萬云倩,范愛華

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽 馬鞍山 243032)

1 引言

俗話說:不能把雞蛋放在一個(gè)籃子里.經(jīng)濟(jì)人在股票市場(chǎng)進(jìn)行投資,要選擇適當(dāng)?shù)耐顿Y組合,其中心問題是在回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn)之間進(jìn)行權(quán)衡.Markowitz[1]提出把投資組合收益率的期望和方差分別作為回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn),提出了均值-方差模型.首次對(duì)不確定情況下投資組合選擇提供了寶貴分析方法.文獻(xiàn)[2]利用均值-方差模型討論了投資者的最優(yōu)投資策略.文獻(xiàn)[3]通過構(gòu)建投資組合進(jìn)行應(yīng)用分析,分析均值和方差變動(dòng)對(duì)投資組合有效前沿曲線的變動(dòng)情況以及該變動(dòng)對(duì)實(shí)際投資活動(dòng)的影響.文獻(xiàn)[4]討論完備標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)金融市場(chǎng)中在允許投資組合條件下的概率準(zhǔn)則問題.文獻(xiàn)[5]利用罰函數(shù)法,對(duì)最小風(fēng)險(xiǎn)組合證券的非負(fù)投資比例系數(shù)進(jìn)行研究.

在文獻(xiàn)[6]中引入滑動(dòng)平均.假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)人在證券市場(chǎng)中進(jìn)行投資,他在觀察了一段時(shí)間之后,在an時(shí)刻做出決策開始投資,然后等待在未來某個(gè)時(shí)刻an+?(n)時(shí)刻退出市場(chǎng),此模型稱之為滑動(dòng)投資模型.最后,利用凸函數(shù),函數(shù)連續(xù)性,泰勒級(jí)數(shù),勒貝格控制收斂定理等方法,研究在這一模型下經(jīng)濟(jì)人的平均收益與期望收益之間的大樣本性質(zhì).

2 基本概念與模型假設(shè)

定義 2.1[7]一個(gè)股票市場(chǎng)是由各只股票為分量組成的列向量:

上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置,

其中m是該股票市場(chǎng)中所有股票的只數(shù),Xi稱為相對(duì)價(jià)格,其為第i只股票當(dāng)天的收盤價(jià)與開盤價(jià)之比.

定義 2.2[7]一個(gè)投資組合是列向量:

其實(shí),它就是將資金如何按比例分散投資到各股上的分配方案,其中bi理解為某人投資第i只股票的資金占其總投資的比例.

定義 2.3[7]如果采用投資組合策略b,而股票向量為X,那么相對(duì)收益(指當(dāng)天收盤時(shí)的總市值與開盤時(shí)的總市值之比)則為:

定義 2.4[6]若將流動(dòng)資金進(jìn)行再次分配,在第i次分配中,投資組合bi對(duì)股票向量X1,X2,···進(jìn)行重復(fù)投資,那么重復(fù)n次之后獲得的相對(duì)收益Sn為:

定義 2.5[6]考慮函數(shù)h(·):Rn → R∪{∞}.epih(·)表示集合{(y,α)∈ Rn×R:h(y)≤ α}.

定義 2.6[6]設(shè)B表示投資組合的集合,B?表示對(duì)數(shù)最優(yōu)投資組合的集合.

假設(shè) 1股票市場(chǎng)收益率向量X1,X2,···是獨(dú)立同分布的.

假設(shè) 2股票的概率分布預(yù)先未知.

如果

那么投資組合b?被稱為對(duì)數(shù)最優(yōu).由于投資組合選擇可以依靠過去的結(jié)果,那么投資組合就可被描述成一列投資組合選擇{bn(X1,X2,···,Xn?1)}∞n=1.

可測(cè)函數(shù)bn(X1,X2,···,Xn?1)的映射是從股票市場(chǎng)收益率向量的過去結(jié)果到投資組合的集合.表示為:

其中

表示資金經(jīng)過n次重復(fù)投資得到的投資選擇和對(duì)數(shù)最優(yōu)投資組合.由文獻(xiàn) [11]可知,是投資選擇可得到的資本最優(yōu)漸近增長率.

