滿緒民 王吉華 李超 梁鵬云 郭棟

（山東理工大學(xué)，淄博 255049）

1 前言

隨著社會與經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們對大功率車輛載重能力的要求越來越高，考慮到國家標(biāo)準(zhǔn)對車輛外廓尺寸、質(zhì)量及軸載的限制，一味地提高每個(gè)軸的載重能力，或者降低整車質(zhì)量已經(jīng)沒有較明顯的作用，針對這種情況，增加車軸數(shù)量的方法被提出，多軸汽車隨之出現(xiàn)[1]。

迄今為止，國內(nèi)在多軸轉(zhuǎn)向控制策略方面進(jìn)展較為迅速。王吉華研制了遙控駕駛四軸轉(zhuǎn)向模型車半物理仿真試驗(yàn)系統(tǒng)，建立了車輛模型和控制算法的仿真試驗(yàn)驗(yàn)證平臺[2]；龐文杰證明了CMAC-PID控制的多軸轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有較高的響應(yīng)精度和較快的響應(yīng)速度[3]；葉俊等利用粒子群算法設(shè)計(jì)了H∞魯棒控制器[4]；王菁通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了約束H∞控制方法可以有效提高4WS汽車的操縱穩(wěn)定性，基于干擾觀測器（DOBC）控制的4WS汽車都可以保持汽車的穩(wěn)定性并降低駕駛員的操縱難度[5]；高峰著重介紹了某五軸雙前軸轉(zhuǎn)向重型汽車的建模過程[6]；黃麗杰討論了不確定模糊時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒性能分析和控制器設(shè)計(jì)問題[7]。這些控制算法也可應(yīng)用到控制多軸車輛轉(zhuǎn)向[8-9]中去。

本文根據(jù)五軸車輛在行駛中受到路面狀況、質(zhì)心高度等參數(shù)影響的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了輸出反饋魯棒穩(wěn)定控制系統(tǒng)。對該系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析表明，五軸轉(zhuǎn)向車輛在行駛過程中可適應(yīng)參數(shù)的變化，從而達(dá)到轉(zhuǎn)向穩(wěn)定。

2 五軸轉(zhuǎn)向汽車二自由度模型

假定在驅(qū)動力不大的情況下，不計(jì)空氣阻力、載荷的變化，忽略地面切向力對輪胎側(cè)偏特性影響效果的前提下，將實(shí)際五軸轉(zhuǎn)向汽車簡化為單側(cè)的五輪模型。其線性二自由度模型如圖1所示，樣車部分參數(shù)如表1所示。

圖1 五軸轉(zhuǎn)向汽車二自由度模型

表1 五軸汽車部分參數(shù)

根據(jù)五軸轉(zhuǎn)向汽車運(yùn)動參數(shù)關(guān)系式[10]，推導(dǎo)出二自由度運(yùn)動微分方程：

式中，β為質(zhì)心側(cè)偏角；u為質(zhì)心前進(jìn)速度；ωr為橫擺角速度；δi為第i軸轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角；v為質(zhì)心速度。

把多軸車輛動力學(xué)模型簡化為線性二自由度汽車模型，狀態(tài)變量x=[βωr]T，輸入變量u=[δ1δ2δ3δ4δ5]，輸出變量為y，A、B、C為系數(shù)矩陣，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：

各軸等效轉(zhuǎn)角與前軸轉(zhuǎn)角的比例系數(shù)定義為Ki：

3 具有參數(shù)不確定性的魯棒穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 閉環(huán)控制系統(tǒng)描述

考慮如下具有參數(shù)不確定的多變量系統(tǒng)[11]：

設(shè)系統(tǒng)（A、B、C、D）完全可控、可觀，且系統(tǒng)的參數(shù)不確定為范數(shù)有界，記

取動態(tài)反饋控制器構(gòu)成如圖2所示的閉環(huán)系統(tǒng)，動態(tài)反饋控制器的方程為：

式中，Ar、Br、Kx、Kr為所設(shè)計(jì)的動態(tài)狀態(tài)反饋控制器的系數(shù)矩陣；Y為該控制器的輸入變量；xr為該控制器的狀態(tài)變量；h為該控制器的輸出變量。

