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華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 (200241) 牛偉強(qiáng)河南省洛陽市43中學(xué) (471012)

一、引言

隨著時(shí)代的發(fā)展，信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)成為不可逆轉(zhuǎn)的趨勢(shì).教師和學(xué)生恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)可以完成許多傳統(tǒng)課堂中完全做不到的事情，更有利于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能更有效地培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力[1].信息技術(shù)特別是其強(qiáng)大的可視化功能使得數(shù)學(xué)的教和學(xué)大為改觀，不少研究發(fā)現(xiàn)信息技術(shù)可以改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的提高[2-3].高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出“數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵”.高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法就是試驗(yàn)、觀察、歸納、猜想和證明，簡(jiǎn)單的說就是先猜后證[4].因此，借助信息技術(shù)通過先猜后證的方法開發(fā)合適的探究性學(xué)習(xí)案例是促進(jìn)高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)發(fā)展的重要途徑.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)人教版教材只研究幾個(gè)具體的冪函數(shù)，給人一種只見樹木不見森林的感覺，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.鑒于此，研究者應(yīng)用MATLAB軟件繪制特殊的冪函數(shù)的圖像，通過對(duì)冪函數(shù)圖像的觀察，利用先猜后證的方法引導(dǎo)學(xué)生分組合作探究一般情況下冪函數(shù)的性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)探究性學(xué)習(xí)的目的.

(一)新課引入

(二)探究教學(xué)

通過對(duì)α賦值研究?jī)绾瘮?shù)的特例進(jìn)而推測(cè)一般情況下冪函數(shù)的性質(zhì).探究從正整數(shù)開始.令α=1,2,3,4,5,6，為了便于探究，根據(jù)α的奇偶性分別畫圖.

圖1

1．指數(shù)為正整數(shù)

當(dāng)α=1,3,5時(shí)，冪函數(shù)的圖像如圖1(左)所示.觀察可知，此時(shí)冪函數(shù)是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，并且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.據(jù)此，可以提出如下猜想：

猜想1：α=2k+1,k∈N時(shí)，冪函數(shù)y=xα為R上的增函數(shù)且值域?yàn)镽，并且是奇函數(shù).

師：如何證明這個(gè)猜想呢？

生：可以發(fā)現(xiàn)對(duì)任意x∈R，冪函數(shù)都有定義，因此它的定義域是全體實(shí)數(shù).

師：很好，這就證明了它的定義域是全體實(shí)數(shù)，但是如何證明它是一個(gè)增函數(shù)并且是一個(gè)奇函數(shù)呢？

生：可以根據(jù)增函數(shù)和奇函數(shù)的定義來證明，課本上就是根據(jù)定義來證明的.

師：非常好！大家根據(jù)定義動(dòng)手試一試，看誰先證出來.(兩分鐘之后)有沒有同學(xué)證出來了，給大家展示一下？

生：我證出來了！當(dāng)指數(shù)是正奇數(shù)的時(shí)候，冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且y(-x)=(-x)2k+1=-x2k+1=-y(x)，所以y(x)為奇函數(shù).

師：非常好！這個(gè)證明是嚴(yán)格的，完全正確.這樣就解決了奇偶性問題.那么有沒有人證明出它是增函數(shù)？

生：我證出α=1,3時(shí)它是增函數(shù)，但對(duì)于一般的正奇數(shù)不知道如何證明.

師：那就先說一下α=1,3時(shí)你是如何證明的吧！

師：非常好！事實(shí)上，這個(gè)方法對(duì)于一般的正奇數(shù)仍然是可行的.

設(shè)?x1,x2∈R且x1

當(dāng)x1,x2同為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，因?yàn)閤2k-i1xi2均為正數(shù)，所以此時(shí)y(x1)-y(x2)<0；當(dāng)x1,x2一正一負(fù)時(shí)，因?yàn)閤1

綜上可知，α=2k+1，k∈N時(shí)，冪函數(shù)y=x2k+1為R上的增函數(shù).

這里證明的關(guān)鍵是用了一個(gè)公式：

x2k+11-x2k+12=(x1-x2)(x2k1+…+x2k-i1xi2+…+x2k2).

生：原來對(duì)任意正奇數(shù)它都是成立的，1和3只不過是兩個(gè)最簡(jiǎn)單的情況！

師：是的.

生：我明白了.

