◇朱 寧

“認(rèn)識方程”是小學(xué)數(shù)學(xué)里的一節(jié)經(jīng)典課例。這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，除了知識層面的意義，更重要的是實(shí)現(xiàn)內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)由算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡。特級教師許衛(wèi)兵對這節(jié)課的教學(xué)，從學(xué)生熟悉的情境入手，把對方程靜態(tài)的認(rèn)識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主建構(gòu)概念的過程，實(shí)現(xiàn)了思維方式的轉(zhuǎn)變。

【片段一】課始，出示學(xué)生一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)常見的情境圖（如圖1）。

圖1

師：這是一年級碰到的情況：草地上有7個(gè)人踢球，再來幾個(gè)人就有10人？

生：再來3個(gè)人。

師：（出示 7＋3＝10）小組內(nèi)商量商量，你們對這種做法有什么看法？

（學(xué)生小組交流后匯報(bào)）

生：我們小組認(rèn)為這種做法是錯(cuò)的。“7＋3＝10”是用踢足球的7人加上再來的3人，算出了一共有多少人。

生：這種做法把要求的問題當(dāng)成條件來用，不對！

師：你們認(rèn)為應(yīng)該怎樣解答？

生：用10-7=3來計(jì)算，就是用一共的人數(shù)－已經(jīng)有的人數(shù)＝再來的人數(shù)。

師：你們是不是認(rèn)為，要用已經(jīng)知道的“10”和“7”算出還不知道的“3”？

生：是的。

師：在數(shù)學(xué)上，把已經(jīng)知道的這些數(shù)叫作“已知數(shù)”，把還不知道、要求出來的數(shù)叫作 “未知數(shù)”。你們的想法都是用已知數(shù)求出未知數(shù)。再看看黑板上這種解法。

生：它是用已知數(shù)和未知數(shù)算出已知數(shù)。

生：對！是用 7＋一個(gè)未知數(shù)＝10。

師：這么一看，這個(gè)解法還真和我們常規(guī)的想法不一樣。如果將“3”加上一個(gè)□，寫成“7+=10”，你們覺得對嗎？

生：（齊）對！

師：看來這種做法并沒有先想答案是多少，而是先把事情給弄明白了：到底7再添幾是10？

師：一年級時(shí)遇到的這個(gè)問題讓你們這么糾結(jié)。有7人在踢球，現(xiàn)在又來3個(gè)人，現(xiàn)在有多少人？這個(gè)問題你們會解決嗎？

生：會，按順序來。

師：如果不知道結(jié)果，我們按故事發(fā)生的順序來解答；如果知道了結(jié)果，故事發(fā)生過程中出現(xiàn)了未知數(shù)，我們就有點(diǎn)兒亂了。同學(xué)們，其實(shí)這樣的問題在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也糾結(jié)了好長時(shí)間，相信通過今天的學(xué)習(xí)，你們一定能進(jìn)一步理解其中的道理。

【賞析】算術(shù)思維是指向結(jié)果的思維方式，學(xué)生在第一學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要運(yùn)用算術(shù)思維解決問題；代數(shù)思維是指向過程和結(jié)構(gòu)的思維方式，學(xué)生將在第二學(xué)段分“用字母表示數(shù)”“簡易方程”“列方程解決問題”等章節(jié)有序地學(xué)習(xí)。方程是實(shí)現(xiàn)由算術(shù)思維到代數(shù)思維跨越的重要教學(xué)內(nèi)容。課始，許老師呈現(xiàn)學(xué)生一年級時(shí)解決過的一個(gè)問題，讓學(xué)生直面用算術(shù)思維和代數(shù)思維解決問題的差異。在對“7＋3＝10”這種解法的討論、交流中，由于學(xué)生長期用算術(shù)方法解決問題形成的思維定式，拘泥于尋找已知數(shù)之間的關(guān)系解決問題，并不能順著事物發(fā)展的順序，讓未知數(shù)參與到解決問題中來。許老師的教學(xué)為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識打開了一扇窗，看到了一個(gè)新的代數(shù)世界。在代數(shù)世界里，未知數(shù)與已知數(shù)擁有同樣的地位，可以平等地參與運(yùn)算。

【片段二】課中，教師出示天平圖（如圖2），讓學(xué)生觀察。

圖2

師：請仔細(xì)觀察，把你看到的情況用數(shù)學(xué)的語言記錄下來。

（學(xué)生記錄，交流匯報(bào)）

生：我寫的是50+50=100。

師：有一個(gè)雞蛋，不知道它有多少克，如果把雞蛋放到天平一邊（將天平上一個(gè)50g的砝碼換成雞蛋），可能出現(xiàn)什么情況？把你想到的情況用數(shù)學(xué)的語言記錄下來，看誰想得全面。

