張明月

【摘要】估計(jì)模型的參數(shù)值最常用到的方法就是最小二乘法（OLS），但是這種方法的假設(shè)眾多（比如：同方差，不存在自相關(guān)等），當(dāng)這些假設(shè)條件并不能滿足的時候要研究估計(jì)量或者統(tǒng)計(jì)量的有限樣本分布特征的時候最常用的方法之一就是蒙特卡洛模擬。

本文將主要討論應(yīng)用蒙塔卡洛模擬來估計(jì)任意函數(shù)的期望值的置信區(qū)間的基本原理，并應(yīng)用R語言來計(jì)算一個具體的函數(shù)的期望的置信區(qū)間，并對得到的結(jié)果進(jìn)行簡要的分析。

【關(guān)鍵詞】蒙特卡洛模擬 R語言 期望值 置信區(qū)間

一、基本原理

（一）定義

蒙特卡洛（Monte Carlo）模擬是一種通過設(shè)定隨機(jī)過程（數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)），反復(fù)生成隨機(jī)序列并計(jì)算參數(shù)估計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)而研究其分布特征的方法。

在應(yīng)用蒙特卡洛模擬的過程中重復(fù)生成隨機(jī)序列的過程越多，估計(jì)出來的參數(shù)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)量就越接近真實(shí)值，所以蒙特卡洛模擬得到的是一個最優(yōu)解的近似值而不是最優(yōu)解。

（二）運(yùn)用蒙特卡洛模擬估計(jì)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的基本原理

假設(shè)我們給出一個隨機(jī)變量X，我們想求解任意的函數(shù)g（·）的期望Eg（X）。如果我們能得到n個偽隨機(jī)數(shù)（通過計(jì)算機(jī)聲稱的隨機(jī)數(shù)成為偽隨機(jī)數(shù)）X1，X2，…Xn從分布X中，我們可以考慮用g（xi）的樣本均值來近似估計(jì)期望Eg（X）：

二、簡單應(yīng)用

下面用一個簡單的例子來通過R語言實(shí)現(xiàn)運(yùn)用蒙特卡洛模擬估計(jì)一個函數(shù)的期望Eg（X）。令Y=g（X）=eβX，其中，假設(shè)X～N（0，1），β=5。

三、結(jié)果分析

由上面的結(jié)果可以看出來通過蒙特卡洛模擬估計(jì)出來的期望Eg（X）的置信區(qū)間過大，因此是沒有意義的。

造成這個結(jié)果的原因主要有兩個：第一個是因?yàn)間（X）本身存在的巨大的波動性，如果Y=g（X）本身的波動性很大，那么通過蒙特卡洛模擬來估計(jì)其參數(shù)就無法提供有效的信息。第二個是因?yàn)闃颖镜牟▌有允沟霉烙?jì)出來的參數(shù)值的可靠性降低了。基于以上兩個原因，在重復(fù)了n=1000000之后并沒有達(dá)到漸進(jìn)正態(tài)性，所以標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值并不是無偏的，自然我們估計(jì)出來的置信區(qū)間就是沒有太大意義的。

如果我們將重復(fù)的次數(shù)n的值擴(kuò)大10倍，即令n=10000000重新運(yùn)行代碼那么得到的置信區(qū)間為：

并且可以得到圖3.1，從圖形中可以看出在擴(kuò)大了重復(fù)的次數(shù)之后置信區(qū)間明顯縮小了，并且目標(biāo)真實(shí)的參數(shù)值和通過蒙特卡洛模擬估計(jì)出來的參數(shù)值之間的差距明顯縮小。但是置信區(qū)間依然很大，這是因?yàn)槊商乜骞烙?jì)向波動性很大的目標(biāo)真值收斂是非常緩慢的，所以擴(kuò)大重復(fù)的次數(shù)雖然起到了一定的縮小置信區(qū)間的作用，但是得到的置信區(qū)間依然意義不大。

參考文獻(xiàn)

[1]SM lacus：Simulation and Inference or stochastic Differential Equations [M].Springer，2008.

[2]張曉峒：蒙特卡洛模擬[Z].2012.