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        CR(n,1)中半環(huán)上格林關(guān)系的開(kāi)同余

        2018-03-26 19:23:32練利鋒
        關(guān)鍵詞:半環(huán)同態(tài)苗苗

        練利鋒

        (重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)

        1 引言及預(yù)備知識(shí)

        設(shè) (S,+,·)是 (2,2)-型代數(shù),其中 “+” 和 “·” 是二元運(yùn)算.稱(chēng) (S,+,·)是半環(huán),若S滿足:

        (1)(S,+)和 (S,·)是半群;

        (2)(S,+,·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz.

        設(shè)ρ是半環(huán)(S,+,·)上的等價(jià)關(guān)系.如果ρ還滿足:

        則稱(chēng)ρ是半環(huán)(S,+,·)上的同余關(guān)系.

        半環(huán)可以看作是由分配律聯(lián)系著的同一非空集合上的兩個(gè)半群,因此,從半環(huán)的加法半群或乘法半群出發(fā)是研究半環(huán)的一種思路.格林關(guān)系在半群理論發(fā)展過(guò)程中扮演著非常重要的角色,而半環(huán)的乘法半群和加法半群都有各自的格林關(guān)系,將(S,+)上的格林L(R,D)關(guān)系記為上的格林L(R,D)關(guān)系記為因此對(duì)半環(huán)的乘法半群和加法半群的格林關(guān)系的研究是有意義的.許多代數(shù)學(xué)者對(duì)半群(半環(huán))上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究.例如:文獻(xiàn)[1]對(duì)半群上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[2]對(duì)完全正則半群上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[3]研究了冪等元半環(huán)的乘法班群上的格林D關(guān)系,文獻(xiàn)[4]主要研究了冪等元半環(huán)上的格林L關(guān)系,文獻(xiàn)[5-11]主要對(duì)冪等元半環(huán)上及其相關(guān)半環(huán)上的格林關(guān)系進(jìn)行了刻畫(huà),得到了一些有趣的結(jié)論.然而,大多數(shù)情況下,格林關(guān)系并不是同余關(guān)系,但我們發(fā)現(xiàn)用格林關(guān)系的開(kāi)同余代替同余關(guān)系本身更加方便.

        設(shè)S是半環(huán),若S滿足恒等式:

        則對(duì)任意的a∈S,由aan?2a=a且aan?2=an?1=an?1a可知 (S,·)是完全正則半群.因此將滿足(1),(2),(3)這三個(gè)附加恒等式的所有半環(huán)作成的簇記為CR(n,1).

        設(shè)S是半環(huán),ρ為S上的等價(jià)關(guān)系.用ρ⊕表示包還在ρ中的(S,+)上最大的同余關(guān)系,稱(chēng)其為由ρ確定的(S,+)上的開(kāi)同余.類(lèi)似的,由ρ確定的(S,·)上的開(kāi)同余記為ρ⊙.由文獻(xiàn) [6]可知,

        盡管ρ⊕和ρ⊙是半群 (S,+)與 (S,·)上的同余關(guān)系,但它們并不是半環(huán)(S,+,·)上的同余關(guān)系.稱(chēng)ρ⊕為加法開(kāi)同余,ρ⊙為乘法開(kāi)同余.并稱(chēng)(S,+,·)上的包含在ρ中的最大的同余關(guān)系為S上的開(kāi)同余,記為ρ?.

        設(shè)S∈CR(n,1).則由文獻(xiàn)[1]易得(S,+)和(S,·)上的和可分別表示為:

        本文主要研究半環(huán)類(lèi)CR(n,1)上格林關(guān)系的同余,并得到了一些有趣的結(jié)論.

        2 CR(n,1)中半環(huán)上格林關(guān)系的開(kāi)同余

        引理 2.1[9]設(shè)ρ為半環(huán)S上的等價(jià)關(guān)系,則ρ的開(kāi)同余ρ?為ρ?=(ρ⊕)⊙,或等價(jià)的有

        下面主要考慮半環(huán)類(lèi)CR(n,1)中半環(huán)上的一些特殊的開(kāi)同余,也就是半環(huán)上格林關(guān)系的開(kāi)同余.