圖2 具有參數(shù)不確定的閉環(huán)系統(tǒng)

設(shè)計(jì)控制器（Ar、Br、Kx、Kr）的目的是使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，稱此控制器為魯棒穩(wěn)定控制器，同時(shí)稱該系統(tǒng)為魯棒穩(wěn)定控制系統(tǒng)[9]。根據(jù)圖2和式（4）、式（6），可得閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程，即

3.2 魯棒穩(wěn)定性控制器設(shè)計(jì)原理

式中，α為區(qū)間系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定度；m0為可取小于1的常數(shù)；為狀態(tài)空間中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，(t-τ)為時(shí)間的偏差。

根據(jù)式（5）～式（7）可得：

將式（8）和（10）代入式（9），可得：

根據(jù)Bellman-Gronwall引理將式（12）可整理得：

根據(jù)式（5）、式（9）、式（11）得：

由式（7）和式（14）、式（15）可知，如果閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的，所設(shè)計(jì)的動態(tài)狀態(tài)反饋控制器（Ar、Br、Kx、Kr）要滿足[9]：

式中，Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

3.3 樣車魯棒控制器設(shè)計(jì)

針對五軸轉(zhuǎn)向樣車，以第1軸轉(zhuǎn)向角度為輸入，采用高速（80km/h）工況進(jìn)行轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性分析，五軸重型樣車的部分參數(shù)值如表1所示。

按照圖2來設(shè)計(jì)魯棒控制器，然后根據(jù)式（6），針對其不確定性確定控制器參數(shù)，通過MATLAB編程計(jì)算得到式（7）中矩陣Apr的特征值，如果控制器滿足式（15），該條件下的閉環(huán)系統(tǒng)一定是魯棒漸進(jìn)穩(wěn)定的。將A、B、C各矩陣代入式（2）得：

設(shè)該線性可變的有界函數(shù)為sin(x)，假定該系統(tǒng)經(jīng)非線性參數(shù)攝動后的動態(tài)方程為：

按圖2設(shè)計(jì)魯棒控制器，使攝動系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)式（10），有，即βA=1.5，βB=0.2，βC=0，βD=0。下面依次取不確定參數(shù)情況1、2、3下的動態(tài)控制器，判斷所設(shè)計(jì)的動態(tài)狀態(tài)反饋控制器（Ar、Br、Kx、Kr）是否滿足式（15），如滿足則可以使控制系統(tǒng)達(dá)到較穩(wěn)定狀態(tài)。

a. 取不確定參數(shù)情況1控制器，令Kx=[-11]，Kr=[10]，可得：

根據(jù)式（7）可得閉環(huán)系統(tǒng)為：

通過MATLAB編程可求得式（19）中矩陣Apr的特征值分別為-7.0000、-2.5469+6.8375i、-2.5469-6.8375i、-3.3730。即得式（8）中的α=2.5469。

b. 取不確定參數(shù)情況2控制器，Kx=[1-2]，Kr=[-10]，可得特征值-7.0000、-0.3439+2.8755i、-0.3439-2.8755i、-7.8668。

因ρA=1.9；Reλ(Apr)＜0；α=0.3439，ρA與0.3439/m0的大小不確定，故不確定參數(shù)情況2控制器系統(tǒng)穩(wěn)定性不確定。

c. 取不確定參數(shù)情況3控制器，再令Kx=[-22]，Kr=[10]，可得特征值為-3.0000、-2.2673+7.1885i、-2.2673-7.1885i、0.0677。因其中一個(gè)特征值的實(shí)部大于零，故不確定參數(shù)情況3控制器系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4 閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真

