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        淺析應(yīng)用蒙特拉羅模擬估計(jì)任意函數(shù)的期望值的置信區(qū)間

        2018-03-26 12:02:38張明月
        時代金融 2018年6期

        張明月

        【摘要】估計(jì)模型的參數(shù)值最常用到的方法就是最小二乘法(OLS),但是這種方法的假設(shè)眾多(比如:同方差,不存在自相關(guān)等),當(dāng)這些假設(shè)條件并不能滿足的時候要研究估計(jì)量或者統(tǒng)計(jì)量的有限樣本分布特征的時候最常用的方法之一就是蒙特卡洛模擬。

        本文將主要討論應(yīng)用蒙塔卡洛模擬來估計(jì)任意函數(shù)的期望值的置信區(qū)間的基本原理,并應(yīng)用R語言來計(jì)算一個具體的函數(shù)的期望的置信區(qū)間,并對得到的結(jié)果進(jìn)行簡要的分析。

        【關(guān)鍵詞】蒙特卡洛模擬 R語言 期望值 置信區(qū)間

        一、基本原理

        (一)定義

        蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬是一種通過設(shè)定隨機(jī)過程(數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)),反復(fù)生成隨機(jī)序列并計(jì)算參數(shù)估計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而研究其分布特征的方法。

        在應(yīng)用蒙特卡洛模擬的過程中重復(fù)生成隨機(jī)序列的過程越多,估計(jì)出來的參數(shù)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)量就越接近真實(shí)值,所以蒙特卡洛模擬得到的是一個最優(yōu)解的近似值而不是最優(yōu)解。

        (二)運(yùn)用蒙特卡洛模擬估計(jì)期望和標(biāo)準(zhǔn)差的基本原理

        假設(shè)我們給出一個隨機(jī)變量X,我們想求解任意的函數(shù)g(·)的期望Eg(X)。如果我們能得到n個偽隨機(jī)數(shù)(通過計(jì)算機(jī)聲稱的隨機(jī)數(shù)成為偽隨機(jī)數(shù))X1,X2,…Xn從分布X中,我們可以考慮用g(xi)的樣本均值來近似估計(jì)期望Eg(X):

        二、簡單應(yīng)用

        下面用一個簡單的例子來通過R語言實(shí)現(xiàn)運(yùn)用蒙特卡洛模擬估計(jì)一個函數(shù)的期望Eg(X)。令Y=g(X)=eβX,其中,假設(shè)X~N(0,1),β=5。

        三、結(jié)果分析

        由上面的結(jié)果可以看出來通過蒙特卡洛模擬估計(jì)出來的期望Eg(X)的置信區(qū)間過大,因此是沒有意義的。

        造成這個結(jié)果的原因主要有兩個:第一個是因?yàn)間(X)本身存在的巨大的波動性,如果Y=g(X)本身的波動性很大,那么通過蒙特卡洛模擬來估計(jì)其參數(shù)就無法提供有效的信息。第二個是因?yàn)闃颖镜牟▌有允沟霉烙?jì)出來的參數(shù)值的可靠性降低了。基于以上兩個原因,在重復(fù)了n=1000000之后并沒有達(dá)到漸進(jìn)正態(tài)性,所以標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值并不是無偏的,自然我們估計(jì)出來的置信區(qū)間就是沒有太大意義的。

        如果我們將重復(fù)的次數(shù)n的值擴(kuò)大10倍,即令n=10000000重新運(yùn)行代碼那么得到的置信區(qū)間為:

        并且可以得到圖3.1,從圖形中可以看出在擴(kuò)大了重復(fù)的次數(shù)之后置信區(qū)間明顯縮小了,并且目標(biāo)真實(shí)的參數(shù)值和通過蒙特卡洛模擬估計(jì)出來的參數(shù)值之間的差距明顯縮小。但是置信區(qū)間依然很大,這是因?yàn)槊商乜骞烙?jì)向波動性很大的目標(biāo)真值收斂是非常緩慢的,所以擴(kuò)大重復(fù)的次數(shù)雖然起到了一定的縮小置信區(qū)間的作用,但是得到的置信區(qū)間依然意義不大。

        參考文獻(xiàn)

        [1]SM lacus:Simulation and Inference or stochastic Differential Equations [M].Springer,2008.

        [2]張曉峒:蒙特卡洛模擬[Z].2012.

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