（學(xué)生先寫，再交流匯報(bào)）

生：我寫的是“相等”“不相等”。我覺得用雞蛋換一個(gè)砝碼，天平兩邊有相等和不相等兩種情況。

生：我寫了三道算式：左右兩邊相等，用“雞蛋+50=100”表示；左邊重一些，用“雞蛋+50＞100”表示；左邊輕一些，用“雞蛋+50＜100”表示。

師：很好！從兩種情況到三種情況，分得越來越清楚了。對于天平左右兩邊相等的情況，“雞蛋+50=100”還可以表示得更簡潔一些嗎？

生：x+50=100。

……

師：經(jīng)過剛才的研究，我們有這么多的式子。下面來分分類吧。

（學(xué)生小組討論將式子分類，匯報(bào)）

生：我們按“等式”和“不等式”分成兩類。

生：我們按有沒有字母分成兩類。

師：在等式里面有些沒有字母，有些有字母，像這類含有字母的等式，知道叫什么嗎？

生：（輕輕地說）方程。

師：剛才有學(xué)生提到“方程”這個(gè)詞，這些有字母的等式就叫方程。你能把這些式子放到“等式”和“方程”這兩個(gè)圈里嗎（如圖3）？

圖3

（學(xué)生討論、交流）

生：6+x=14，y－28=35，它們既是方程又是等式。如果把等式的圈變得大一點(diǎn)，方程的圈可以放到等式里面去。

（動畫展示等式集合圈包含方程集合圈）

師：是呀，方程都是等式，但等式不一定是方程。

【賞析】方程概念較為抽象，其與等式的關(guān)系常常困擾學(xué)生。許老師從天平兩邊平衡這一等量關(guān)系入手，將一個(gè)50g的砝碼換成雞蛋，由于雞蛋的質(zhì)量未知，學(xué)生的學(xué)習(xí)置于解決問題的背景中，方程自然而然地出現(xiàn)。由用自然語言去闡釋可能出現(xiàn)的情況到用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)所見的現(xiàn)象，學(xué)生的表達(dá)逐步數(shù)學(xué)化。在這樣解決問題的背景中，學(xué)生自然而然地與“等式”“不等式”“方程”相遇。在對這些式子分類時(shí)，先將兩個(gè)集合圖分開，讓學(xué)生判斷式子放到哪個(gè)集合圖中，這樣既鞏固了對“方程”和“等式”概念的理解，又能很好地辨析兩者的關(guān)系，既滲透了集合的思想，又培養(yǎng)了學(xué)生的整體思維。

【片段三】課尾，再次照應(yīng)開頭的素材，展開交流與分享。

師：在“7＋3＝10”中，大家都贊同寫成“7＋□＝10”，現(xiàn)在你能用今天學(xué)的知識說明一下嗎？

生：這里的“3”是未知數(shù)，可以用x表示，寫成7+x=10。

生：（驚奇地）原來這就是用方程解的呀！

師：這個(gè)問題里三個(gè)數(shù)量之間還有哪些關(guān)系呢？你能說說數(shù)量關(guān)系，并列出算式或方程嗎？

生：可以用總?cè)藬?shù)－正在踢球的人數(shù)＝再來的人數(shù)，這時(shí)列出算式10-7=3。

生：還可以用總?cè)藬?shù)－再來的人數(shù)＝正在踢球的人數(shù)，這時(shí)列出方程10-x=7。

師：比比看，三個(gè)數(shù)量關(guān)系式，哪個(gè)更容易想到？

生：（紛紛表示）按順序的數(shù)量關(guān)系最容易想到。

師：是呀，學(xué)習(xí)方程就是用最簡便的思路解決問題。

【賞析】課尾，許老師再次呈現(xiàn)這一素材，讓學(xué)生明白“7＋□＝10”中的“□”就是代表未知數(shù)的符號，原來一年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就已經(jīng)埋下了代數(shù)思維的種子！然而，許老師的教學(xué)并未止于此，而是跳出一種解法，讓學(xué)生思考“正在踢球的人數(shù)”“再來的人數(shù)”“總?cè)藬?shù)”三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系有哪些。學(xué)生通過比較，認(rèn)識到“由已知數(shù)量求結(jié)果”與“按照事件發(fā)展順序來梳理數(shù)量關(guān)系”的不同，更加深刻地感受到方程的價(jià)值所在。我們分明可以感受到學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了從“對數(shù)量的理解”轉(zhuǎn)向“對關(guān)系的探討”，從“對數(shù)的關(guān)注”轉(zhuǎn)向“對符號的關(guān)注”。