考慮一個(gè)可實(shí)現(xiàn)資本漸近最優(yōu)增長率的目標(biāo),并尋找它的投資選擇

即

其中

3 基本引理

引理 3.1設(shè)概率空間(?,D,P),其中 ?=Rm,且D表示關(guān)于P的 Borelσ-代數(shù),設(shè) Φ表示集合:

考慮函數(shù)

即f(·,·):Rm ×?→ R ∪ {∞},那么

1)?x∈?,集合 epif(·,x)={(b,α)∈ Rm ×R:f(b,x)≤ α}是凸的.

2) 集合 epif(·,x) 是閉的.

3)對(duì)所有閉子集F ?Rm+1有{x∈?:epif(·,x)∩F ≠?}∈D.

4)在乘積概率空間 (?(n),D(n),P(n))中,?(xan,xan+1,···,xan+?(n))∈?(n),集合是閉的.

5)對(duì)所有閉子集F?Rm+1有

證明1),2),3)的證明參見文獻(xiàn)[6].

是空集.

假設(shè) (xan,xan+1,···,xan+?(n))∈Φ(n),若 (b′,α′) 是集合

的邊界,設(shè) (bi,αi) 收斂于 (b′,α′),使得

因此bi,b′∈Bn,αi,α′∈Rn.設(shè)?ε＞0,當(dāng)α′是有限的,且i足夠大,那么

由函數(shù)?lnbx的連續(xù)性,

由于ε是任意的,那么

5)假設(shè)G是Rm+1的有界閉集,設(shè)

其中Cn是Bn×Rn∩G上的可數(shù)稠密子集,對(duì)每個(gè)b∈Bn,α∈Rn,函數(shù)

是可測(cè)的.

設(shè)F表示Rm+1的閉集,下列敘述都等價(jià)的:

其中Fi是有界閉集(可數(shù)多個(gè)),使得

上述已經(jīng)證明了

并且函數(shù)gF(xan,xan+1,···,xan+?(n)) 是可測(cè)的,因此

引理 3.2假設(shè)Xi≥0 a.s.,i=an,an+1,···,an+?(n),并且

設(shè)

所有的b∈Rm,x∈?,并且 E‖μ(X)‖＜∞.

證明因?yàn)?/p>

因此

μ(x)顯然是可測(cè)的.

若x=0或x?Φ,那么∞≥∞+0.

若b?B,x≠0且x∈Φ,那么

若b∈B,x≠0且x∈Φ,那么

此外

引理 3.3[8]設(shè)Y是概率空間(Γ,A,F)的隨機(jī)變量,其中A表示包括關(guān)于F的σ-代數(shù).

考慮下列假設(shè):

假設(shè) 1g(·,·):Rk×Γ→R∪{∞}是一個(gè)凸的正被積函數(shù),那么

(1)?y ∈Γ,集合 epig(·,y)是閉的.

(2)y→epig(∩,y)的映射是可測(cè)的,且對(duì)閉子集

(3)?y∈Γ,epig(·,y)幾乎處處是凸的,且不是空集.

假設(shè) 2存在∈Rk,使得是有限的,且可測(cè)函數(shù)μ(·):?！鶵k,使得

(1)對(duì)所有c∈Rk,y∈Γ,有

假設(shè) 3隨機(jī)變量Yi是獨(dú)立同分布的.

那么

證明參見文獻(xiàn)[8]的定理2.3和命題2.1,文獻(xiàn)[9]的定理3.4.

引理 3.4假設(shè)隨機(jī)股票市場(chǎng)收益率向量Xi是獨(dú)立同分布的,且

證明根據(jù)引理3.1,文獻(xiàn)[10]定理1C和定理2K得到可測(cè)選擇

的存在性,那么

對(duì)所有b∈B,有

那么根據(jù)引理3.1,引理3.3得到聚點(diǎn)的對(duì)數(shù)最優(yōu).

引理 3.5經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)最優(yōu)投資組合的聚點(diǎn)和建立的投資組合選擇一致,因此序列

的聚點(diǎn)依概率1是對(duì)數(shù)最優(yōu).

