夏國利， 王芳貴*, 蒲永燕

(1. 四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066； 2. 攀枝花學院 數(shù)學與計算機學院, 四川 攀枝花 617000)

1 預備知識

Goodearl在文獻[7]中研究了形式三角矩陣環(huán)的Noether性,即T是右Noether環(huán)當且僅當A、B是右Noether環(huán),且M是有限生成右A-模,此外,文獻[7]還對T上的有限生成模進行了刻畫,即右T-模(X,Y)f是有限生成模當且僅當Y是有限生成右T-模,cok(f)是有限生成右A-模.Haghany等[8-9]研究了形式三角矩陣環(huán)的極小內(nèi)射性、投射性、投射生成子以及投射蓋等性質(zhì),得出T-模(P,Q)g是投射模當且僅當Q是投射右B-模,g:Q?BM→P是單同態(tài),且cok(g)是投射右A-模.Chen等[1]研究了Morita系統(tǒng)環(huán)上的自由模,進一步刻畫了形式三角矩陣環(huán)上的自由模與投射模.設λ為任意非空集合,則T-模(X,Y)f?T〈λ〉當且僅當X/f(Y?M)?A〈λ〉,Y?B〈λ〉.葉飛[10]分別給出了T-模是有限表現(xiàn)的充分條件和必要條件,即設(X,Y)f是T-模，若(X,Y)f有限表現(xiàn),則cok(f)是有限表現(xiàn)右A-模,且Y是有限表現(xiàn)右B-模;反之,若cok(f)是有限表現(xiàn)右A-模,Y是有限表現(xiàn)右B-模,且ker(f)是有限生成右A-模,則(X,Y)f有限表現(xiàn).Asadollahi等[11]研究了形式三角矩陣環(huán)上模的Ext函子的消失問題,并詳細刻畫了該環(huán)上投射和內(nèi)射維數(shù)有限的模結(jié)構(gòu).Krylov等[12]又研究形式三角矩陣環(huán)上模的內(nèi)射性、投射性、平坦性以及遺傳性等性質(zhì).

2 形式三角矩陣環(huán)的凝聚性

引理2.1設(P,Q)g是T-模，則有:

1) (P,Q)g是自由(投射)模當且僅當Q是自由(投射)右B-模,g:Q?BM→P是單同態(tài),且cok(g)是自由(投射)右A-模;

2) (P,Q)g是有限生成自由(投射)模當且僅當Q是有限生成自由(投射)右B-模,g:Q?BM→P是單同態(tài),且cok(g)是有限生成自由(投射)右A-模.

證明參見文獻[8].

引理2.2右T-模(X,Y)f是有限生成模當且僅當Y是有限生成右T-模,cok(f)是有限生成右A-模.

證明參見文獻[15].

命題2.3設M是有限生成A-模,則右T-模(X,Y)f是有限生成模當且僅當X是有限生成右A-模,Y是有限生成右B-模.

證明由正合列Y?BM→X→cok(f)→0即得.

引理2.4對右T-模(X,Y)f,有

(X,Y)f/(X,Y)fΩ?cok(f)×Y.

證明設x∈X,y∈Y,m∈M,有

因此有(X,Y)fΩ=(f(Y?SM),0),故有(X,Y)f/(X,Y)fΩ?(X,Y)/(f(Y?M),0)?cok(f)×Y.

命題2.5若(X,Y)f是有限表現(xiàn)右T-模,則cok(f)是有限表現(xiàn)右A-模,且Y是有限表現(xiàn)右B-模.

證明由引理2.4即得.

定理2.6設A是右凝聚環(huán),則右T-模(X,Y)f是有限表現(xiàn)模,當且僅當Y是有限表現(xiàn)右B-模,cok(f)是有限表現(xiàn)右A-模,且ker(f)是有限生成右A-模.

