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        Orlicz空間內(nèi)一類有理函數(shù)逼近的一種Jackson型估計(jì)

        2018-03-26 19:23:36張旭吳嘎日迪
        關(guān)鍵詞:師范大學(xué)內(nèi)蒙古區(qū)間

        張旭,吳嘎日迪

        (內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

        1 引言及主要結(jié)果

        Rnl表示分母是次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,分子是線性函數(shù)的有理函數(shù)的全體,即

        梅雪峰等在文獻(xiàn)[1]中研究了在Lp內(nèi)一類有理函數(shù)逼近的問題,所得結(jié)果如下:

        定理 A[1]設(shè)l是自然數(shù),1<p<∞,如果f(x)∈Lp[?1,1]在 (?1,1)內(nèi)改變l次符號(hào),則存在?1<b1<b2< ···<bl<1和使得

        其中

        Cp,b,l表示與p,b,l有關(guān)的正常數(shù).

        本文在Orlicz空間內(nèi)研究類似的有理函數(shù)逼近問題.

        本文用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù),有關(guān)N函數(shù)的定義和性質(zhì)見文獻(xiàn) [2].設(shè)L?M[?1,1]表示區(qū)間 [-1,1]上N函數(shù)M(u)生成的 Orlicz空間,‖·‖M是 Orlicz范數(shù),定義如下:

        其中

        是v(x)關(guān)于N(v)的模.

        對(duì)于f∈L?M[?1,1]和 0≤t≤1,定義連續(xù)模如下:

        并記

        定義 1.1[3]設(shè)f∈ L?M[?1,1],如果有l(wèi)個(gè)點(diǎn)?1<a1< a2< ···< al<1,使得

        且對(duì)所有的j=1,2,···,l和 0< η <aj+1?aj(aj+1=1),

        這里要求

        則說(shuō)f(x)在點(diǎn)a1,a2,···,al處改變l次符號(hào).

        本文的主要結(jié)果如下:

        定理 1.1設(shè)f(x)不恒等于 0,f(x)在 (?1,,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào),則存在?1<b1<b2< ···<bl<1和使得

        其中

        CM,b,l表示與M,b,l有關(guān)的正常數(shù).在不同處表示不同的值.

        2 若干引理

        引理 2.1[4]設(shè)且f(x)延拓如下:

        并且

        引理 2.2[5-6]設(shè)在 (?1,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào).記

        為f(x)的一階Steklov函數(shù),則對(duì)充分小的h>0,fh(x)在區(qū)間內(nèi)恰好改變l次符號(hào).

        引理 2.3[4]設(shè)fh(x)為f(x)的一階 Steklov函數(shù),記

        為f(x)的二階Steklov函數(shù),則對(duì)充分小的h>0,有

        引理 2.4[3]定義修正的Jackson核如下:

        其中

        Cn滿足

        對(duì)周期為 2π的可積函數(shù)f(x)(記)定義

        引理 2.5[7]設(shè),x∈I?[a,b],定義

        引理 2.6[1]令

        對(duì)于θ,s ∈[?π,π]和 cos(θ+s)≠bj,j=1,2,···,l,有

        3 定理的證明

        在下面的證明中,假設(shè)

        在區(qū)間 (?1,1)內(nèi)恰好改變l次符號(hào),f(x)不恒等于 0.按引理 2.1的方式把f(x)∈L?M[?1,1]延拓成Fn(x)∈L?M[?2,2],顯然Fn(x)在區(qū)間 (?2,2)恰好改變l次符號(hào),且滿足

        對(duì)x∈[?2,2],對(duì)充分小的h>0,定義Fn(x)的二階Steklov函數(shù)即

        對(duì)應(yīng)于f(x)在(?1,1)內(nèi)的l次變號(hào)點(diǎn)對(duì)于給定的a1<a2<···<al,在?1<b1<b2<···<bl<1,這些點(diǎn)處改變符號(hào).對(duì)于給定的ε>0,

        不妨設(shè)

        取通常意義下的Jackson核為:

        其中常數(shù)dn滿足

        由文獻(xiàn)[8]可知dn~n?7,并且有

        定義

        因此pn(x)的定義是合理的,且是一個(gè)n次多項(xiàng)式,在以下的證明中取

        由引理2.1,引理2.3得

        由文獻(xiàn)[1]知,

        利用引理2.5,得

        為了估計(jì)‖I3‖M,劃分區(qū)間如下:

        對(duì)x∈S1,有Cauchy-Schwarz不等式可知,

        所以有

        對(duì)x∈S1,則由文獻(xiàn)[1]得

        注意到x=cosθ,由引理 2.3,引理 2.4,引理 2.5和

        由引理2.6可得

        令j ∈ {1,2,···,l},并定義

        對(duì)任何x,u∈[?1,1],注意到x=cosθ,u位于 cos(θ+t+s)和bj之間,當(dāng)s∈Ej時(shí),

        于是由引理2.4得

        另一方面,當(dāng)

        由引理2.5可得

        所以

        對(duì)于x∈[?1,1],有

        所以

        當(dāng)x∈S2時(shí),有

        由引理2.4得

        為x∈S2的Jackson核,當(dāng)x∈S2,類似x∈S1的估計(jì)

        綜上所述,

        所以

        定理得證.

        [1]Mei Xuefeng,Zhou Songping.Approximation by rational functions with prescirbed numerator degree inLpspaces for 1<p<∞[J].Acta Math.Hungar.,2004,102(4):321-336.

        [2]吳從忻,王廷輔.奧爾里奇空間及其應(yīng)用[M].哈爾濱:黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社,1983.

        [3]Hai Lian,Wu Garidi.On approximation by reciprocals of polynomials with positive coefficients[J].Analysis in theory and Applications,2013,29(2):149-157.

        [4]王曉芳.若干函數(shù)空間內(nèi)的幾個(gè)逼近問題[D].呼和浩特:內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,2006.

        [5]Wu Garidi.On approximation by polynomials in Orlicz spaces[J].Approximation theory and its Applications,1991,7(3):97-110.

        [6]Wang Xiaoli,Huo Ran,Wu Garidi.On approximation by reciprocals of polynomials with positive coefficients in Orlicz spaces[J].Analysis in theory and Applications,2008,24(4):364-376.

        [7]吳嘎日迪.一類新型Kantorovich算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì)[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)中文版),2006,35(3):253-257.

        [8]Lorentz G G,Approximation of Functions[M].New York:Holt Rinehart and Winston,1966.

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