師：那么如何證明冪函數(shù)y=x2k+1的值域是R呢？

生：當(dāng)x趨近+∞時(shí)，y單調(diào)遞增并趨近+∞；當(dāng)x趨近-∞時(shí)，y單調(diào)遞減并趨近-∞.所以α=2k+1,k∈N時(shí)，冪函數(shù)y=x2k+1的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù).

師：很好，這樣就證明了上述猜想是正確的.

到此，α為正奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和值域我們就掌握了.如果α為正偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)又有哪些性質(zhì)呢？我們接著往下探究.

當(dāng)α=2,4,6時(shí)，冪函數(shù)的圖像見圖1(右).此時(shí)冪函數(shù)在(-∞,0)單調(diào)遞減，(0,+∞)單調(diào)遞增且始終有y≥0，并且關(guān)于y軸對(duì)稱.據(jù)此，可以提出如下猜想：

猜想2α=2k+2,k∈N時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增且值域?yàn)閇0,+∞)，并且是偶函數(shù).

由于篇幅所限，猜想2以及下面的猜想3-6的證明不再給出.

2．指數(shù)為正有理數(shù)

(1)p為偶數(shù)q為奇數(shù)

圖2

觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)冪函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增且始終有y≥0，圖形不具有對(duì)稱性.據(jù)此，可以提出如下猜想：

(2)p為奇數(shù)q為偶數(shù)

觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)冪函數(shù)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增且始終有y≥0，并且關(guān)于y軸對(duì)稱.據(jù)此，可以提出如下猜想：

圖3

(3)p為奇數(shù)q為奇數(shù)

圖4

觀察圖4可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，并且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.據(jù)此，可以提出如下猜想：

3．指數(shù)為正無理數(shù)

圖5

觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)冪函數(shù)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增且始終有y>0，不具有對(duì)稱性.據(jù)此，可以提出如下猜想：

猜想6 當(dāng)α為正無理數(shù)時(shí)，冪函數(shù)y=xα定義域?yàn)?0,+∞)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且值域?yàn)?0,+∞)，并且是非奇非偶函數(shù).

至此，α∈R+時(shí)，冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和值域我們就理解并掌握了.如果α為0和負(fù)數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的性質(zhì)又將如何呢？限于篇幅，此處省略.

(三)結(jié)論生成(略).

三、結(jié)語

盡管探究性學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新能力，然而高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中探究性學(xué)習(xí)并不如人意[5].高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)面臨的一大困難就是缺乏緊扣教學(xué)內(nèi)容的探究性學(xué)習(xí)案例.研究者應(yīng)用MATLAB軟件繪制冪函數(shù)的圖像，通過對(duì)冪函數(shù)圖像的觀察，利用先猜后證的方法引導(dǎo)學(xué)生分組合作探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)冪函數(shù)性質(zhì)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”.需要指出的是這些猜想既沒有必要也沒有可能要求學(xué)生在一節(jié)課內(nèi)完全解決，教師只需要引導(dǎo)學(xué)生完整地探索兩三個(gè)猜想及

其證明即可，至于其他的猜想完全可以留到課下，供有興趣的學(xué)生獨(dú)自或小組合作進(jìn)行探究.通過先猜后證的方式對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的探究不僅能夠幫助學(xué)生加深對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的理解，而且有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力和數(shù)學(xué)問題解決能力.探究過程中研究者不僅希望引導(dǎo)學(xué)生得到冪函數(shù)的性質(zhì)，而且希望使學(xué)生初步體會(huì)到數(shù)學(xué)研究是如何進(jìn)行的，體驗(yàn)到探究的樂趣，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心.

[1]章建躍．?dāng)?shù)學(xué)·信息技術(shù)·數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．課程.教材.教法，2012，12：62-66．

[2]張春莉．試論信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的影響[J]．課程.教材.教法，2010，1：75-79．

[3]郭衎，曹一鳴，王立東．教師信息技術(shù)使用對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的影響——基于三個(gè)學(xué)區(qū)初中教師的跟蹤研究[J]．教育研究，2015，1：128-135.

[4]牛偉強(qiáng)．高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)課題與策略研究[D]．新鄉(xiāng)：河南師范大學(xué)，2011．

[5]牛偉強(qiáng)，熊斌．高中數(shù)學(xué)課堂中探究性學(xué)習(xí)的困惑與思考[J]．教學(xué)與管理(中學(xué)版)，2016，10：55-57．