證明設(X,Y)f是有限表現(xiàn)右T-模.由命題2.5,cok(f)是有限表現(xiàn)右A-模,Y有限表現(xiàn)右B-模.設

(1)

是正合列,其中(P,Q)g有限生成投射右T-模,(K,L)是(P,Q)g的有限生成子模.于是下面的2行是正合列的交換圖:

由蛇形引理,有正合列

(2)

由引理2.2,cok(g)是有限生成投射A-模,且cok(h)是有限生成A-模.由cok(f)是有限表現(xiàn)的,以及A是右凝聚環(huán),故ker(cok(g)→cok(f))是有限表現(xiàn)模,因此還有ker(f)是有限生成的.

假設反之條件成立.由引理2.2知(X,Y)f是有限生成右T-模.現(xiàn)在仍考察正合列(1),只假設(P,Q)g是有限生成投射右T-模,故有正合列

和正合列

由于Y是有限表現(xiàn)B-模,故L是有限生成B-模.仍考慮正合列(2).由于cok(f)是有限表現(xiàn)的,故ker(cok(g))→cok(f))是有限生成的.由于ker(f)是有限生成的,故cok(h)是有限生成的.從而有(K,L)h是有限生成T-模,因此(X,Y)f是有限表現(xiàn)T-模.

定理2.7設A是右凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)右A-模,則右T-模(X,Y)f是有限表現(xiàn)模當且僅當X是有限表現(xiàn)右A-模,Y是有限表現(xiàn)右B-模.

證明首先,當(P,Q)g是有限生成投射模時,則由引理2.1,有g(shù)是單同態(tài).由正合列

以及Q?BM是有限表現(xiàn)右A-模,知P是有限表現(xiàn)右A-模.

若(X,Y)f是有限表現(xiàn)右T-模,則由定理2.6知Y是有限表現(xiàn)右B-模.

仍考慮正合列(1),其中(P,Q)g是有限生成投射右T-模,(K,L)h是有限生成右T-模.由

是正合列,且由L?BM與cok(h)都是有限生成A-模,有K是有限生成的.由正合列0→K→P→X→0知X是有限表現(xiàn)A-模.

反之,設X是有限表現(xiàn)A-模,Y是有限表現(xiàn)B-模.于是K是有限生成A-模,cok(h)是有限生成模.從而cok(f)是有限表現(xiàn)A-模.考慮正合列(2),由于A是右凝聚環(huán),ker(cok(g)→cok(f))是有限表現(xiàn)A-模,從而ker(f)是有限生成的.由定理2.6,(X,Y)f是有限表現(xiàn)右T-模.

設R是環(huán).回顧右R-模X稱為偽凝聚模,是指X的任何有限生成子模是有限表現(xiàn)模.顯然,偽凝聚模X是凝聚模當且僅當X是有限生成的.

定理2.8設A是右凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)右A-模,則右T-模(X,Y)f是偽凝聚右T-模當且僅當X是偽凝聚右A-模,Y是偽凝聚右B-模.

證明設(X,Y)f是偽凝聚右T-模.設X0是X的有限生成A-子模,則(X0,0)是(X,Y)f的有限生成T-子模.于是(X0,0)是有限表現(xiàn)T-模,從而X0是有限表現(xiàn)A-模,故X是右凝聚A-模.

設Y0是Y的有限生成B-子模,則(Y0?BM,0)f是(X,Y)f的有限生成子模.令X0=f(Y0?BM),則X0是X的有限生成A-子模.由命題2.3,(X0,Y0)f是有限生成的T-模.故(X0,Y0)f是有限表現(xiàn)T-模,從而Y0是有限表現(xiàn)的B-模.故Y是偽凝聚B-模.

假設反之條件成立.設(X0,Y0)f是(X,Y)f的有限生成T-子模.仍由命題2.3,X0是有限生成A-模,Y0是有限生成B-模.故X0是有限表現(xiàn)A-模,Y0是有限表現(xiàn)B-模.由定理2.6,(X0,Y0)f是有限表現(xiàn)T-模,故(X,Y)f是偽凝聚T-模.

推論2.9設M是有限表現(xiàn)右A-模,則T是右凝聚環(huán)當且僅當A與B都是是右凝聚環(huán).

3 形式三角矩陣環(huán)上的PC-內(nèi)射模

引理3.1對任給的T-模(X,Y)f,有如下同構(gòu):

(3)

證明參見文獻[11].

證明參見文獻[11].