        由文獻(xiàn)[1]可知,對(duì)于任意半環(huán)(S,+,·),是(S,+)上的右同余,是(S,+)上的左同余,且與都是(S,·)上的同余關(guān)系.同樣,文獻(xiàn)[8]證明了是半環(huán)S上的同余關(guān)系.因此,它們的開(kāi)同余可表示成下面的簡(jiǎn)單形式.

        引理 2.2設(shè)(S,+,·)∈CR(n,1),則與可簡(jiǎn)單的表示為:

        ?a,b∈ S.

        引理 2.3設(shè) (S,+,·)∈CR(n,1),則?a,b∈S,有

        定理 2.1設(shè)S,T為任意半環(huán),φ:S→T為滿同態(tài),則且a,b∈S.若在S中 (a,b)∈S,則在T中 (aφ,bφ)∈T.

        證明我們只證明類(lèi)似可證.為了方便設(shè)0φ=0,1φ=1.

        設(shè)在S中,則

        于是

        從而可知在T中有 (aφ,bφ)∈χ.

        設(shè)(a,b)∈˙L?,對(duì)于任意的p,q∈T0,r1,r2∈T1.存在x,y∈S0,u,v∈S1,使得

        已知在S中,

        而由φ是同態(tài)映射可知,在T中,

        因此在T中,

        文獻(xiàn)[8]利用半環(huán)S的加法半群(S,+)上的格林關(guān)系的開(kāi)同余給出了半環(huán)左、右約簡(jiǎn)的概念,類(lèi)似的,我們也可以借助半環(huán)的乘法半群(S,·)上的格林關(guān)系的開(kāi)同余定義半環(huán)的左、右約簡(jiǎn).

        定義 2.1如果是半環(huán)S上的恒等關(guān)系,則稱(chēng)S為左約簡(jiǎn)的,對(duì)偶的,如果是半環(huán)S上的恒等關(guān)系,則稱(chēng)S為右約簡(jiǎn)的.

        定理 2.2設(shè)(S,+,·)∈CR(n,1),則分別是左、右約簡(jiǎn)的.

        證明設(shè)且φ:S→T為自然同態(tài)映射,令0φ=0,1φ=1.

        設(shè)?a,b∈S,使得在T中滿足由于為半環(huán)T上的同余關(guān)系,因此對(duì)于任意的x,y∈S0,u∈S1且

        于是可得

        因此存在r1,r2∈S1,使得

        從而可知

        [1]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroup[M].New York:Wiley,1999.

        [2]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

        [3]Burris S,Sankppanaver H P.A Course in Universal Algebra[M].New York:Springer Verlag,1981.

        [4]Pastijn F,Zhao X Z.Green′sD-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring[J].Arch.Math.(Brno),2000,36:77-93.

        [5]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Universalis,2001,46:75-96.

        [6]Zhao X Z,Guo Y Q,Shum K P.D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J].Algebra Colloquium,2002,9:15-28.

        [7]Zhao X Z.Idempotent semirings with a commutative additive reduct[J].Semigroup Forum.,2002,64:289-296.

        [8]Pastijn F,Zhao X Z.Varieties of idempotent semirings with commutative addition[J].Algebra Universalis,2005,54:301-321.

        [9]Damljanovi? N,?iri?v M,Bogdanovi? S.Congruence openings of additive Green′s relations on a semiring[J].Semigroup Forum.,2011,82(3):437-454.

        [10]練利鋒,任苗苗,陳益智.關(guān)于一類(lèi)半環(huán)上的格林關(guān)系的若干研究[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2014,30(5):420-427.

        [11]秦官偉,任苗苗,邵勇.關(guān)于半環(huán)上格林關(guān)系的開(kāi)同余[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(5):668-675.

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