        下面給出光子的幾率密度與幾率守恒方程, 式(5)的Hermitian共軛方程為

        (35)

        式(35)右乘ψ變?yōu)?/p>

        (36)

        式(35)左乘ψ+變?yōu)?/p>

        (37)

        式(37)與式(36)相減可得

        (38)

        (39)

        從而光子的幾率守恒方程為

        (40)

        其中:ρ=ψ+ψ為光子的幾率密度;J=cψ+αψ為光子的幾率流密度.

        5 自由光子的平面波解

        自由光子的旋量方程為

        (41)

        其中:

        (42)

        (43)

        其中

        (44)

        將式(43)和式(44)代入式(41)可得

        cα·pu(p)=Eu(p),

        (45)

        (46)

        展開式(46)可得

        (47)

        由u1,u2,u3的非零解條件可得

        (48)

        E的解為

        E1=+c|p|,E2=-c|p|.

        (49)

        由式(47)可得

        由式(50),(51)可得

        (52)

        則u(p)為

        (53)

        其中N為歸一化常數(shù). 將u(p)歸一化可得

        歸一化常數(shù)

        (55)

        (56)

        從而自由光子的平面波解為

        (57)

        6 光子的自旋波函數(shù)

        由式(25),(26)可知s2與sx,sy,sz對易, 下面計算s2和sz共同的本征態(tài)為χμ, 本征方程為

        其共同的本征值(χμ)T=(φ1,φ2,φ3), 式(59)可表示為

        (60)

        其非零解條件為

        (61)

        -μ(μ2-1)=0,

        (62)

        μ的解為

        μ1=0,μ2=1,μ3=-1.

        (63)

        將μ=0代入式(60)可得

        (64)

        φ1=φ2=0,φ3≠0,

        (65)

        從而歸一化的自旋波函數(shù)為

        (66)

        將μ=1,-1代入式(61)分別可得到對應(yīng)的自旋波函數(shù)為

        (67)

        (68)

        自旋波函數(shù)滿足的正交條件為

        (69)

        7 非自由光子的自旋波函數(shù)

        下面給出非自由光子的旋量波動方程. 非自由粒子的Einstein色散關(guān)系為

        (70)

        將式(70)的因子變?yōu)?/p>

        (71)

        由于光子的m0=0, 因此式(71)可變?yōu)?/p>

        (E-V)2-c2p2=(E-V-cp·α)(E-V+cp·α)=0,

        (72)

        (E-V-cp·α)=0.

        (73)

        將式(73)正則量子化為

        (74)

        由于光在介質(zhì)中的勢能[14]為

        V=?ω(1-n),

        (75)

        因此光在介質(zhì)中的旋量方程為

        (76)

        通過分離變量法

        ψ(r,t)=ψ(r)f(t),

        (77)

        式(76)變?yōu)?/p>

        [-ic?α·+?ω(1-n)]ψ(r)=Eψ(r),

        (78)

        其中E為光子的總能量. 式(76)和式(78)分別為含時和不含時光在介質(zhì)中的旋量波動方程,n為介質(zhì)折射率, 因此由式(76)和式(78)可研究光在介質(zhì)中的量子特性.

        綜上, 本文利用Einstein色散關(guān)系方程, 提出了自由和非自由光子的旋量波動方程, 并給出了單個光子自旋算符與自旋波函數(shù). 通過計算光子的螺旋度, 證明存在左旋和右旋光子. 由單光子自旋波函數(shù)得到兩光子或多光子的自旋波函數(shù), 并給出了多光子自旋糾纏態(tài), 該糾纏態(tài)可進一步應(yīng)用于量子信息和量子計算中.

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