引理3.3設R是右凝聚環(huán),E是PC-內(nèi)射模,則idRE≤1.

證明參見文獻[14]中的定理7.

證明設(X,Y)f是PC-內(nèi)射模.由引理3.3,idT(X,Y)f≤1.對任給的偽凝聚右A-模U,由定理2.8知(U,0)是偽凝聚T-模,因此

對任何偽凝聚右B-模V,仍由定理2.8,(0,V)是偽凝聚B-模.同理得到

是正合列.因(M,B)δ是有限表現(xiàn)T-模,從而也是偽凝聚T-模,故有正合列

(4)

考慮自然同態(tài)

Φ:HomT((M,B)δ,(X,Y)f)→HomB(B,Y),
Φ(α,β)=f(β?1M),

其中

(α,β)∈Hom((M,B)δ,(X,Y)f).

對任何

(α,β)∈Hom((M,0),(X,Y)f),

顯然有β=0.令Ψ(α,0)=αδ-1,則容易驗證

Ψ:HomT((M,0),(X,Y)f)→HomB(M,X)

是同構(gòu),且有下面的交換圖:

現(xiàn)在假設反之的條件成立.設

推論3.5設T是右凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)右A-模,則有:

1) (X,HomA(M,X))1HomA(M,X)是PC-內(nèi)射右T-模當且僅當X是PC-內(nèi)射右A-模;

2) (0,Y)是PC-內(nèi)射右T-模當且僅當Y是PC-內(nèi)射右B-模.

定理3.6設T是右凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)右A-模,X是PC-內(nèi)射右A-模,則idT(X,0)≤1.

證明記f=1HomA(M,X).由推論3.5,

(X,HomA(M,X))1

是PC-內(nèi)射右T-模.設

0→(X,HomA(M,X))f→(E1,E2)g→(C1,C2)h→0

是T-模正合列,其中(E1,E2)g是內(nèi)射T-模.用Hom(T/J,-)作用于上正合列可得

致謝四川師范大學研究生優(yōu)秀論文培育基金(校研字20160902)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1] CHEN J L, ZHANG X X. On modules over formal triangular matrix rings[J]. East-West J Math,2001,3(1):69-77.

[2] HAGHANY A. Injectivity conditions over a formal triangular matrix ring[J]. Arch Math,2002,78(4):268-274.

[3] LI Q S, TONG W T. On the structure of triangular matrix rings[J]. Northeast Math J,2003,19(1):51-56.

[4] CHEN X W. Singularity categories, schur functors and triangular matrix rings[J]. Algeb Represent Theory,2009,12(2):181-191.

[5] CHEN H Y. On the structure of triangular matrix rings[J]. J Nanjing Univ Math Biquarterly,1999,16(2):153-157.

[6] AUSLANDER M, REITEN I, SMALO S O. Representation Theory and Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Math[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1995.

[7] GOODEARL K R. Ring Thoery, Nonsingular Rings and Modules[M]. New York:Marcel Dekker Inc,1976.

[8] HAGHANY A, VARADARAJAN K. Study of formal triangular matrix rings[J]. Commun Algebra,1999,27(1):5507-5525.

[9] HAGHANY A, VARADARAJAN K. Study of modules over formal triangular matrix rings[J]. J Pure Appl Algebra,2000,147(1):41-58.

[10] 葉飛. 形式三角矩陣環(huán)上的有限表現(xiàn)模[J]. 大學數(shù)學,2006,22(1):80-82.

[11] ASADOLLAHI J, SALARIAN S. On the vanishing of Ext over formal triangular matrix rings[J]. Forum Math,2006,18(6):951-966.

[12] KRYLOV P A, TUGANBAEV A A. Modules over formal matrix rings[J]. Math Sci,2010,171(2):248-295.

[13] BOURBAKI N. Algebre Commutative[M]. Paris:Hermann,1961.

[14] 夏國利,王芳貴. PC-內(nèi)射模及其刻畫[J]. 黑龍江大學學報(自然科學版),2016,33(4):466-471.

[15] GOODEARL K R, WARFELD R B. An introduction to non-commutative noetherian rings[C]//London Math Soc, Student Texts,16. London:Cambridge University Press,1989.