首先，根據(jù)能使攝動系統(tǒng)穩(wěn)定所滿足的條件，對該系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB參數(shù)計(jì)算來設(shè)計(jì)魯棒控制器，然后分別建立樣車的仿真模型，閉環(huán)控制系統(tǒng)的仿真模型和加入前輪轉(zhuǎn)角輸入的控制系統(tǒng)的仿真模型，進(jìn)行Simulink仿真調(diào)試，得到并分析各個(gè)控制器的輸出變量波形，實(shí)現(xiàn)了動態(tài)控制器對攝動系統(tǒng)的穩(wěn)定。

4.1 樣車開環(huán)仿真

據(jù)式（19）可建立樣車MATLAB/Simulink仿真模型，將第1軸轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)角即前輪轉(zhuǎn)角10°作為輸入量，將橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角作為輸出量，其仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，初始時(shí)刻輸出變量橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)值均為0，隨著仿真時(shí)間的增加，加入前輪轉(zhuǎn)角10°后，兩者的階躍響應(yīng)值均有明顯變化，橫擺角速度趨于1.25(°)/s，質(zhì)心側(cè)偏角趨于1.08°，系統(tǒng)穩(wěn)定，但操縱穩(wěn)定性較差。

4.2 不確定參數(shù)情況1、2閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真

將樣車模型作為一個(gè)子系統(tǒng)，建立閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真模型，并帶入前2組設(shè)計(jì)的控制器得到不確定參數(shù)情況1、2閉環(huán)控制系統(tǒng)模型的仿真波形如圖4所示。

圖3 輸出變量y=ωr和y=β的波形

圖4 不確定參數(shù)情況1、2的仿真波形

由圖4可知，在沒有控制時(shí)，初始時(shí)輸出變量橫擺角速度趨于1.25(°)/s，輸出變量質(zhì)心側(cè)偏角趨于1.08°，隨著仿真時(shí)間的增加，經(jīng)過控制后，橫擺角速度的響應(yīng)值趨于0.1(°)/s，質(zhì)心側(cè)偏角的響應(yīng)值趨于0.13°，控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定且具有操縱穩(wěn)定性。在t=0.2s時(shí)，不確定參數(shù)情況2控制系統(tǒng)輸出反饋量極為不穩(wěn)定，因此，不確定參數(shù)情況1控制器最優(yōu)化。

4.3 加入前輪轉(zhuǎn)角輸入的不確定參數(shù)情況1控制系統(tǒng)的仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文的控制算法，樣車在不確定參數(shù)情況1下，對于圖4a中的樣車閉環(huán)控制響應(yīng)1s時(shí)，在前輪已偏轉(zhuǎn)10°的基礎(chǔ)上繼續(xù)偏轉(zhuǎn)7°，進(jìn)行閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真，其仿真結(jié)果波形如圖5所示。

圖5 6秒過程的輸出波形

由圖5可知，初始時(shí)輸出變量橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角初始值分別在1(°)/s和1°附近，在t=1s時(shí)，加入前輪轉(zhuǎn)角輸入時(shí)，橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角波形瞬間均發(fā)生跳動，隨后兩者響應(yīng)波形均逐漸趨于穩(wěn)定。在t=3s時(shí)，橫擺角速度的響應(yīng)值趨于0.4(°)/s，質(zhì)心側(cè)偏角的響應(yīng)值趨于0.06°，經(jīng)仿真驗(yàn)證了不確定參數(shù)情況1閉環(huán)控制系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)可行，系統(tǒng)在3秒時(shí)得到了穩(wěn)定控制而且具有較好的操縱穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文首先建立了五軸轉(zhuǎn)向二自由度汽車模型，將汽車模型的微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間進(jìn)行描述，由輸入和輸出建立出具有參數(shù)不確定性的魯棒穩(wěn)定閉環(huán)控制系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB/Simulink仿真分析，設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)在五軸轉(zhuǎn)向過程中，魯棒適應(yīng)參數(shù)的變化，達(dá)到轉(zhuǎn)向穩(wěn)定。

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