證明設(shè)由于

反之證明類似.

設(shè)

由引理3.4得對(duì)數(shù)最優(yōu)性.

引理 3.6設(shè)隨機(jī)股票市場(chǎng)收益率向量Xan,Xan+1,···,Xan+?(n)是獨(dú)立同分布的,且

且

的聚點(diǎn)幾乎處處是對(duì)數(shù)最優(yōu)的,那么

證明設(shè)b?′是一個(gè)最優(yōu)投資組合使得即對(duì)所有那么存在一個(gè)投資組合,假設(shè)且且包含的0的個(gè)數(shù)小于如果這個(gè)新的投資組合不滿足條件,我們可以重復(fù)這個(gè)步驟.最多經(jīng)過m步,可得到一個(gè)適合的投資組合.

存在集合L使得P(X∈L)=1且

其中

因此

因此

利用泰勒級(jí)數(shù)在區(qū)間[0,ε]中擴(kuò)展函數(shù)令

由麥克勞林公式,可得到

將

代入上式,有

令t=θy,有

因此

由對(duì)數(shù)最優(yōu)性[11],

因此

其中ε是任意的,

由勒貝格控制收斂定理,上界類似

其中e=(1,1,···,1),ε是任意的

根據(jù)勒貝格控制收斂定理,因此

4 主要結(jié)論

定理 4.1假設(shè)Xan,Xan+1,···,Xan+?(n)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)股票市場(chǎng)收益率向量,并且

那么

其中

證明根據(jù)引理 3.5,的聚點(diǎn)是對(duì)數(shù)最優(yōu)的.對(duì)所有n,有

因此定理4.1由引理3.6推斷.

定理4.1解釋了當(dāng)隨機(jī)股票市場(chǎng)收益率向量是獨(dú)立同分布的,那么資本漸近最優(yōu)增長率是根據(jù)所建立的投資組合選擇實(shí)現(xiàn)的.在進(jìn)一步優(yōu)化了文獻(xiàn)[6]中的模型后,所建立的模型相較于文獻(xiàn)[6]中的應(yīng)用范圍更廣,這一結(jié)果的證明確立了普通投資選擇與滑動(dòng)投資模型之間的密切聯(lián)系.然而,值得注意的是,在實(shí)際生活中,經(jīng)濟(jì)人不能僅依賴純理論的經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)最優(yōu)投資選擇,因?yàn)樗赡軐?dǎo)致我們最終破產(chǎn).

[1]Markowitz H.Portfolio Selection[J].Journal of finance,1952,7:77-91.

[2]姚海洋,易建新,馬慶華.共同基金和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的最優(yōu)策略[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(2):154-158.

[3]張賀清.均值和方差變動(dòng)的馬科維茨投資組合模型研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2015.

[4]李銀興,李彩萍.允許投資組合條件下概率準(zhǔn)則[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,19(2):185-190.

[5]鄧雪.最小風(fēng)險(xiǎn)組合證券非負(fù)投資比例系數(shù)的確定[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(4):524-528.

[6]Morvai Gusztáv.Portfolio choice based on the empirical distribution[J].Kybernetika,1992,6:484-493.

[7]Cover T M,Thomas J A.Elements of Information Theory[M].2nd ed.New York:John Willey Sons Inc,2006.

[8]King Alan J,Wets Roger J B.Epi-consistency of convex stochastic programs[J].Stochastics Rep.,1991,34:83-92.

[9]Wets Roger J B.Constrained estimation:consistency and asymptotics[J].Appl.Stochastic Models Data Anal.,1991,7:17-32.

[10]Rockafellar R T.Integral Functionals,Normal Integrands and Measurable Selections[M].In:Nonlinear Operators and the Calulus of Variations(Lecture Note in Mathematics).New York:Springer-Verlag,1976:157-207.

[11]Algoet A H,Cover T M.Asymptotic optimality and asymptotic equipartition properties of log-optimum investment[J].The Annals of Probability,1988,16(2):876-898.