劉翠紅　王建永　文文

摘 要：計(jì)算旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心是力學(xué)中的一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題，解決這一類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)微分量表達(dá)式寫(xiě)錯(cuò)的情況。本文分析了這一問(wèn)題產(chǎn)生的原因，并給出了解決這一問(wèn)題的比較簡(jiǎn)便的夾逼準(zhǔn)則方法。通過(guò)用夾逼準(zhǔn)則方法分析旋轉(zhuǎn)面或旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心計(jì)算問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)計(jì)算旋轉(zhuǎn)面的質(zhì)心時(shí)，應(yīng)把微元看成圓臺(tái)，而計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心時(shí)，應(yīng)把微元看成圓柱。

關(guān)鍵詞：質(zhì)心 微元法 夾逼準(zhǔn)則

中圖分類(lèi)號(hào)：O313.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）09（c）-0165-02

計(jì)算質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心是力學(xué)中的一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題。解決這一類(lèi)問(wèn)題的基本方法是微積分中的微元法，即把物體剖分成無(wú)數(shù)微元，先對(duì)微元做定量分析，然后再把分析結(jié)果對(duì)整個(gè)物體積分[1-3]。然而我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在使用微元法的時(shí)候不能正確地寫(xiě)出微分量的表達(dá)式，導(dǎo)致了計(jì)算得到的物體的質(zhì)心是錯(cuò)誤的，而且這一類(lèi)錯(cuò)誤比較隱蔽，不容易通過(guò)檢查進(jìn)行排除，所以很有必要指出并糾正這一類(lèi)錯(cuò)誤。

1 錯(cuò)誤分析

下面我們以?xún)傻烙?jì)算物體質(zhì)心的題目為例，來(lái)說(shuō)明這一類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)錯(cuò)誤做法及其產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。

例1：如圖1所示，半球面質(zhì)量均勻分布，半徑為R，求其質(zhì)心。

解法1：由半球面質(zhì)量分布的對(duì)稱(chēng)性，可知半球面的質(zhì)心一定在z軸上，因此只要計(jì)算質(zhì)心的z坐標(biāo)即可。

如圖1所示，取夾在均平行于半球面底面且距離為dz的兩平面之間的半球面部分為微元，把這一微元看成圓柱的側(cè)面，圓柱的側(cè)面展開(kāi)后為一長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)為，高為dz，面積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

其中σ為半球面的質(zhì)量面密度。

解法2：微元取法和解法1相同，把微元看成圓臺(tái)的側(cè)面，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)后為一長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)為，高為ds，面積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

顯然兩種解法的計(jì)算結(jié)果不同，那么哪種解法錯(cuò)了呢？

經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)兩種解法的主要區(qū)別在于對(duì)微元的處理，解法1把微元看成圓柱的側(cè)面，得到的微元面積的表達(dá)式為，而解法2把微元看成圓臺(tái)的側(cè)面，得到的微元面積的表達(dá)式為。這最終導(dǎo)致了兩種解法計(jì)算結(jié)果的不同。

根據(jù)微積分理論[4]，只有式子成立時(shí)，才可以作為dU的表達(dá)式，即才有。這里是量U在某小區(qū)間上的增量，是一連續(xù)函數(shù)，是的高階無(wú)窮小，dU是量U在該小區(qū)間上的微分。

但是用公式來(lái)檢驗(yàn)?zāi)骋槐磉_(dá)式是否某量的微分通常是比較麻煩的。實(shí)際上，用微積分中求極限的夾逼準(zhǔn)則來(lái)尋求一個(gè)量的微分是比較簡(jiǎn)便的。下面我們結(jié)合例1，來(lái)說(shuō)明這種方法。

如圖2所示，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，其圖象繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成一旋轉(zhuǎn)體。為求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積，用垂直于軸的平面把旋轉(zhuǎn)體剖分成無(wú)數(shù)微元。為求圖中所示微元（為清楚起見(jiàn)，把該微元放大了）的側(cè)面面積，設(shè)想把該微元的側(cè)面剪開(kāi)并平鋪在一平面上，將得到如圖3所示的實(shí)線(xiàn)圖形ABCD，其中弧AB的長(zhǎng)度為，弧CD的長(zhǎng)度為，。由圖3易知，實(shí)線(xiàn)圖形ABCD的面積介于圖形ABEF的面積和圖形HGCD的面積之間，即有

由于在微元取法確定的情況下，微分量的表達(dá)式是唯一的，所以式（1）就是這里的微分量的表達(dá)式。

回到例1的兩種解法，根據(jù)式（1），可知解法1是錯(cuò)誤的，解法2是正確的，即計(jì)算所取微元側(cè)面面積時(shí)，應(yīng)把所取微元看成圓臺(tái)，而不是圓柱。

例2：如圖1所示，半球體質(zhì)量均勻分布，半徑為R，求其質(zhì)心。

解法1：由半球體質(zhì)量分布的對(duì)稱(chēng)性，可知半球體的質(zhì)心一定在z軸上，因此只要計(jì)算質(zhì)心的z坐標(biāo)即可。

如圖1所示，取夾在均平行于半球體底面且距離為dz的兩平面之間的半球體部分為微元，把這一微元看成圓柱，其底面積為，高為dz，體積。質(zhì)心的z坐標(biāo)：

顯然兩種解法的計(jì)算結(jié)果不同，那么哪種解法錯(cuò)了呢？

經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)兩種解法的主要區(qū)別在于對(duì)微元的處理，解法1把微元看成圓柱，得到的微元體積的表達(dá)式為 ，而解法2把微元看成圓臺(tái)，得到的微元體積的表達(dá)式為。這最終導(dǎo)致了兩種解法計(jì)算結(jié)果的不同。

下面我們依然用夾逼準(zhǔn)則來(lái)分析兩種解法的對(duì)錯(cuò)。

如圖2所示，函數(shù)在區(qū)間[a，d]上連續(xù)，其圖象繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成一旋轉(zhuǎn)體。為求旋轉(zhuǎn)體的體積，用垂直于軸的平面把旋轉(zhuǎn)體剖分成無(wú)數(shù)微元。由圖4易知，微元的體積介于半徑分別為和的兩圓柱的體積之間，即有：

2 結(jié)語(yǔ)

微元法是分析物理及工程技術(shù)問(wèn)題的重要方法。在使用微元法時(shí)，寫(xiě)出微分量的正確的表達(dá)式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。檢驗(yàn)微分量的某一表達(dá)式是否正確的基本方法是看其是否滿(mǎn)足式（1），或者用更簡(jiǎn)便的求極限的夾逼準(zhǔn)則。本文結(jié)合質(zhì)量連續(xù)分布的物體的質(zhì)心計(jì)算問(wèn)題說(shuō)明了用夾逼準(zhǔn)則檢驗(yàn)微分量的某一表達(dá)式是否正確的方法，這一方法對(duì)人們用微元法解決實(shí)際問(wèn)題具有重要的借鑒意義。

另外，旋轉(zhuǎn)體是一類(lèi)比較常見(jiàn)的物體，本文的研究表明，計(jì)算其微元側(cè)面面積時(shí)，應(yīng)把微元看成圓臺(tái)，而計(jì)算其微元體積時(shí)，應(yīng)把微元看成圓柱。這是在涉及旋轉(zhuǎn)體物體時(shí)要特別注意的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

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[4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：267-269.